Soîent Aa: , Ay, les accroissements simultanés des

variables x et y = F(a:), le rapport — ayant pour limite

la dérivée^', finira, quand Ax sera assez petit, par avoir le signe de sa limite , et sera par conséquent positif si la dérivée est positive, négatif si la dérivée est négative. Dans le premier cas, les différences infiniment petites Ay, Aa:, étant de même signe, la fonction j^ croîtra ou diminuera en même temps que la variable x ; dans le second cas, ces différences infiniment petites étant de signes contraires, la fonction jr croîtra si la variable x diminue et décroîtra si la variable x augmente.

Corollaire i**". Concevons que la fonction J = F (x) demeure continue entre deux limites données x^^ X, et que l'on fasse croître la variable x par degrés insensibles depuis la première limite jusqu'à la seconde , la fonction F(x) ne pourra cesser de croître pour diminuer, ou de diminuer pour croître, qu'autant que la dérivée P(x) passera du positif au négatif, ou du négatif au positif. Il est essentiel d'observer que dans ce passage la fonction dérivée, deviendra nulle, si elle ne cesse pas d'être continue, et infinie si, sans cesser d'être toujours réelle, elle est discontinue.

Corollaire 2®. Supposons que la fonction j^ t= F (x) s'évanouisse pour la valeur particulière x^^ et demeure

continue dans le voisinage de cette valeur, on aura

en supposant donc que la valeur x^ + ^ = x diil^re ti'ès peu de Xq ,

F(xo + ^x) =i: F {x) sera positif si F'(xo) > o , F(^o + A^) = F W sera négatif si F'(xo) <[ o. 22. Soient F (x) elf(x) deux fonctions réelles de x qui restent continues ainsi que leurs dérÎTces entre les limites x et x + h] supposons d'ailleurs que la fonction dérivée de la seconde f'{x) ne change pas de signe entre les limites dont il s'agit, ou qu^entre ces limites la fonction/* (or) aille toujours en croissant ou toujours en dé^ croissant, le rapport des deux diflTérences

F(^ + A) — F(x), f{x + h)—f{x), sera égal à Tune des valeurs que prend entre les limites x et a: + A le rapport des dérivées ^{x)^ f'(j^)y c'est-à-dire qu'en désignant par 6^ un nombre plus petit que l'unité,

on aura

Démonstration. Soit A la plus peti te et B la plus grande

¥'(x) des valeurs que prend le rapport 77^ entre les limites X

etx + h\ les deux différences

seront de signes contraires ^ il en sera de même de ce» deux autres

F'(*)-A/'(:r), ¥'ix)-B/'{x),

puisque y (x) est constamment de même signe : or ces deux dernières différences sont les dérivées des deux fonctions

F(^)-A/(a:), ¥(x)—Bf(x)i

runc de ces fonctions sera donc croissante et l'autre décroissante, et par conséquent, si de ce que devient chacune de ces deux fonctions on retranche ce qu'elle était, les diflTérences ainsi obtenues

seront Tune positive et l'autre négative^ et parce que f(^X'\-h) — f{x) est par hypothèse une quantité toujours positive ou toujours négative , les deux différences

seront encore nécessairement de signes contraires , et par

conséquent le rapport -jz — -t-tt 7(\ » pl^*^ grand que

A, plus petit que B, sera compris entre la plus grande et

1^ plus petite des valeurs du rapport j^jj-A» De plus, si ,

comme nous l'avons supposé, les fonctions dérivées sont elles-mêmes continues, pendant que x passera de la

valeur a: à la valeur x + h^ le rapport -777— r passera par toutes les valetu's intermédiaires entre A et B •, or

-~ — ; — r( 7T— 7 est une de ces valeurs intermédiaires ;

il existe donc une valeur de x de la forme j: -|- 6, A propre à vérifier l'équation

F (x+ A) -—F far) F'(x-+-6,A)

-77 — 7-ri 7e— { = ttA — . r\i » ce ^u'il fallait démontrer.

f{x+h)^f{x) /'{x+6,ky ^

Corollaire i^^. En posant, dans l'équation qui précède, X = Xq , on a

• F (xp + A) — F (xq) r (xq + e,h)

36 CALCUL DIFFÉRENtlEL.

et si les deux fonctions F (x) et f(x) s'évanouissent peut*

X Xq 9

F(a:o+A) __ F'JxoHhM)

Corollaire 2. Supposons que les fonctions ne s'évanouissent plus pour X = x^j mais que leurs dérivées, celles de la seconde restant toujours positives ou toujours négatives entre les limites x^ et Xo + hj s'évanouissent seules , jusqu'à celles de l'ordre n — i inclusivement, quand on donne à x cette valeur. En appliquant successi»^ vement à ces dérivées la deuxième équation du corollaire i^', équation qui s'étend à toutes les fonctions qui satisfont aux conditions énoncées, on aura

F^(3:o + M) __ F^(fo + M)

F("-0(xo + g|»-xA) __ FC")(a:o+eA) ~/(»-0(xo+ô^xA)""/C«)(a:o+ôA)'

et par suite, en vertu du corollaire i®*",

F {xq -+-h) — ¥{xo) FC")(xo + eh) Axo+h)—/{xo) ~' f^'^^Xo + Ohy

Si les fonctions s'évanouissaient en même temps que leurs dérivées, on aurait

F(xo+A)FC")(a:o+eA) et en posant Xq = o^ h = x ^

Corollaire 3. Les conditions des théorèmes précédents seront toutes vérifiées si l'on prend h assez petit, pourvu que les fonctions et leurs dérivées s'évanouissent, quand îl le faudra, pour x = Xq-^ en effet, les dérivées de la

seconde fonctiou ne changeront pas de signe dans Tintervalle infiniment petit de x^k Xq + h.

Les conditions relatives à lt$x) seront aussi remplies si Ton prendy*(j:) = (a: — oc^y^ d'où

f'{x) = n{x — Xo)«-S /" (x) = n{n— i) (or — Xo )*""%. . . /•(■-«) (j?)=: il (/l — I ) (^n — 2). . . !i{x — Xo)j

/(»)(«) = 1 .2.3. . . /i=/(«) (ofo + ôA).

Si donc les dérivées de F(ar) jusqu'à celles de l'ordre n — I inclusivement s'évanouissent pour a: =0:5 , on aura

F{xo + hy—T{xo)= Ç ¥(-){xo + Oh),

et en faisant n = i ,

F(a:o + h)—¥{xo) = AF {xo + Oh ), Si F (oTo) s'évanouissait aussi, on aurait

V{xo + h)= ^ FC) (xo+^h).

Lorsqu'on fait XqZ=:o, A = x, les équations qui précèdent deviennent

F(x) — F(o) =3 •^'' F(^)(gjr), F(^) — F(o) = a:F'(ex),

F(j:)= '^'' FW(gx).