COS

ùx nx

Q*. Pour r = COS*. -^ = — ^ — ^ -,

^ àx à» '

et par une transformation semblable à celle qui précède,

. ^x sm

lim

1= — sm X H ,

AJ7 \ îfc /

im. — = y= — sin4? = cosf j? H — ), 4r = — sîndMiv=:;CQô[«H — j dxy

10®. Pour jrzrarcsiQx,

X =: sin^, cosj = i/^i— 47» , Aâ? = sin(/ 4- Ax) ''^ si^ ^>

a \; % J àx . A j

ân-^ co8(j + ^

,. Ajr I 1 d:r

àx cosj^ V/i ^* -^ V^i««*

II**. Pour / = ajrccosx9 j: = cosj^, sinj=l/i— ^,

Ar . / A r \ \x = oos(j 4- ^x) "^ cos^ = — 2 sin — sin ( y'\ 1,

12 CALCUL DIFTÉRENTIEL.

lim. -=^=7^ = : =

Ax srn j

\/l — ar**

Remarque. Si f on ajoiitê led différentielles des deux fonctions arcsinx, arccosx, on trouvera o, ce qui doit être, puisque la-somme de ces deux arcs est ëvidemment égale à une quantité constante dont la différentielle est nécessairement nulle.

TROISIÈME LEÇON. l3

TROISIEME LEGON.

DériTées et différentielles des fonctions de fonctions , des fonctions composées et des fonctions implicites.

11. Supposons que z soit une fonction de fonction de x, déterminée par les équations z = F(/), j =f(^x) 5 en donnant à a: un accroissement Axj jretz prendront des accroissements A/, Az , et l'on aura

& la limite , le premier facteur -^ — ^ devient

cyidemment la dérivée de z , prise par rapport à jr, comme si jr était variable indépendante ] désignons cette dérivée par z'^, nous désignerons par z'j, la dérivée de z prise

par rapport à x, ou la limite du rapport — ^ le deuxième

facteur -ç- a pour limite la dérivée y, ou ^ de j^ prise par rapport à x*^ nous avons donc en dernier résultat

Ainsi la dérivée d'une fonction de fonction , est égale au produit de deux dérivées , l'une z y prise par rapport à^, comme sij^ était variable indépendante, et l'autre j'^^p prise par rapport à x. En désignant par d^z^ dyZ^ d^y les différentielles de z prises par rapport à a: et à j^ et de j^ prise par rapport à x , on aura , n*^ 8 , en vertu des défi-

l4 CALCUL DIFFAlUHliTIEL.

nitîons admises,

dgZ^=i2fgdXy dyz:=ztfydyj d^y = y ^dx -=: / dx ^

et par suite

dxZ^djZ d^ ^^:— 4f ^iL dx dx dy* dx^ dx dy' dx

On est convenu de supprimer les indices x^ jr et d'ëcrire simplement

dz dz dy ^, ^ ^^ j

dx dy' dx^ dx dy dx '

en laissant aux dénominateurs dx^ dy^ dësonoials inséparables des numérateurs, à désigner que les dérivées soiit prises tantôt par rapport à y , tantôt par rapport à X.

. dz Ainsi — n'est pas proprement une fraction ^ mais un symbole, une notation qui indique la dérivée de z prise pair rapport ky. On écrit cependant souvent ^^ = j" ^ ^i

au lieu de —dx = — .--f- dx ^ pare© que Je second

membre indique suffisamment par sa forme que la différentielle du I®' est prise par rapport à x.

Si l'on avait McrF(-c), z^f(j), jr = ^(jr), on aurait de même

^U Y{z+^z)—Y{z) f(y+^r)—/{y)^y Aj? Au Ay Ajp

Les trois facteurs du 2® membre ont respectivement pour limites les dérivées u',, z'^, y^^ de u par rapport à z, de z par rapport k y^ de y par rapport à ^; on aura donc a, = u\*z'j .y^y et la dérivée d'une fonction de fonctions est toujours égale au produit des dérivées de toutes les variables prises chacune par rapport à celle qui la suit

TROISIÈME LEÇON. l5

OU dont elle dépend immédiatement, comme si elle était variable indépendante. En admettant les notations précédentes, on aura

dgU d^u djZ d^y dx dz* dy* dx '*

que Ton écrit simplement

du du dz dy dudz dy

dx dz dy dx^ dz dy dx

Applications, i°. z=. y^ z' -==. y'^ dz •=. dy, 2°. z =z a ±^,

y étant une fonction de x , on aura

une constante ajoutée à une fonction ne change rien à sa dérivée ou à sa différentielle , et par conséquent deux fonctions qui ne diâërent que d'une quantité constante ont la même différentielle et la même dérivée.

- dz dy . dy ^

3". z=zay^ — =:a— , dz=za—dx=:ady.

On différentie sans avoir égard à la constante qui reste simplement en facteur.

. a dz a dy a ^

dz=.^±^dx=.-^^-^.

y*dx y^

t. dz dy ,

fiz = ar''''^-^i

ay'^''^~-dx=:ay'^''^dy', ux

jQ CALCUL DIFFÉKEMTIEL.

La diflérentielle d'un radical du second drgré est donc toujours égale à la différentielle delà quantité sous le radical diTisée par le double du radical.

' ^ (Ix dx .

^ -^^ dx^yXadx' y\adx y\a ^ '

dz dr ^ dy . ,