z = sin/, — =cosj^, «fz =cosj^€/x=cosjrf
dz . . dy . * dy . .
I o«. z = cos/, ^ = — sïnr^»^*= ""*^°^^^^= ~ sinr«r;
û^^ J dy . __ ^r
11°. Z=:arCSm/, -j- = — > -:r-» «2; — --.: — :^=rr,
*^ dx \/i yidx \/i jr*
dz ^ dy ^ dy
12°. z=arccosr -— = — - rfz= -. .
^^dx \/y^y^dx' . X/^i—y*
La règle générale est donc de différentier conune si jr
, dy était variable indépendante, puis de substituer à — ou
à djr y leur valeur en a: tirée de l'équation j^ =J'(x).
12. On calcule avec non moins de facilité les dérivées et les différentielles des fonctions composées.
1°. Pour u = z ±: j^, on trouve
AM ^z .Ay , du ,, , dy.dz , , .
— = — ±:— , a'=: — =y±z'=-f ±: — , du = dy±dz. ^x ùiX ^x dx dx dx
La dérivée ou la différentielle de la somme ou de la différence de deux fonctions est égale à la somme ou à la différence des dérivées ou des différentielles de ces fonctions.
TROISIEME LEÇON* I7
2°. Pour M = zy,
Air Aj? ao? aj? Ax *
-. Aô , du dy' dz , , ,
Ax aJ? dx ax
Plus généralement si w = vuzy.,,^ on trouvera
«»' = -T- = ««^...p'+pz/... w' + vuy>,.,z' -f- vuz,.,y + etc. ; //w' == ttzy,.,dç + çzy..^du + vuy.,^dz + t'ttz... c?^ + etc. ;
c'est-à-dîre, que pour avoir la dérivée ou la différentielle d'un produit, il faut dans ce produit remplacer tour à tour chaque facteur par sa dérivée ou sa différentielle et faire la somme des produits ainsi obtenus.
On peut arriver d'une autre manière à cette conclusion. En effet, l'équation tv = vuzj... donne
^» = p*M»zy . . . , Icv» = lii'» + la* + Iz* + \y^ + etc. ;
en diffërentiant les deux membres de cette équation identique , on trouve
dw dv du , dz dy (V V u z y
dw = uzy...dv^vzy,,.du + puy..,dz -j- puz»..dy'{- etc.
Nota. Nous avons élevé au carré pour éviter les logarithmes imaginaires, dans le cas où les quantités t', «, z, y... seraient négatives.
Exemples : zz=zx\x, z=zafe^',
Az Ar
^ Z AK /z-|-AZ 2\ I àX &x
3«*. Pour u=-, — = — — — =- —
y AX \y+ Ay y) Ax j (7 + A/)
Aa , du yz'—zy' ydz — zdy hm. — = m' = ^p = 1 , du z= .
AX dx j* y^
l8 CALCUL DIFFÉftSNTICL.
La différentielle d^une fraction est donc égale au dénominateur multiplié par la différentielle du nimiérateur, moins le numérateur multiplié par la différentielle du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur. On pourrait arriver au même théorème de la manfère suivante :
L'équation u = - donne
, , du dz dy , y-dz^^zàY
4^ PourM=j^%
du dy lu=z\Xy —z=z-^+dz\y^ duz=y*'''[zdy+y\ydz].
13. On peut déduire de Texamen de ces divers cas particuliers la règle générale suivante : pour différentier une fonction composée quelconque, il suffit de différentier tour à tour par rapport à chacune des fonctions dont elle est formée, conune si les autres étaient constantes, et de faire la sonmie des quantités ainsi obtenues. En vertu de cette règle , les équations
donnent bien
dç = yzdu + uydz + uzdy , du = y*"' [zdy '+'y\ydz) ,
du =r x*( 1 + Lf) dx.
^ ,. ^ sinar , cosa: , , sin*j: ,
Applicat. r = tangj?= , «r = or H or,
^^ "^ ^ cmx -^ cosx cos»x *
dx
008 ar , sin a: , cos* x
y=cotx = -; , tfr= — -; //r— -: ,
sm X %\nx sin*x
dx dy=. — . , := — (i -t-cot'x)dlr:
TROISIEME LEÇON. I9
sin r , dy
dx dy=zax ces* j =
dx jr= arc cota:, fl[y == — £/lrsln*/=: —
Si l'on a plus généralement a = F(/, z)^jrelz étant deux fonctions quelconques de or, d'après la règle ci-dessus énoncée , la diflFérentielIe du se composera de deux parties^ l'une sera la différentielle de F(j^, z) prise par rapport à y comme si z était constant , différentielle que l'on peut et que Ton doit désigner par la notation
— ^'^^ ■ -?-dx. ou simplement ^-rfr: l'autre seraladiffé-
dy dx ^ ^ dy -' ^
rentieDe-7- dz ^{^^{y^ z) prise par rapport à z comme
si y était constant ; on aura donc du ^=. — dy -{- — dz \
or cette équation, qui est d'une très grande importance dans la recherche des différentielles , peut se démontrer facilement comme il suit. En effet , donnons à x un accroissement Lx^y^ z^ u prendront des accroissements t^y , tiz , Au , et nous aurons
Atf__F(jr-f-Aj, z+Az)— F(7, z)F(j-f-Ay, z)—Y{y, z) b.y
tiX Lx Ay AJ7
Y{y + ^yy z + ^z)—Y{y + ^y, z) Az
£iZ Ax'
En passant à la limite, le i®'^ membre devient — ^ le
dx
i®*^ terme du 2® membre est -r- . -^ ou le produit de— nar
dy dx ^ dx '^
la dérivée de F(y^z)=:u prise par rapport ày, comme si
y était seul variable, et z constant. Pour mieux connaître
20 CALCUL DIPFÉftENTIËL.
ce que sera à la limite le second facteur, faisons d'aboiti ùy = o, il devient
