CURE
Lorsque l’un des facteurs est un nombre entier, on doit séparer dans le produit autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans l’autre facteur.
Observons en particulier le cas où le multiplicateur est l’un des nombres 10, 400, 1000, .… . On peut alors appliquer la remarque du n°168 (p. 187) relative au cas où l’on a à multiplier une fraction par un nombre entier qui divise exactement le dénominateur de cette fraclon.
Soit, par exemple, à multiplier par 100 la fraction 2,87145 ; on
peut écrire cette fraction Lie pour la multiplier par 100, il suffit d'en diviser le dénominateur par 100, ce qui se fera en supprimant
deux zéros et donnera la fraction
en l’écrivant avec la notation décimale, elle sera écrite avec les mêmes chiffres, mais avec deux chiffres décimaux de moins que la fraction donnée 2,87145 ; elle s’en déduira donc en avançant la virgule de deux rangs vers la droite. Ainsi:
Pour multiplier une fraction décimale écrile avec la notation décimale par 10, 100, 1000, .…, on avance la virgule de 1, 2, 5, .…. rangs vers la droite. Si l'on était arrêté dans cette opération par le manque de chiffres décimaux, on introduirait des zéros. Ainsi le produit de 0,27 par 10000 s’obtiendra en appliquant la règle précédente à la fraction 0,2700 ; ce qui donne 2700; dans ce cas, après l'opération, il est évidemment inulile d'écrire la virgule.
206. Puisque la multiplication des nombres décimaux revient à la multiplication des nombres entiers, on pourra, si l’on ne veut conserver qu'un certain nombre de chiffres d’un produit, appliquer le procédé dit abrégé (n°93, p. 101). Les calculs sont tout pareils, qu’il s'agisse de nombres entiers ou décimaux ; la seule précaution à prendre concerne la détermination de l’ordre du dernier chiffre conservé. Les explications qu'on vient de donner et celles que l’on a données lorsqu'on a exposé la théorie de l'opération abrégée permettront toujours de le faire avec sécurité.
207. Division. — Observons d'abord que pour diviser (exactement) un nombre décimal par 10, 400, 1000, .…, il suffit de reculer la virgule vers la gauche de un, deux, trois, … rangs. Si on estarrêté dans l'opération par le manque de chiffres, on suppléera à ces chiffres.
par des zéros placés à gauche de la partie entière, en nombre suli-
sant pour que, après l'opération, il en reste un avant la virgule.
is
Ainsi le quotient exact de 132,781 par 100 est 1,392781 ; celui de. : 0,07 par 1000 est 0,00007. Gette règle se déduit si l’on veut de la règle relative à la multiplication d’un nombre décimal par 10,100,1000,...; en multipliant en effet le nombre 1,82781 par 100 et le nombre 0,00007 par 1000, on retrouve évidemment les nombres donnés 132,781 et 0,07. . os
208. Dans le cas général, on obtiendra le quotient exact d'un nombre décimal par un autre nombre décimal ayant le même . nombre de chiffres décimaux (ce que l'on peut toujours supposer), … en écrivant une fraction ordinaire dont les deux nombres décimaux donnés soïent respectivement le numérateur et le dénominateur, et en supprimant les virgules. | | "50
Soit, par exemple, à diviser 38,761 par 21,142: c'est diviser de
38761 21149 | do DA 71000 PA 000 : le quotient est | EE L 38161 >< 1000 38761 1000 >< 21142 9312.
Il est mis sous, forme d’une fraction ordinaire: nous ne pouvons pour le moment aller plus loin ; je reviendrai (n° 237, p. 263) sur la division des nombres décimaux, après avoir traité de la conversion … dune fraction ordinaire en fraction décimale, problème qui se pose”rt
maintenant de lui-même.
$ 2. — Conversion d'une fraction ordinaire en fraction décimale.
209. Le problème est le suivant : Étant donnée une fraction ordinatre, trouver la plus grande fraction décimale d’un nombre donné de chiffres décimaux qui ne dépasse pas la fraction donnée.
Soit, en désignant par a, b des nombres naturels, + la fraction |
donnée ; cherchons le plus grand nombre décimal de x chiffres qui à ne dépasse pas cette fraction ; en le mettant sous forme d'une frac-” ù
üon ordinaire, on pourra le représenter Par 5%, É élant un nombre | entier qui, d'après l'énoncé, doit satisfaire aux inégalités.
pu rot TOR PRE AO
d’où on tire
REIMS CE +1; | à
ces dernières inégalités montrent que k est la partie entière de la
. AOra jee L : MES fraction 5 0ù si lon veut, le quotient entier de la division de
10*a par 6.
La fraction 107 est ce qu’on appelle {a valeur approchée de + à
Tux Prés, par défaut ; je la désignerai quelqueiois comme la valeur
a b parler supposera qu’elle est écrite dans la notation décimale, c’est-àdire en séparant » chiffres décimaux à la droite du nombre entier k.
approchée normale de — avec n chiffres décimaux; cette façon de
.. k+1 La fraction est ce qu’on appelle la valeur approchée de
(a Fu 40% Pres, par exces.
Si la division de 107 >< a par b se fait exactement, la fraction ordi-
E (44 r A k L4 naire > st égale à TÜr ? elle est alors transformée exactement en
fraction décimale. On conserve toutefois le nom de valeur appro-
chée par défaut à la fraction TU : ainsi 0,375 et 0,376 sont les
valeurs approchées par défaut et par excès à 0,001 près de la frac-
Re, tion +, qui est exactement égale à 0,375.
Supposons que la division de 10*a par b ne se fasse pas exactement ; le quotient est k ; soit r le resie; on a A0ra—bk+?r;
en regardant les deux membres de cette égalité comme les numérateurs de fractions dont le dénominateur serait 10*b ou, ce qui revient au même, en divisant (exactement) les deux membres par 10", on a
107%a bk r
10% 10% æ 102% ou, après des simplifications évidentes, € (/ k 1 x D A0 | 10 5°
QUE on voit par là que la différence entre - et la valeur approchée A0
est le produit de par la fraction n , plus petite que 1.
Si, par exemple, on veut avoir la valeur approchée de . à Le : près, par défaut, on divisera 31 x 105 par T1; le quotient est # 4428571, le reste est 3 ; la valeur approchée que l on cherche s’ob- . tient en séparant 6 die décimaux au quotient; elle est 4,428571.
On a d’ailleurs, en vertu de la division, à © 81000000 — 4428571 >< 7 + 3, ‘à d’où, en divisant (exactement) par 1000000 >< 7,
nn 1 De égalité qui montre que la différence entre Le et la valeur approchée
4,428571 est égale aux trois septièmes de 0,000001.
Pour trouver le plus grand nombre décimal de n chiffres quisoit inférieur ou égal à une fraction donnée, on multiplie cette fraction par 107, on cherche la partie entière du produit et, à droite de celle parlie entière, on sépare n chiffres décimaux.
Le nombre décimal ainsi formé et celui qui s’en déduit en ajoutant ? au nième chiffre décimal sont les valeurs approchées de la
fraction donnée, à Tor Près, par défaut et par excès.
te . 1 210. Désignons par A la fraction donnée et posons « ne TI afin d'abréger l'écriture.
Considérons la progression arithmétique
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