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Ainsi les deux fractions composées égales aux fractions ee ee Comme on obtient des résultats différents en multipliant ouen divisant (exactement) deux nombres différents par un même nombre, on voit que les deux fractions proposées seront égales ou inégales suivant que ab' et ab seront égaux ou inégaux. Ainsi la condition d'égalité de deux fractions compo-

sées est la même que pour deux fractions ordinaires. | La somme ou la différence de deux fractions composées de même dénominateur s'obtient en faisant la somme ou la différence des 3 numérateurs et en la divisant par le dénominateur commun. Cette! ? ne autre forme au n° 184 (p. 208).

proposition a été énoncée SOUS U ' Le produit de deux fractions composées s'obtient en divisant le ‘4 produit des numérateurs par le produit des dénominateurs. 4 i généralise un théo- ;

Ici encore on a affaire à une proposition qui rème relatif à des nombres entiers (n° 105, p. 119). Je reproduis la …

démonstration : | [

Tr les fractions dont on veut faire le produit, get q

leurs valeurs; on a s

Soient

FRACTIONS GÉNÉRALISÉES. oil et, en mulüipliant, | aa = 0bqb'q— (bb) >< (40);

cette égalité veut dire que le produit gq' des valeurs des deux fractions s'obtient en divisant le produit de leurs numérateurs: par le produit de leurs dénominateurs.

Exemple : on a 9 L 2 5 (3) e (x) LCR RET PA NT ACTE Co) ei pÉRACE La vérification est facile et fournit une nouvelle démonstration du

théorème : le premier membre, en effet, est, par définition, le produit des deux fractions ordinaires

c'est-à-dire qu'il est égal à 2KTXE XI IXAXEXE

Le second nombre est, par définition, le quotient de la division des deux nombres

bu LR Ass POUND 120

ct ce quotient est ÉD DS D NMCD ET CU D2C0 48 SKCKLSE | Ces deux résultats sont identiques, terme à terme, sauf l’ordre des facteurs.

L’inverse d'une fraction composée s'obtient en renversant cette fraction. Pour diviser deux pareilles fractions, il suffit de multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée. La démons-

. tration est la même qu'au n° 183 (p. 205).

Ainsi les règles de calcul pour les fractions composées sont les

mêmes que pour les fractions ordinaires.

487. La théorie des fractions généralisées n’est au fond que l’application d’une notation; mais cette notation est très commode ;

elle permet, quels que soient lesnombres à, b, c, pourvu que bne soit

pas nul, de remplacer l'égalité ab = c par l'égalité 4 = 5 , Ce que la

notation des nombres entiers ne permet que lorsque c est divisible

par b, et ce que la notation des fractions ordinaires ne permet que

lorsque b et c sont entiers. a Par exemple, on a démontré au n° 54 (p. 52), que le double de la

somme des termes d'une progression arithmétique est égal au produit

de la somme des termes extrêmes par le nombre de termes de la progression : la démonstration faite dans le cas des nombres entiers s'étend tout de suite au cas des nombres fractionnaires. Maintenant nous pouvons dire : la somme des termes d’une progression arithmétique est égale à la moitié du produit de la somme des termes extrêmes par le nombre de termes de cette progression.

De même, en supposant toujours que b ne soit pas nul, l’une

quelconque des deux inégalités abc, a > + pourra remplacer

l’autre et ce simple énoncé contient les propositions suivantes, déjà établies : on peut diviser ou multiplier par un même nombre, sans en changer le sens, les deux membres d’une inégalité. Voici quelques applications de cette remarque. | Étant donnés un nombre «, aussi petit qu’on le veut, et un nombre À, aussi grand qu'on le veut, on peut trouver un nombre naturel » tel que le produit de « par », ou par un nombre plus grand, soit supérieur à À. ;

On veut avoiram > À, ou, puisque «n’est pasnul, m> 2 . La plus Œ petite valeur de m qui satisfait à celte inégalité sera le nombre

Sen A : A :

entier immédiatement supérieur à la valeur de —, nombre entier :

que l’on a appris à déterminer au n° 167 (p. 184).

Étant donnés un nombre A, aussi grand qu'on le voudra, et un nombre «, aussi petit qu’on le voudra, mais non nul, on peut trouver un nombre entier #, tel que le quotient (exact) de À par m, ou par un nombre plus grand, soit inférieur à «. :

Cette proposition ne diffère pas de la précédente.