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4. Au lieu de quotient exact on peut dire aussi r1pport. Le rapport de deux grandeurs a été défini au ne 151 (p. 164) ; de rapport de deux nombres est le quotient exact de la division de l'un par l’autre, au sens qui va être expliqué. s

os ë pa 9.

multiplions les deux nombres de cette égalité par l'inverse + du

diviseur ; pour multiplier le produit qui figure au premier membre, il suffira de multiplier le second facteur, qui sera ai.si remplacé par 1. On devra donc avoir

À dire.

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si le problème est possible, la solution s'obtient donc en multipliant le dividende par l'inverse du diviseur ; mais, réciproquement,

le produit ainsi formé répond bien à la question, puisqu’en le multi-

pliant par le diviseur on trouve

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Le quotient de la division d’un nombre quelconque par une fraction s'obtient en multipliant le dividende par l'inverse du diviseur ou, comme l'on dit, par la fraction diviseur renversée.

Cette règle contient la règle du n°169 (p. 188) relative au cas où le diviseur est entier. Il suffit de supposer que le dénominateur de la.

fraction diviseur soit égal à 1. On voit aussi que, si le numérateur

de la fraction diviseur était égal à 1, le quotient se déduirait de la fraction dividende en multipliant son numérateur par le dénomina-

teur de la fraction diviseur.

483. En désignant comme au n° 176 (p. 198) par A, B, C trois segments de droite, on a le théorème suivant:

Le rapport de À à Best égal au quotient de la ques du r apport de À à Cpar le rapport de B à C.

Ou encore :

Le rapport de À à B est égal au rapport du nombre qui mesure A au nombre qui mesure B.

Il est sous-entendu que les deux longueurs A et B doivent être mesurées avec une même unité ; si l’on un cette unité. pee C, le second énoncé est identique au premier.

Ce théorème, si l’on tient compte de la règle qui concerne la

division, ne diffère pas du théorème du n° 176 (p. 198). En effet, en. :

vertu de ce théorème, le rapport de À à B doit être égal au produit du Hu de À à C par lerapport de C à B. Or, le produit du rapport de | C par le rapport de C à B ou le quotient du rapport de A à C par ; en de B à C, c'est la même chose, puisque les rapports de CàaBetdeBàC oi des nombres inverses.

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Au reste, la démonstration directe est immédiate; il suffit de supposer que les rapports de A à C et de B à C aient mêmes dénominateurs, qu’ils soient par exemple = a? : cela veut dire que le ième de C est contenu 5 fois dans A, 3 fois dans B; c’est une com-

mune mesure entre À et B, dont le rapport est ainsi la fraction 7 or

cette fraction est bien le quotient de la division de à par ne puis-

que ce quotient est | ie Ars AS NE ETES fers à

484. On ne change pas le quotient de la division de deux nombres entiers ou fractionnaïires en les multipliant par un méme nombre.

Cette proposition a déjà été établie au n° 104 (p. 119), dans le cas d'une division qui se fait exactement. La démonstration repose uniquement sur ce que le dividende est le produit du diviseur par le quotient; elle subsiste dans le cas général; je la reprends toutefois ci-dessous :

Soient les deux nombres . et soit F leur rapport; on a, par définition, OT D 'TNES

multipliant les deux membres de cette égalité par un même nom-

bre, ÿ- par exemple, on aura

da :-:0 a 4 8 EXg=rx< (sx)

et cette égalité prouve bien que . est aussi le quotient de la divi-

sion de Le F par Lx — Au surplus, il suffit d'effectuer ce

quotient qui est

comme il résulte de simplifications faciles, pour vérifier l'exactitude de la proposition.

Puisque la division se ramène à une RURREAUESS on ane évidemment énoncer le théorème suivant :

On ne change pas le quotient de la division de deux nombres

entiers ou fractionnaires en les divisant par un même nombre. En reprenant la démonstration du n° 62 (p. 59), relative au cas

où les divisions se font exactement, on établira la DORA sui-

vante :

On peut indifféremment diviser un nombre successivement par plusieurs autres, ou le diviser par leur produit :

Elle résulte aussi de la règle qui ramène la division à une multi-

plication.

En raison de cette même règle, il suffira dénoncer les théorèmes suivants. S Ù

Pour diviser une somme ou une différence par un none ol suffit de diviser les termes de celte somme ou de cette différence par ce nombre et d'ajouter ou de retrancher les résultats.

On peut, sans en changer le sens, diviser les deux membres d'une inégalité par un méme nombre.

Si on a deux fractions inégales et si on les renverse, on obtient deux fractions inégales, la plus grande devient la plus petite.

Cette dernière proposition est évidente, si l’on suppose les deux fractions réduites au même dénominateur ; après qu'on les a renversées, elles ont même numérateur et c’est celle qui a le plus petit dénominateur qui est alors la plus grande.

Si on renverse une fraction plus petite que l'unité, on obtient une fraction plus grande que l’unilé. |

On augmente ou on diminue un nombre en le divisant par une fraction, suivant que cette fraction est plus petite ou fus phare que l’unité.

Si on divise un méme nombre par deux actions, le plus grand

quotient correspondra à la plus petite fraction, puisque diviser par

une fraction, c’est multiplier par la fraction renversée.

$ 6. — Fractions généralisées.

485. Le symbole d’une fraction . peut être regardé comme le sym-

bole de la division de 3 par 7. Cette manière d'écrire, réservée jus-

qu'ici aux nombres entiers qui figurent au numérateur et au déno: minateur, il est naturel de l’étendre aux fractions. En désignant par a et b des nombres quelconques, entiers ou