AB

dont la première a été expliquée au n° 174 (p.198), ont exactement Ja même signification. | Le rapport de À à B est le quotient de la division exacte du nombre qui mesure A par le nombre qui mesure B et cela quelle que soit l’unité, supposée commensurable à À et à B. D'après cela, si

dans on remplace A et B par les nombres qui mesurent ces

grandeurs, on obtiendra une fraction généralisée dont la valeur sera encore le rapport de À à B; le même théorème, en désignant par G l'unité avec laquelle on mesure A et B, s'exprime par l'égalité

dans laquelle le second membre est une fraction généralisée dont les deux termes sont les rapports de A à Cet de Bac.

FRACTIONS GÉNÉRALISÉES. as Enfin, l'égalité :

CE © exprime le théorème d'après lequel le rapport de A à CG s'obtient en multipliant le rapport de A à B par le rapport de B à C. Grâce à la notation qu’on vient d’expliquer, certaines propriétés des rapports et certaines propriétés des fractions s'expriment par des égalités qui ont la même forme. Cette identité de forme, qui

aide à se rappeler les propriétés, ne doit pas faire oublier les différences de signification.

190. Nombres relatifs. — On adoptera pour la multiplication des nombres relatifs dont la valeur absolue est un nombre entier ou fractionnaire, la même définition qu’au n° 67 (p.64) : le produit de deux nombres relatifs a pour valeur absolue le produit des valeurs absolues des facteurs ; il est positif ou négatif suivant que les deux facteurs sont de mêmes signes ou de signes contraires. Tout ce qu'on a dit au n° 67 (p.64) subsiste d'ailleurs.

La division (exacte) des nombres relatifs entiers ou fractionnaires se définira comme au n° 482 (p.205), en entendant que le dividende, le diviseur et le quotient sont maintenant des nombres relatifs; maintenant encore on exclut formellement le cas où le diviseur serait nul. La valeur absolue du divi dende devant être égale au produit des valeurs absolues du diviseur et du quotient, on voit que la valeur absolue du quotient s'obtient en divisant la valeur absolue du dividende par la valeur absolue du diviseur; le lecteur n'aura pas de peine à reconnaitre que le quotient doit être positif ou négatif suivant que le dividende et le diviseur sont de mêmes signes ou de signes contraires.

On peut encore dire que le quotient s'obtient en multipliant le dividende - par l’inverse du diviseur, c’est-à-dire par un nombre qui a le même signe que le diviseur et dont la valeur absolue est l'inverse de la valeur absolue du diviseur.

Il est à peine utile de dire que l’on confond toujours les nombres absolus et les nombres positifs, en sorte que les définitions de la multiplication et de la division pour les nombres relatifs comprennent le cas où l’un des nombres sur lesquels on opère serait un nombre absolu.

Enfin on peut considérer encore des fractions généralisées dont les termes * sont des nombres relatifs. La valeur d’une telle fraction sera un nombre (relatif) tel que le produit de ce nombre par le dénominateur soit égal au numérateur de la fraction généralisée. Toutes les propriétés dont la démonstration a été fondée sur cette définition s’étendront immédiatement aux nouvelles fractions généralisées.

Les propositions relatives aux inégalités ne doivent être généralisées qu'avec certaines précautions dans le détail desquelles je n’entrerai pas ici. La nécessité de ces précautions tient à ce qu’une inégalité ne subsiste quand

on multiplie les deux membres par un même nombre que si ce nombre est positif; quand le facteur par lequel on multiplie est négatif, on doit changer le sens de l'inégalité. Le lecteur pourra établir, par exemple, que la proposition du n° 488 (p.212) subsiste quand les dénominateurs des fractions considérées sont tous positifs et constater sur des exemples qu’elle peut cesser d’être exacte quand cette condition n’est pas vérifiée.

$ 7. — Proportions; nombres proportionnels.

191. On appelle proportion l'égalité de deux rapporis, ou, si l’on veut, de deux fractions ordinaires ou composées. Les égalités

D se (v)»

DLL 17028 (x) sont des proportions entre les nombres 3, 2,6, 4 d'une part, entre les nombres + . 25, 28 de l’autre. Je supposerai essentiellement dans ce qui suit qu'aucun des rapports considérés, et ps conséquent aucun de leurs termes, n’est nul.

Dans la proportion

les termes de la proportion sont les nombres a, b, a!, b! : le numérateur de la première fraction et le dénominateur de la deuxième fraction s'appellent souvent les extrêmes, le dénominateur de la première fraction et le numérateur de la deuxième fraction s'ap-,

pellent alors les moyens. Ces dénominations proviennent dune

façon d'écrire qui a été longtemps usitée, à savoir : db dos 0

qui s’énonçait ainsi : a est à b comme a/ est à b'. Dans l'expression est à, il faut faire entrer l'idée de rapport. 492. Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens. | C'est-à-dire que, si l’on a

.On à aussi

PROPORTIONS. NOMBRES PROPORTIONNELS. k 217

C’est, en effet, la condition d'égalité des fractions. Réciproquement étant donnés quatre nombres différents de zéro tels que le produit de deux d’entre eux soitégal au produit des deux autres, ces quatre - nombres forment une proportion, que l’on peut écrire de diverses manières, en s’arrangeant toujours pour que les deux facteurs qui entrent dans un des produits soient les extrêmes, et les deux facteurs qui entrent dans le produit égal soient les moyens.

Si, par exemple, entre les quatre nombres non nuls a, b, a', b' on a la relation

ab' = a'b, on aura DE ET rar De RRT DOTEET DDC RARE PE APT RD PEN

Inversement, l’une quelconque des quatre proportions qu'on vient d'écrire entraine les trois autres, puisqu'elle entraîne la relation ab'— a'b. C'est ce qu’on exprime souvent en disant que, dans une proportion, on peut intervertir les moyens, ou les extrêmes.

Connaissant trois termes d’une proportion, on peut calculer le

quatrième :

Si l’on sait, en effet, que les quatre nombres à, b, a’, L' doivent former une proportion, en sorte que l’on ait ab'=—«'b, et si l'on

veut avoir a, connaissant D’, a', b, on voit que a doit être le quotient de la division du produit ab par b'; c’est d’ailleurs la condition nécessaire et suffisante pour que ab! soit égal à a'b.

493. Nombres proportionnels. — Considérons les deux ensembles de nombres correspondants

les nombres qui se correspondent ont été placés dans une même colonne verticale; chaque terme du premier ensemble s'obtient en multipliant par 2 le terme correspondant du second ensemble ; inversement, chaque terme du second ensemble s’obtient en multi-

pliant par le terme correspondant du premier ensemble.

On peut dire encore que le rapport d'un terme du premier ensemble au terme correspondant du second ensemble est toujours 2, ou que le rapport d’un terme du second ensemble au terme correspon-

e RES D | F . Jese RE dant du premier ensemble est toujours 3 - Dans ces conditions, on

dit que les nombres 6, 8, 24, 16, 12 sont proportionnels aux nome

… brés 3, 4, 49,8, G.

Considérons généralement deux ensembles de ou COrTrespondants he

ces deux ensembles comportent nécessairement autant de nombres l'un que l’autre; ces nombres correspondants ont été placés dans une même colonne verticale; ils sont d'ailleurs désignés par des lettres semblables. Je suppose que, parmi eux, 1l ne s’en trouve pe de nuls.

Les nombres à, b, c, d, .… sont dits proporlionnels aux on bot, dos eil on à | Ro @.: 70 C d ET rt

lorsqu'il en est ainsi, on a aussi | a a! b'- d' : : ;

Per F7 — = — 9

para

car ces dernières fractions sont égales comme inverses des précé-. dentes ; on peut donc dire que les nombres a’, b!, c!, d’,. sont Fr portionnels aux nombres à, b, c, d, …. . La | Si l’on désigne par g la valeur de chacune des fractions ‘égales É

, On aura = @q,; b= ba, C—= C0 dde

Ainsi chaque terme du premier ensemble est égal au terme COrrespondant du second ensemble multiplié par g : inversement, chaque terme du second ensemble est égal au terme correspondant du

premier ensemble multiplié par - , Ou divisé par gq.

Réciproquement, étant donnés deux ensembles de nombres COr= respondants, si chaque terme de lun des ensembles s ‘obtient en multipliant le terme correspondant du second ensemble par un facteur qui soit toujours le même, les termes de l'un quelconque des ensembles seront évidemment proportionnels aux termes de l’autre.

Cette remarque permet, connaissant deux termes correspondants 4