Imaginons que, dans la progression arithmétique

LA LL AC HE LRES CPAS

: 1 1 1 « représente successivement 1, 0 > 100 ? “> gr ; ON aura

ainsi une suite de progressions commencant toutes par 0, dont la première est la suite des nombres entiers ; la seconde, la suite des nombres décimaux à un chiffre décimal, etc... On se représente: assez bien ces progressions successives, en imaginant une longue règle divisée en mètres, chaque mètre étant divisé en décimètres, chaque décimètre en centimètres, etc., … ; l'extrémité de la longueur mesurée par le nombre A, dont on suppose l'origine au 0 de: la règle, pourra coïncider avec l’un des points de division ou bien tomber toujours entre deux des numéros qui marquent les mètres, deux des numéros qui marquent les décimètres, etc. En se reportant à cette image, le lecteur reconnaîtra sans peine que les valeurs approchées de A par défaut à 4, à 0,1, à 0,04, … près vont en augmentant, ou plutôt ne diminuent jamais, tandis que les valeurs approchées par excès à 4, à 0,1, à 0,01, près vont en diminuant, ou plutôt n’augmentent jamais.

Je me borne à ces indications sur la démonstration de propositions d’ailleurs très importantes, qu’on va retrouver en étudiant de plus près la règle même du n° 209 (p. 240) qui donne le moyen d'avoir les valeurs approchées. |

212. Si l’on veut avoir les valeurs approchées par défaut à 1,

à 0,1, à 0,01, à 0,004, … près d’une fraction, de or par exemple,

on aura à diviser par 7, au sens de la théorie des nombres entiers, les nombres 31, 310, 3100, 31000, ..; mais chaque opération sert à la suivante. On divise d’abord 31 par 7, le quotient est 4 et le reste 3; on doit diviser ensuite 310 par 7, mais on a calculé déjà le premier chiffre de ce quotient qui est 4, et l’on a le reste correspondant qui est 3. Pour continuer l'opération, il faut abaisser un 0, ce qui donne 30; en divisant 30 par 7 on obtient le second chiffre du quotient qui est 4, et le reste correspondant qui est 2; la valeur approchée à 0,1 près est 4,4. Pour avoir la valeur approchée à 0,01 près, on devrait diviser 3100 par 7; mais on a déjà les deux premiers chiffres du quotient, et le reste correspondant qui est 2; pour continuer l'opération, il faut abaisser un zéro, ce qui donne 20, diviser 20

par 7, ce qui donne comme quotient 2 et comme reste 6; la valeur approchée à 0,01 près est 4,42. Pour obtenir la valeur approchée à 0,001 près, on devra diviser 31000 par 7; mais on a déjà trois

chiffres du quotient et le reste correspondant, etc... On adopte pour

les calculs la disposition suivante (le diviseur n’ayant qu un chiffre,

on n’a pas écrit les produits de ce diviseur par les divers chiffres du

quotient ; on s’est contenté.d'écrireles restes) :