Scolie. Reprenons les équations

quand x est variable indépendante on obtient immédiatement les dérivées et les différentielles successives en regardant dx comme une quantité constante, mais si x cesse d'être la variable indépendante et devient fonction d'une autre variable, dx sera aussi une fonction de cette variable, et en différentiant plusieurs fois de suite les deux équations

et ayant égard aux règles ci-dessus établies , on trouve

dy =f'{x)dx, d^y T=Lf'\x)dx' +/'(^)^:p, d^y =/'"{x)dx^'^3/''{x)dxd»a: +f'{x)d^x.

,dy „ ^ dx __ dxd^y-^dyd^x

^ ^di' -^ -" 'rfï*- d^ '

dxd}y — dyd^x

dï^ y -^z a,

dx dx(dxd^y'-^dyd^x)''^3d*x(^dxd^y—^dyd*x)

QUATRIÈME LEÇOlf. 3l

Ainsi y 1^ pour passer du cas où la variable x est variable indépendante au cas où elle cesserait de Tétre , il suffit de substituer aux valeurs—-, -r^» -r^, etc., des

ax dx^ dx^

dérivées j/, j^, y^ ... les nouvelles valeurs données par les équations qui précèdent ; 2® pour revenir au cas où x serait variable indépendante , il suffit de supposer la différentielle dx constante^ et par suite d^x=o^ d^x=o^ etc.^ on retrouvera en eflfet de cette manière

3° dans ces substitutions ou dans ces cbaugements de variable indépeudante, la dérivée du premier ordre est la

seule dont l'expression ^ reste la même , de sorte que les

formules qui ne contiendraient que des dérivées du premier ordre, conserveront seules la même forme dans tous les cas.

20. Pour obtenir les dérivées ou les différentielles successives d'une fonction implicite donnée par l'équation Il z=zT(Xyy) = o, on pourra partir de l'équation

I du du

dr dx* , dx ,

=-^ ou rfr=-^^,

dy djr

qui , différentiée plusieurs fois , donnera immédiatement les dérivées et les différentielles cherchées \ mais il y a souvent de l'avantage à déduire ces différentielles des équations que l'on obtient en différentiant de nouveau l'équation

du . du ,

Dans cette équation comme dans toutes celles qu'on en

déduit, les dérivées partielles -z~, -r-, -7—-, etc., seront,

•■• ax dy ax^

en général y des fonctions de or et de j* : la fonction implicite j", ail contraire, et ses différentielles dy^ rfy, ^j^^ etc., doivent être supposées tenir la place de leurs valeurs en x ; dans cette hypothèse les premiers membres des équations sont identiquement nuls, et il faudra toujours égaler leurs diflerentielles à o. On trouvera de cette manière

d^u , d*u dr , d^udy* dud*Y -j« 2 IL. J ± «1, :L ^^2 o

dx* dxdydx dy* dx* dy dx* '

d^u d^u djr du d^Y

dx^ tlx^dy dx dy dx^

On a quelquefois aussi besoin de prendre les dérivées et les différentielles des fonctions imaginaires que nous supposerons toujours ramenées à la forme m -f- t' k— i , z^ et f> désignant des fonctions réelles. Cela posé, si Ton ap- , pelle limite d'une expression imaginaire variable ce que devient cette expression quand on y remplace la partie réelle et le coefficient de V^ — i par leurs limites respectives, et si , de plus, on étend aux fonctions imaginaires les définitions données pour les diflTérentîelles et les dérivées des fonctions réelles , on reconnaîtra que Téquation IV = M + f^ \/ — I entraîne les suivantes :

. y AiV ^U ^P y

àX i^X ^x

dw du dv j y

dx dx dx ' .

dw zzz du •+• dif V^ — i;

de sorte que pour différentier une fonction imaginaire , il faut opérer comme si la fonction était réelle , en regardant l/ — I comme un coefficient constant. Cette règle s'étend évidemment aux dérivées et aux différentielles successives.

Exemples : w = cosj; + k— -i sin^,

d(vz= ( — sin J7-|- K— 1 cosj:) , dw :=z^^ «'V^— i V/jp.

Relations qui existent entre les fonctions réelles d\ine seule Tariablc et leurs dérivées ou différentielles de divers ordres.