RE

n étant un nombre entier, et &, 6, y, …… des nombres aussi entiers, cr aucun L 03 n’est nul, et qu sont respectivement moindres que 4, 6, ésline ‘24

184. Soit une fraction irréductible dans laquelle le dénominateur est une

puissance d'un nombre entier, autre que 1. Démontrer que cette fraction/peut être mise sous la forme ne RS get aa et FES n étant un nombre entier, ainsi que les nombres os Lys +, Qu ; Ces nombres doivent être tous plus petits que a; le nombre a, ne peut être nul. 185. En supposant que le dénominateur d’une fraction irréductible, décomposé

. en facteurs premiers, soit az b8 cr …, où a, 6, c, … sont des nombres premiers

distincts, démontrer que cette fraction peut, et cela d’une seule façon, être mise

sous la forme

a a Au 1 — +1 +... + me

a‘ at—1 @ BEC EE AE 0e

Co C, Cy—1 + + ++ tp

CS

n étant un nombre entier ; les nombres a,, à,, .…., &x 1 étant entiers et plus petits que a; les nombres b,, b,,..., b8 1, étant entiers et plus petits que b, etc. Les nombres a,, b,, C,, ..., ne sont jamais nuls. 186. étant une fraction à termes entiers, plus petite que 4, on a, en désignant par g et a, le quotient et le reste de la division de b par a, LP : RE a—a, ; Ga ge 0 (gt)

L'emploi répété de cette égalité permet de mettre la fraction . sous la forme

a 1 1 { Bari tgpitaprie en désignant par g, q', qg', … des entiers, en nombre limité, qui vont en croissant (‘).{ 187. En conservant les notations de l'exercice précédent, montrer que l'égalité a 1 a,

| TP TIR 4 , permet de mettre la fraction ” sous la forme

Où il faut prendre dans les deux derniers termes les signes supérieurs ou les

1. Les Égyptiens, dans leurs calculs, n’employaient que des fractions ayant pour numérateur FENEE : u s l'unité, sauf, toutefois, la fraction 7e Toute fraction devait donc être décomposée en une somme

= de fractions ayant pour numérateur l'unité: la règle précédente fournit un moyen d'y arriver ; le problème admet d'ailleurs beaucoup d’autres solutions. Les Egyptiens cherchaient, autant qua possible, à avoir des dénominateurs simples, ou, au moins, décomposables en facteurs simples, mais nullement à obtenir une suite de fractions dont chacune fût très petite par rapport aux précédentes ; c'est ce dernier problème que résout la méthode indiquée,

signes inférieurs suivant que n est impair ou pair, et OÙ Go ur Us -+s Qn—1, Qn.

désignent des entiers croissants qui satisfont à la condition gp = CRE HE pour les valeurs 1,2, ..., n attribuées à l'indice p. 188. Si g est un nombre plus petit que 1,0on a — on PP Lg ni Lg a aie 489. Des joueurs, en nombre n eten ordre donné, conviennent que le perdant doublera l'argent des n — 1 autres : ils perdent chacun une partie dans l'ordre donné, et à la fin, ils ont chacun la même somme a. Combien avaient-ils en commençant ? es 490. Un vase contient a litres de vin; on en tire b litres que l'on remplace par de l’eau: on retire encore b litres, que l'on remplace par de l’eau, et ainsi de suite n fois: combien reste-t-il de vin dans le vase ? 494. Si x est un nombre quelconque et si n est un entier quelconque plus grand que 1, on a, en désignant par E(a) la partie entière du nombre a :

E(e)+E (x+ )+ E(e+£)+e+E(e+ — }=E (na).

ax + b :

492. Étant donnée l'expression 10 où a’, b' sont des nombres différents

de 0, démontrer qu'elle est toujours comprise entre et à; quand la valeur

de x augmente la valeur de cette expression augmente ou diminue suivant que

l'on a de . , Ou F e . ; qu'arrive-t-il quand on a + == 2.1

Re D elle QE 1