ES PT ON
bon — s’écrira 0,09; les fractions
s’écriront 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; …
Les nombres écrits de cette façon sont des nombres décimaux. Inversement un nombre décimal se transforme immédiatement en fraction ordinaire; en supprimant la virgule, et en effaçant, si l’on
veut, les zéros à gauche, on a le numérateur; le dénominateur est .
l'unité suivie d'autant de zéros qu’il y avait de chiffres à droite de la virgule.
Ainsi les nombres 3,14159 ; 0,0037
ne représentent rien autre chose que les fractions 314159 Sttas 100000 ” 10000 ”
les chiffres à droite de la virgule sont les chiffres décimaux, dont
l’ensemble s'appelle quelquefois mantisse. Le nombre formé par l'ensemble des chiffres placés à gauche de la virgule’est la partie
entière de la fraction ; c’est, d’après la règle donnée au n° 94(p.107),
le quotient de la division du numérateur par le dénominateur, au sens
de la théorie des nombres entiers ; c’est donc le plus grand nombre
entier contenu dans la fraction, ou encore la valeur approchée de Ja fraction à une unité près, par défaut (n°5 167, 184). |
L'analogie de cette notation avec le système de numération adopté pour les nombres entiers est manifeste. Considérons par exemple la fraction décimale |
elle peut s’écrire
835 800 80:08 TE 5006 = LTÉE 1000 + 000 * 1000
ou encore, en faisant des simplifications évidentes,
en 274506 + 100 Ÿ 1000 ?
c'est ce que l’on exprime en disant que, lorsqu'on écrit 197,835, le premier. chiffre à droite de la virgule représente les dixièmes, le
second les centièmes, le troisième les millièmes, etc... Or 1 7
t dix dixiè Ut tdi tiè ; = VE vaut dix dixièmes ; 10 = 400 vaut dix cen 1èmes ; 100 1000 CU
dix millièmes. On appelle unité décimale du premier, du second, du
sde 1 d | troisième. ordre les nombres 0 * 100 * 1000 Dès lors, on
peut dire que chaque chiffre décimal représente des unités dix fois
. plus fortes que le chiffre décimal écrit à sa droite, et que le chiffre
des unités simples représente, lui aussi, des unités décimales dix fois plus fortes que le chiffre: décimal qui le suit, dont il est séparé par la virgule.
200. Interprétation concrète. — La signification d’un nombre décimal apparaît encore mieux si l’on $e reporte à la signification concrète des fractions.
Appelons mètre l'unité de longueur, etne craignons pas d'employer les mots décimètre, centimètre, millimètre, avec la signification à laquelle le lecteur est certainement habitué. Reprenons l'exemple précédent, en supposant que la fraction
127833 8 3 3 TG RÉ O) 1 en DEUST ne ÉSRTRAE" 1000 — 120895 TEST EG + T0
mesure une certaine longueur A. Sous la première forme, elle exprime qu on obtient A en partageant le mètre en 1000 parties (en millimètres) et en mettant bout à bout 127835 de ces millimètres : il est à peine utile de dire que cette opération est purement théorique; non seulement elle n’est pas praticable, mais on se la représente assez mal, tant à cause de la petitesse du millimètre qu’à cause du très grand nombre de ces millimètres qu'il faudrait mettre bout à bout. Sous la seconde ou sous la troisième forme, on reconnaît que la longueur A se compose de 127 mètres, de 8 décimètres, de 3 centimètres, et enfin de 5 millimètres ; on se la représente
beaucoup mieux.
On s’est contenté de décomposer la partie décimale du nombre considéré; mais la partie entière peut être décomposée de la même façon ; en écrivant le nombre 127,835 sous la forme J00><1+10>x<2+7 SA es is PR On 102, 108 à 1000
on voit que la longueur À se compose de 1 hectomètre, 2 décamètres, 7 mètres, 8 décimètres, etc... On voit aussi comment, dans le nombre 127,835, considéré comme la mesure d’une longueur, chaque chiffre représente des unités concrètes déterminées.
201. Réduction au même dénominateur. — Je ferai d’abord les observations suivantes : deux fractions décimales qui, écrites sous la forme de fractions ordinaires, ont le même dénominateur, ont le même nombre de chiffres décimaux quand on les écrit avec la notaüon décimale. Si on considère une fraction décimale écrite sous la forme d’une fraction ordinaire, on peut multiplier le numérateur et
le dénominateur par une puissance de 10, ce qui revient à placer un &
même nombre de zéros à droite du numérateur et du dénominateur, ou, dans la notation décimale, à placer ces zéros à droite 4 chiffres décimaux sans déplacer la virgule; ainsion a
12 guise JT 1 37100,
donc :
décimale, en plaçant des zéros à la droite des chiffres décimaux, sans déplacer la virgule ; on ne l'altère pas non plus en ADD * des zéros placés à droîte de la partie décimale.
Cette proposition apparaît aussi en se FÉPOran es à la Sienitéat des chiffres d’un nombre décimal, telle qu'on l’a expliquée au pee dent numéro. On a
placer des zéros à la place du dernier chiffre décimal reviendrait à ajouter au second membre des fractions à numérateur nul, ce qui ne le changerait pas.
D'après cela, on réduira au même dénominateur deux fractions . décimales écrites avec la notation décimale en plaçant assez de”
zéros à la droite de la partie décimale de celle des fractions qui a le moins de chiffres décimaux pour qu'elle en acquière autant que l'autre.
Si l’on se donne, par exemple, les deux fractions 19:314.:08
0,00897, on remplacera la première par 12,37100; les deuxfractions
ont le même dénominateur. ; Étant données autant de fractions décimales que l’on voudra, on des réduira au méme dénominateur en plaçant assez de zéros à la
droite des chiffres décimaux de celles qui en ontle moins pour que
toutes aient le méme nombre de chiffres décimaux.
202. Égalité, inégalité. — Quand deux fractions ont le même déno=
minateur, on reconnait tout de suite à l'inspection des numérateurs si
elles sont égales ou non et, dans ce dernier cas, quelle est la plus
grande. L'application de cette règle aux fractions décimales fournit les théorèmes suivants.
Pour que deux fractions décimales, écrites avec la notation
On n'altère pas une fr action décimale, écrite avec la notation
décimale, soient égales, il faut et il suffit que les chiffres avec lesquels elles sont. écrites soient les mêmes et occupent les mêmes places relativement à la virgule, sauf les zéros placés à droite des chiffres décimaux, zéros dont il n'y a pas lieu de tenir compte.
En d'autres termes, et en ne tenant pas compte des zéros qu'on peut placer à droite de la partie décimale, on ne peut écrire un nombre avec la notation décimale que d’une seule façon.
Deux fractions décimales étant données, on reconnaît que la première est plus grande que la seconde si la partie entière est plus grande, ou si, les parties entières élant égales, le premier chiffre décimal que l’on rencontre en allant de gauche à droite et qui diffère du chiffre décimal de méme rang dans La seconde fraction est plus fort que ce dernier. Ainsi l’on a 36,05027 > 36,0298, parce que l'on a
On peut faire sur les nombres décimaux une observation toute pareille à celle qui a été faite pour les nombres entiers quand on a traité de la numération (n° 72, p. 15). Chaque chiffre exprime des unités composées, simples ou décimales, d'un certain ordre; une unité de cet ordre est plus grande que le nombre formé par l'ensemble des-chiffres qui suivent le chiffre que l'on considère, en supposant que chacun de ces chiffres conserve la signification qu'il avait dans le nombre proposé.
Ainsi, dans le nombre 127,835, le chitire 8 représente des dixièmes- le chiffre ? représente des dizaines; un dixième ou 0,1 est plus grand que 0,035; une dizaine ou 10 est plus grand que
7,835; on a, en effet
OU nd 10000 7835 = 7906 > 1000 ? = 3000 1000
203. Mesure d'une longueur. Mesure approchée. — Plaçons-nous au point de vue concret et regardons le nombre 197,835 comme mesurant une longueur A, en prenant le mètre pour unité; cette longueur A se compose (n°200, p. 231) d'un hectomètre, de 2 décamètres, etc; on peut dire encore, en tenant compte de la remarque précédente, qu'elle est composée d’un hectomètre et d’une longueur A;,, mesurée par le nombre 27,835, qui est moindre qu'un hectomètre; que la longueur A, est composée de 2 décamètres et d'une longueur A:, mesurée par le nombre 1,835, qui est moindre
qu’un décamètre; que la longueur A; se compose de 7 mètres et d’une longueur A:;, mesurée par le nombre 0,835, qui est moindre qu'un mètre; que la longueur A; se compose de 8 décimètres et d’une longueur A,, mesurée par le nombre 0,035, qui est moindre qu’un décimètre, etc.
On peut imaginer que la mesure d’une longueur soit dirigée de manière à mettre en évidence les chiffres successifs du nombre décimal qui exprime cette mesure. |
Supposons qu’on ait à sa disposition des barres rigides dont les. unes aient pour longueur un mètre, d’autres 10 mètres ou un déca-
mètre....; d’autres 100 mètres ou un hectomètre; d’autres 10
1 Ne ?
de mètre ou un ‘décimètre, d’autres ETTNE de mètre ou un cen-
1 Hi ue timètre, d’autres 000 de mètre ou un millimètre, ..….; je suppose
qu’on puisse mettre toutes ces barres bout à bout, en ligne droite. Afin de ne pas décrire une opération par trop déraisonnable, je supposerai que la longueur rectiligne O0’, que l’on veut mesurer, ne contienne pas dix décamètres, et qu'on utilise seulement les barres dont les longueurs sont respectivement un décamètre, un mètre, un décimètre, un centimètre. a
On se servira d'abord des barres d’un décamètre; à partir du
point O, bout à bout, on placera le long de la droite O0’ autant de " décamètres qu’on le pourra, sans dépasser le point O'; je suppose
qu on puisse en placer 3 mais non 4 et je désigne par O, l'extrémité
du troisième décamètre; la longueur O0,0/ est moindre qu’un déca- «
mètre, on la mesurera avec des mètres; le long de 0,0), à partir de O,, on placera bout à bout autant de mètres qu'on pourra sans dépasser 0’, T par exemple; je désigne par O, l'extrémité du sepuème mètre; la longueur 0,0’ est moindre qu’un mètre: on la mesurera avec des décimètres; le long de 0,0’, à partir de O;, on placera À bout à bout autant de décimètres qu’on pourra, sans dépasser O0, 2 par exemple; je désigne par O; l'extrémité du deuxième décimètre;
la longueur 0,0” est moindre qu'un décimètre, on la mesurera avec
des centimètres; pour simplifier, je suppose qu’elle en contienne exactement 4. La longueur O0’ se compose de
3 décamètres, 7 mètres, 2 décimètres, 4 centimètres:
le nombre qui la mesure, en prenant le mètre pour unité,
s'écrira 37,24; le premier chiffre représente des décamètres, le 4
AE Érs
second des mètres, le troisième des décimètres, le quatrième des centimètres. ‘
La longueur O0’ contient 3 décamètres et n’en contient pas 4; elle contient 37 mètres et n'en Contient pas 38; elle contient 312 décimètres et n’en contient pas 373; elle contient 8724 centimètres et n’en contient pas 3725. Ces remarques justifient les façons de parler suivantes :
9 décamètres, 37 mètres, 372 décimètres, 3724 centimètres sont les mesures approchées, par défaut, à un décamètre près, à un mètre près, à un décimètre près, à un centimètre près (1).
Les mesures approchées, par excès, à un décamètre près, à un mètre près, à un décimètre près, à un centimètre près seraient : 4 décamètres, 38 mètres, 373 décimètres, 3795 centimètres. Notons encore que, si l'on prend le mètre pour unité, les nombres qui mesurent les diverses valeurs approchées sont :
