AO
et si Ton y fait de plus Az = o , on voit évidemment que ce terme à la limite est bien le produit de -p par la dérivée de F(j^, z) prise par rapport à z, comme si z était seul variable , et j constant. Nous avons donc réelle-^ ment
du du dy du dii , du , , du ,
— = — -^ -4 et du = — dy + — dz .
dx dy dx dz dx ^X ^^
Si l'on avait w = F(j', js, ii, t^ ,.••)> ^^ trouverait de la même manière
dw ^ ^ dw , dw , dw , ^ dfP ^=. -T- dy A- —- dz-\ — — duA — ^d(' + etc. , dy '^ dz du dp
et la règle que nous avons donnée plus haut pour la différentiation des fonctions composées, se trouve rigoureusement démontrée; c'est-à-dire que pour obtenir la différentielle d'une fonction composée , il suffit de différentier tour à tour par rapport à chacune des fonctions composantes, et de faire la somme des différentielles
ainsi obtenues. Ces différentielles -j-dr. -r-dz. -r du.
dy ^ ^ dz du
"j-dv^ s'appellent les différentielles partielles de la fonction F(j^v ^1 ^1 ^v)'
Exemple : si u = F (sin x , cos x) , en posant sin x = J^^ cos jc: = z , on aura
du du
dwzn-r ces xdx — -r- sinxr/j?; dy dz
et si a = cos* x -(- sin* j? ,
du-=. — 2 cos x^viixdx-\- 2 sin j: cos xdx •=. o^
ce qui doit être puisque cos* x -f- sin* jc = i .
14. n reste à déterminer les dérivées et les diflFérentielles des fonctions implicites.
On a déjà vu que si deux fonctions de x ^ y et z sont identiquement égales, c'est-à-dire ofirent toujours la même valeur , quel que soit x , Téquation y = z entraîne les suivantes
jr^Ajr = z + A7iy — = — , y' = z\ dyzrzdz-,
aX aX
les dérivées et les dîflerentielles de ces fonctions seront donc aussi toujours égales. De plus, si une fonction de x est nulle identiquement, c'est-à-dire quel que soit x^ sa dérivée et sa difierentielle seront encore identiquement nulles. En effet, l'équation identique j^=:; F (jr) =^0, donne
y + ^X = ¥(x + ^x)—F{x)=:o, aj = o, ^ = 0,
àx
rfr
Cela posé, considérons une fonction implicite quelconque donnée par l'équation u = F (x ^ y) = o. Si dans cette équation l'on substituait à j^ la valeur j^ =y*(:p)- qu'on en retirerait en la résolvant, l'équation résultant de la substitution, F[j:, f(x)]=o^ serait identiquement nulle ou serait vérifiée quelle que fût x , sa différentielle et sa dérivée seraient par conséquent nulles aussi. Si donc , en considérant y comme tenant la place de sa valeur en x , on différentie l'équation F(x^ y) = o^ il faudra égaler cette différentielle à o-, or l'équation F(a:,j^) = o n'est qu'un cas particulier de l'équation u = F (y^ z) , celui où zi= o, y =J'(x) , z = X'^ sa. différentielle sera donc
du du du du
-~ dx +-r- dy. et nous aurons -j- dx +--r- dx = o,
dx dy ^ ^ dx dy
d'où
du du
dy dx . dx ^ ^
-j-:= — -7-, iary:=— -— dx, . ' dx du '^ du
n est donc facile dans tous les cas , sans résoudre Féqna-
dr tion F(a:, r) = o, d'obtenir la dérivée -^ , oula diffé-
dx
rentielle dj ; il suffit pour cela de prendre les dérivées du
I*' membre tour à tour, comme si x et j^ étaient variables
indépendantes ; le quotient de ces dérivées pris en signe
contraire donnera la dérivée^; en le multipliant par
dx on aura la différentielle dy.
1^^ Exemple:
^^+x^— 3flrj:j=o ; — = Zx^ — Zay , — = 3/* — Zax\
donc
dy 3^'-^ay ay^-^x*
dx y^^^ax y^-^^ax
a® Exemple :
du . du -
y* — a:/=:o, ^=^*^ — X^^^^y — = xy*"^ — xX Ix;
donc
dy yxf^^ — y* \y y* — xy\y
dx xy*"^ — x^ l X X* — xy \x '
Nota. Dans les équations qui précèdent, aux notations
— , ;!-•••? on substitue souvent les notations équivalentes
dY d¥ dx ^ dy* y '
QUATRIÈME LEt)ON.
Des dérivées et différentielles suncessives. — ChangemeDt de la variable indépendante. — Différentielles des fonctions imaginaires.
15. La dérivée F (or) d'une fonction quelconque F (a:) étant généralement une nouvelle fonction de x , elle aura aussi sa dérivée et sa différentielle , et Ton conçoit que d'une fonction donnée F(x) on pourra déduire en général une suite de fonctions nouvelles, dont chacune sera la dérivée de la précédente. Ces fonctions nouvelles sont ce qu'on nomme les dérivées des divers ordres de y ou F(x), et on les indique à l'aide des notations
ou
Ainsi ^' ou F'(a:) sera la dérivée du premier ordre de la fonction proposée y =: F(x) \ y ouF"(jr) sera la dérivée du second ordre dej^ et en même temps la dérivée du premier ordre dej'. . . EnlÇn j^^"^ ouF^"^ (x) {n désignant un nombre entier quelconque) sera la dérivée de l'ordre /i de j^ et en même temps la dérivée du premier ordre de j^^"~*\ etc.
16. Comme la différentielle dy =ydx^ d'une fonction de la variable x est une autre fonction de cette variable , on pourra la différencier plusieurs fois de suite , et l'on obtiendra de cette manière les différentielles des divers ordres de la fonction y. Il semble qu'il faudrait les désigner par les notations d.dy^ d,d,dy... d.d.d.d.dy;
a4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
mais on est convenu, pour abréger, de les écrire de la manière suivante
àjTy d^y d^jTj rf^,. . . d^jr-
n existe entre les dérivées et les différentielles successives des relations remarquables qui peuvent cependant être regardées conune le résultat de certaipes conventions.
Pour calculer rf*y, il faut différentier l'expression dy =zydx\ or dans cette expression on regarde le facteur dx^ qui est l'accroissement arbitraire Aa: attribué à la variable x dans la première différentiation , comme indépendant de cette variable , et il l'est en effet , comme ne variant pas avec elle : y'dx :=^Y' {x)dx est donc un produit dans lequel le facteur dx est constant, et dont on obtiendra la dérivée en donnant à a: un nouvel accrois^ sèment A^ , et prenant la limite de la quantité
dx
F'(^ + Ax)-«F'(x)
Ax
limite qui est évidemment égale ky'dx : telle est donc ^a dérivée de c?jr, et si l'on conviexit de prendre le second accroissement Ar égal au premier dx , la différentielle de dy seray^/o:', et l'on aura
d}x^iy^cLc^.
En procédant delà même manière, on, aura successivement
d^X = d ydx^ = dx^dy'=f'da^, d^y =f"dx^ ...d^y =y^')daf*.
La différentielle de l'ordre quelconque n est donc égale à la dérivée de l'ordre n multipliée par la puissance »'*""^ dx^^ de l'accroissement arbitraire attribué à la variable Xy et réciproquement la dérivée de l'ordre n^ /^"\ est le coefficient par lequel il faut multiplier la n'^'""' puissance
QUATRIÈME LEÇOlf. 25
dsf^ de dx = Aa: , pour obtenir la différentielle de Tordre n. C'est pour cette raison quejr(") est quelquefois appelé le coefficient différentiel de l'ordre n.
Appliquons ces principes généraux d'abord aux fonctions simples :
1». jz=a-|-^, / z= I, /'z= o, ^*' = o...7('») z=o, 2°. y = a — 0?, y= — I, y' = o, /'=o. ..jC»)=o,
3*». x=;ax, y = a, /' = o, . . .j^-C") = o^
dy = adx, d*jr = o, ..dy=: o;
j(«) =(— l)»1.2.3. . ./2fl^"(»+0^
d^X = { — i)'i.2.3...««x"(»-**Od:r".
Le coefficient (-r- 1)" exprime que la dérivée est accomr pagnée du signe — quand n est impair, et du signe -fquand n est pair.
^C'«) = /r(a — i)(a — 2). . . [a^-n •\-\)af^\ d^y'=za{.aT' 1). . .(«r— « + 1 )af^'^daf'.
Cette dérivée de l'ordre n ne sera jamais nulle si a est un nombre fractionnaire ou une quantité négative , mais elle s'évanouir^ si a est un nombre entier m , quand n sera égal à m H- I . Ainsi la dérivée et la différentielle de l'ordre (m -f- i) de x^ sont nulles^ la dérivée de l'ordre m est la quantité constante m (m — ')(''* — 2). . . i, ou
Si
^6 CALCUL DIFFÉREHTIBL.
toutes les dérivées de eF sont cette même exponentielle. Les dérivées successives à& y -=. e"*, sont
et l'on a
^(n)=ri^ — £ .1 .2.3...(«— l)a:"",
rfC'»)j=:^ -^^ — .1 .a.3...(/i — i)a:-"»<i!r"
, . 1 .2.3. . .(/i— I ).Ltf ,
8**. j^=.sina:, /' = sin[dr + -)» j" = sinfx + 2-J...
sin ( 0? + « - ) u^a que quatre valeurs différentes ; n en effet ne peut avoir qu'une des formes suivantes :
Dans le premier cas
sin ( X +^ - ) = ^ («V + 2''''') = sin X ; dans le deuxième cas
sin( x + «- j = sin f x + 2/w7J + - J = cosx;
dans te troisième cas
sin( X + « - ] =: sin (x + 2//ît + ii) =: — sin x ;
dans le quatrième cas
sinf 4r + «-]=smfx+ ^f^''^ + 3 - j = — oos j:.
Les dérivées de sm:c n'offrent donc que quatre valeurs qui se reproduisent périodiquement.
90. yzricosx^y z= cos(^+- j, ^'' = cosf x-l-a- J... jr(») = cos (x-^n-jy </(")j = ces (x + n-j daf^.
Ici encore les dérivées n'ont que quatre valeurs distinctes, 006 a: , — sin x , — cos x , H- sin x^ qui se reproduisent périodiquement.
lo®. j^ = arcsinj?, y=(i — j?*)""» , y = a?(i — ar*)"«,
y^=;(l +2x»)(i — or*)"», etc.;
11°. jr=z:arc cos x^ ^•'=—(1—0?*)" a , /"== — ir( 1 — <c*) » , etc.
17. Quand z était une fonction de fonction, déterminée par les équations
nous avons trouvé
, dz dz dy
dx dy* dx^
dz en différentiant une seconde fois , et remarquant que -^
dy est une fonction de y^ -^ une fonction de x^ nous au-
rons
d^z d*z dy* . dz d*y ^ d*z , dz ,
dx* dy* dx* dy djfi^ 4y* -^ dy . -^
a8 CALCUL difféhbntibl.
Une troisième différentiation donnerait
5P~âp5r^"*" '^^dxdx^'^^dj^*
^ {Pz , , , ^ d*z , ^ ^2 rt
Exemple: z = Ij, ^ := sina:.
On trouve
^(^ =:cosâ?d[r, rf*^ = — ' sin j?£ir* , </'^ = — cpsardlr^,
«fe I i rf*z I I d^z a 2
djr jr ânx ' djr* y* $in*x' dy^ jr^ sin^jF '
«s = a . 1 sua a: =: — ; — oxt a*z i= a» . I sin a: = -^r; -: •
sin;r 8m*ar '
d^z = rf'.lsina:= -r-; — dx^.
sin^o:
Ces exemples suffisent pour montrer la marche à suivre dans tous les cas particuliers.
18. Supposons enfin que u soit une fonction composée, pu que Ton ait
Nous avons trouvé
f du du dy ^ du dz
dx djr dx dz dx'
Différentions une seconde fois , en nous rappelant que —, — sont des fonctions immédiates dej^ et de z , et des
fonctions de fonctions de x^ tandis que -^, -j- sont
^ dx dx
seulement fonctions de a: ; de plus , désignons par les no-
d^u d^u y j r . / -t du du . , tations -I — T , -1 — r les dérivées de -^ , -;- prises, la predzdy dydz dy dz ^ ^
mière par rapporta z,la deuxième par rapport à j", ou ce
QUATttIÈME LEÇON « 29
qu'on obtient en diflerentiant u d'abord par rapport à j^, puis par rapport à z, ouen premier lieu par rapport à z, et en second lieu par rapport à y ] nous montrerons plus tard que ces deux quantités sont égales, ou qu'on a
= : cela pose , nous trouverons
dzdjr djrdz
d^u d*u dy* . du d^r . d*u dy dz du d*z d^u dz* ^ :L— -1. £. -J« 2 — •+• ■+•
dx* dx* dx* dj- tlx^ dzdy dx dx dz dx^ dz^ dx^ *
d^u , , du ^ , d^u , , , du . . d*u ,
Pour différentier une troisième fois, on désignerait
par , ■ > r-r- les dérivées des quantités -7- , , , , ^ dzdy*^ dydz^ ^ ^*' cfe^r
-j-^ , prises pour la première par rapport à^, pour la seconde
par rapport k z elky^ pour la troisième par rapport ky*
Nous prouverons aussi plus tard que ces dérivées offrent
seulement deux valeurs distinctes ——--=-- — r-= , , , ,
dzdy*^ dy^dz dydzdy dès lors il serait facile d'é-
dydz^ dz^dy dzdydz '
d^u crire la valeur de -7-3 ou de iPu.
Exemples •- uz=yzj y =ismxj z= cos Xy
dy:=zcosxdxy d*y =z -^ un xdx* ^ £/z = -— sin xdxj d^z-= — cos xdx^ ,
du du d^u d^u d^u d*u
^~"^' ^""•^' ^~"^' ^■~®' d^'^Tfyd^'^^' du =z z cosxdx — y sin xdlr 1= cos* xdx — sin* a:dlr , d^u=: — cosxsttiâ;^^ — 2 cosxsinxfl/lr* — cosj: sin x dx*y
ou enfin
rf»a ziz"^ ^sinxcosxdx*.
On trouvera facilement, d'après ce qui précède, que les dérivées n'*'^' des fonctions
3o CALCUL DIFFÉRENTIBL.
az=:j+», a=j^ — Z, Il = a/ + 6z + ®^»
sont
d^{ay + ^z + etc. • • ) := flrf'y + bd^z + etc. ,
€/»+'(aa?»+ ^a:»-' H- etc. ) = o.
La différentielle n'*"^ d'une somme ou d'une différence, est donc encore égale a la somme ou à la différence des différentielles »'*"**'.
