FRACTIONS GÉNÉRALISÉES

> teur la somme des dénominateurs, est comprise entre la plus pelile et la plus grande des fractions proposées, à moins que celles-ci ne soient toutes égales ; dans ce dernier cas, elle leur est égale. Désignons, en effet, par q, q!, g” les valeurs des fractions proposées, on a a = bg, a'=— b'a!, a! — b'q" ;

On aura, en supposant les fractions rangées par ordre de gran-

deur croissante, a! a!!

a De — 4; D' > 4, DT > q et, par conséquent, a —=bq a' > b'q Sa; il n’y a partout le signe — que dans le cas où toutes les fractions proposées auraient la même valeur q. En ajoutant, on obtient

aa +a! (b+b+ bg;

et l’on ne peut avoir le signe — que dans le cas où toutes les fractions proposées auraient la même valeur g. Cette inégalité entraine la suivante :

On démontrerait de même l'inégalité

aa +ar on — Lq.

Observons qu'avant d'ajouter les numérateurs et les dénominateurs, on aurait pu multiplier les deux termes de chaque fraction par un même nombre différent de 0; ainsi en supposant les nombres m, m', m'! différents de 0, on peut dire que la fraction

ma+ ma + m'a mb + mb! + m'b" ; ‘ LU ; est comprise entre les fractions > Tr: à moins que celles-ci ne soient égales ; dans ce dernier cas, elle est égale aux trois fractions proposées.

ee DRAM Si on considère, par exemple, les deux fractions FR n dont la

première est égale à l'unité, on voit que la fraction PR = est com- n prise entre + et 1, en d’autres termes elle est plus voisine de 1

que ne l’est — : donc, si le numérateur d’une fraction est plus petit

que son dénominateur, on augmente cette fraction en ajoutant un même nombre à ses deux termes ; on la diminue au contraire si le numérateur est plus grand que le dénominateur ; on ne la change pas si le numérateur est égal au dénominateur.

189. Notations relatives aux rapports. — On emploie pour les rapports, une notation pareille à celle des fractions généralisées : désignons par A et B deux longueurs, deux intervalles de temps, ou, d'une façon générale, deux grandeurs de même espèce ‘atRqueliée s’applique la notion de rapport.

On désigne par la notation . le rapport de ces deux grandeurs

(supposées commensurables). Il importe de remarquer que, dans cetle notation, À et B ne sont plus des nombres maïs bien des grandeurs et que, par conséquent, il ne peut plus être ANCFMSA de diviser À par B. :

Soit q le rapport de À à B; les deux égalités