Le rapport -^ =— ^ ^-^ se présente quand
néanmoins en réalité une valeur finie , qui est en général une fonction nouvelle de x, et exprime la tangente trigonométrique de Tangle que fait avec Taxe des x la tangente à la courbe jr=F(x), au point x^y. Cette fonction nouvelle , limite du rapport de Taccroissement de la fonction à Faccroissement de la varial^e indépendante, prend le nom de dérivée et se désigne par l'une desnota-
tionsj" ou r (o?) = liiji. -~ = iim, -«-^ — -i — -^ ^— %
8, Puisque le rapport-^ a pour limite F' (a:), il faut
qu'il difl%re de F'(x) d'une quantité e qui s'évanouisse
on fait ^ 32. o sous la forme indéterminée - et acquiert
FHEMÏÈK^ LEÇON. ' 7
avec Ax , on aura donc
et par suite
Le premier terme de l'accroissement Ay ou le produit de la dérivée j<^ par Faccroissement Ar de la variable indépendante, s'appelle la différentielle de la fonction j^ et se désigne par la notatiom dys de sorte que l'an a identiquement
dy = j'aj: == Y'{x)^Xy ou même dy = ydx = F'(j?)éir,
parce qu'il suit des définitions donnéeis, que la difierentieUe dx de la variable indépendante est égale à son accroisseUiènt*
La différentielle sera d'ailleurs, en général, une quantité finie ou infinimetit petite, suivant que l'accroissement Ar = dx sera lui-même fini ou infiniment petit.
Quand Ax est infiniment petit, e doit l'être aussi, puisque
A y le rapport — doit alors différer infiniment peu de sa li-
mitey'^ <m peut donc, dans l'équation -^ = j^' -f- e, né-
gliger e par rapport à la quantité finie j^, ce qui donne Ay =^'Ax= dy^ d*ô^ l'on conclut que la différentielle, lorsqu'elle esllnfinim^nt petite, est sensiblement égale à l'accroissement de la fonction et réciproquement.
9. La recherche des dérivées et des différentielles des fonctions simples et composées , l'application des proprié-^ tés de ces différentielles et de ces dérivées à diverses questions d'analyse et de géométrie, forment Fobjet du calcul différentiel.
lO CALCUL DIFFÉREUTIEL.
aurons
Aj^ ^ « a*
Ax L(i4-ic)~L(i4-i»)'
et
Ay (t'
si a = e 9 j^= e*, on aura y ^le'^ dj ^ e*^* ^ la dérivée de e' est cette même exp<mentielle \
7«. Pour r=Lx, Ar^L(^ + ^)-Lx^H"''W^
y • * VI
LAA
Ax
Ax
posons
zut
d'où
Ax=:
ax,
il vient
Ax
dy
si a=:ey 7- = Le, on aura y •=.-y dy z=. — j
en posant .
d'où
sin{x4-^^)— sinx=sin(a+ô)— sin(flr — A)=:2sin6cos^
. ùkX f ^ ùiX\
= 2Sin — cos( a? 4-— l
tlCtïXtfelCfe LEÇON. II
il vient
sm —
Ar a
