L'écruation déjà obtenue --/—{ = ^, . ,, , renferme
un théorème dont voici l'énoncé ; si deux fonctions F (x) elf{pc) continues , ainsi que leurs dérivées, s'évanouissent pour a: = o avec ces dérivées jusqu'à celles de l'ordre n — I inclusivement ^ si de plus les n premières dérivées de la seconde sont toujours positives, ou toujours négatives entre les limites o et a: , la valeur du rappoi t des fonctions sera une valeur intermédiaire du rapport des dérivées /î»^"*''^. On peut donner de ce théorème iraportant une démonslratîon directe et très simple.
38 CALCUL DIFFÉREHiTIEL.
Supposons d'abord que les deux fonctions s'ëvanouissant seules pour a: = o , la dérivée première f\x) de la seconde conserve con8ta!^|kient le même signe, ce qui exige que la fonction f(x) soit toujours croissante on toujours décroissante, et par suite toujours positive ou toujours négative, puisqu'elle s'évanouit avec x. Dans cette hypothèse, désignons par A la plus petite, et par B la plus grande des valeurs que prend le rapport des
dérivées ^,\ { entre les limites o et x, les deux quan-*
tites ^, \ ; — A, ^ ; ; — B, seront de signes contraires»
et il en sera de même, puisque y*'(a:) ne change pas de signe, des différences F (x)— A/' (x), F'(x) — B/'(x), de sorte que des deux fonctions F(x) — Af(x)y F (x)' — Bf(x) dont ces différences sont les dérivées, Tune sera toujours croissante, l'autre toujours décroissante , ou, ce qui revient au même , puisque ces fonctions s'évanouissent aussi toutes deux avec x, l'une sera positive et l'autre négative ; les quotients
F(x)-A/(x)F(x) F(x)-By(x)F(x)
seront encore de signes contraires,, parce que f(x) ne change pas de signe , et il restera démontré que la valeur du rapport des fonctions est comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs du rapport des dérivées. Dé plus, si l'on fait passer la variable de la valeur o à la
valeur x, le rapport continu -th-t passera par toutes les
valeurs intermédiaires entre A et B; or, comme on Ta
prouvé, -77-4 est une de ces valeurs, il existe donc une
valeur de x de la forme diX, 0i désignant un nombre compris entre o et i , propre à vérifier Téquation
CINQUIÈME LRÇOS. Sp
j}. \ = ^. \J L Si les deux dérivées premières, secondes,
troisièmes, quatrièmes, etc. , j|]âqu à l'ordre n — i inclusivement, s'évanouissent à leur tour avec x, en appliquant aux dérivées ce que Ton a dit des fonctions , on trouvera
¥(x) ¥('')( ex) et par conséquent ^ =/^y
En changeant dans Féquation qui précède a: en A, F(A) et /(A) pn F(j:„+A)— F(a:„), /(x„-4-A)— /(a:„), et supposant que les dérivées des fonctions ¥{pc)^f{x) s'évanouissent pour x = x^^ jusqu'à Tordre n inclusivement, on retrouverait l'équation
F(xo + A)— F(a?o)F(")(xo + g^)
et si F(aro) = o, /(aro) = o,
F(xo-FA)F(»)(aro-F6A)
Les deux théorèmes fondamentaux des n^^ qui précèdent peuvent donc être déduits l'un de l'autre ou démontrés séparément. *
Nota. Les équations
F(a:oH-A) — F(ar„) = AF'(xo + ÔA), Y{x+h)'^Y{x)=hY'{x+eh), F(x)— F(o) = xF'(ôx),
supposent seulement que la fonction F (x) et sa dérivée 1*^(0:), sont respectivement continues entre les limites Xq et Xo + A, x et X + A, o et x, ce qui arrivera toujours quand A ou x seront des quantités infiniment petites.
4o CALCUL DIFFÉRBHTIEL.
Applications des premiers principes du Calcul différentiel à diverses questions d^analyse où il n'entre qu'une seule Tariable indépendante.
Première application. Détermination des "véritables valeurs des quantités qui se présentent sous F une des formes indéterminées
-, ±: — , oX± 00, o*», 00% ± I*.
24. Supposons que deux fonctions réelles de x^ F(^)î f(x\ s'évanouissent pour a: = a:o ^ et qu'il en soit de même de leurs dérivées jusqu'à celle de l'ordre n exclusivement, de sorte que les deux dérivées de l'ordre n soient les premières qui ne s'évanouissent plus à la fois pour x=z x^^ ^ en désignant par A une quantité infiniment petite, nous au-
rons, no^, corollaires 2 et ^./(^^ +/,)=/(.) (^^ + g)^) ' et par suite, en taisant n = o. -j — ( = 77-77 — { : de sorte
que la vraie valeur du rapport jr-^^ qui se présente sou^
la forme indéterminée \ , est le rapport des valeurs que prennent pour x=^Xq^ les deux dérivées de ces fonctions qui, les premières , cessent de s'évanouir à la fois. Si Tune de ces deux dérivées s'évanouit, ]^ vraie valeur du rapport sera o ou 00, elle sera au contraire line quantité
finie si aucune des dérivées /i***^' ne s'évanouit. Si /ï = i, c'est-à-dire si les dérivées premières ne s'évanouissent pas à la fois, on aura
F(xo)
Exemples
: pour a: = G,
sin' or 2sinxcosx
smj?
cosar "*
sin X cosâ?
I cos X sin X cos x
a?* IX
X — sin j?
I ^cosx
sin X cos 0? I
xî
e*-^e""*— aa;
X ^ sin X I — - cosx sin x cos a:
et pour X'=.\^
Lr I 07—1 I I X — 1 I I
or— I X ' X*— I IX 2* a?" — I «a:""' «'
25. Supposons maintenant que les deux fonctions F(x), f{x^ deviennent infinies pour j: = Xq, les dçux
quantités —. — :, -^ — r s'évanouiront et l'on aura, d'après ce qui précède, pour a: = x^,
/(*.) - i- r(a:„) - /(xo)' • F(x.) ' F(x„) F(x„)'
d'où -^^ = ^J^s , de sorte que la véritable valeur du
rapport 77-^ , qiû se présente sous la forme indétermi-
4^ CALCUL DIFFÉRBBITIEL.
OO
née — , coïncide avec la valeur correspondante du rap-
Exemple. On a pour a: = o,
unx cos X
cotx X I
Ce théorème est vrai quel que soit Xy ainsi que le précédent , et il le sera par conséquent pour x = oo.
Exemples. On a pour j: = od,
L'exponentielle l'emporte sur la variable X'j ou croit beaucoup plus rapidement.
hx I
Le logarithme croit moins rapidement que le nombre.
Corollaire. Si les dérivées P(x) elf\x) devenaient elles-mêmes infinies pour o? = x^ , et s'il en était ainsi jusqu'aux dérivées de l'ordre n exclusivement, jon aurait
r{xo)r{x,) __ FC) (xq) /'(xo)-'/''(xo) /(-H^o)'
et par suite
La vraie valeur d'un rapport qui se présente sous la
j^rme — coïncide donc avec la valeur du rapport des "
dérivées qui , les premières, ne deviennent pas infinies k la fois pour .r — x^.
SIXIEME JLEÇO». 43
Exeniple. On a pour j: =: 00 , et en désignant par n le nombre entier immédiatement supérieur à a ,
c'est toujours Fexponentielle qui l'emporte.
3®. Si le produit s-=iV {x) .f{x) prend la forme o X 00 , sa véritable valeur coïncidera avec celle du rap-
port — ^— ^ ou*^-^— ^, qui se présente sous la forme - ou
fîT) W)
— , et que Ton déterminera facilement k l'aide des mé-
thodes précédentes.
Exemples. On a pour jcr = 00 ,
Le I
et pour a: = o ,
Le oT^ af^
af,\x'=: = = -»^ -^ = o.
x^ — ax"^'"^ a
6^. Enfin si l'exponentielle 5 = F(a:)/(*) se présente sous l'ime des formes o®, 00 ®, i— • , on aura
et alors pour trouver la véritable valeur de ^, il suffira de calculer la vraie valeur — ^/ \},,\ de l'exposant r-T^x^r,* Exemples» On a pour ar = o ,
Ix X»
or-' X
pour
pour
Deuxième application. Comparaison des quantités in^ finiment petites des dii^ers ordres; détermination de r ordre d'une quantité infiniment petite, etc.
26. Définition. Désignons par a un nombre constant rationnel ou irrationnel , par i une quantité infiniment petite, et par a un nombre variable. Dans le système de quantités infiniment petites dont 1 sera la base , une fonction de i représentée fSLrfÇi) sera un infiniment petit de
Tordre a , si la limite du rapport — r- est nulle pour toutes
les valeurs de a plus petites que a, et infinie pour toutes les valeurs de a plus grandes que a.
Corollaire. Toute quantité finie qui ne s'évanouit pas ou ne devient pas infinie pour 1 = 0, peut être regardée comme un infiniment petit de Torde o.
Ces définitions admises , si Ton désigne par n le nombre entier immédiatement supérieur à Tordre a de la
quantité infiniment petite /*(«), le rapport "^-r;^ sera le premier terme de la progression géométrique
qui cessera de s'évanouir avec 1.
De plus, on aura successivement
liin./(i) = o, /(o) = o, lim.-^^ = lim./'(0, /'(o)=o,
SrXIÈME L£ÇON. 4^
Km. -^ = lira. ^ = lim. ^\ /7o) = o. . . etc. ,
lim
/('■) i™ /^-HO /<■> (o)
. — uni* » — ô >
/C«)(o)=i.2.3.../i lim. At^;
on en conclura que les dérivées /'(i), /"(Ov / ^""■*^ (0 s^évanouiront toutes avec i, et que par conséquent, dans le cas où, comme nous l'avons supposé, fÇi) est un infiniment petit de Tordre a, y^"^ (i) est la première des dérivées de f(î) qui ne s'évanouit pas avec i et qui cesse d'être une quantité infiniment petite.
Quant au rapport -r^, il peut avoir une limite finie, ou nulle, ou infinie. Ainsi, par exemple,
sont trois quantités infiniment petites de l'ordre a , et le quotient que l'on obtient en les divisant par i', savoir
<?S JTI ^'1'»
ont pour Kmi tes respectives
27. Théorème i*'. Si dans un système quelconque on considère deux quantités infiniment petites d'ordres différents, pendant que ces deux quantités s'approcheront indéfiniment de o , celle qui sera d'un ordre plus élevé finira par obtenir constamment la plus petite valeur numérique.
Démonstration. Concevons que dans le système dont la base est z , on désigne par A =y(i), B = F (/) deux quantités infiniment petites , la première de Tordre a la seconde de Tordre J, et supposons a<^b: si Ton attribue
46 CALCUL DIFFÉRBXIriEL.
à a une valeur comprise entix; a etb^ les deux rapports
—, — auront pour limites respectives, le premier ^ ou oo,
le second o, et par suite le quotient de ces rapports ou
la fraction -- aura une limite nulle, la valeur numérique
du numérateur B décroîtra donc beaucoup plus rapide-^ ment que celle du dénominateui* Â, et cette dernière finira par devenir constamment supérieure à Tautre.
28. Théorème 2®. Soient a, i, c, . . . les nombres qui indiquent dans un système déterminé les ordres de pliiH sieurs quantités infiniment petites , et a le plus petit de ces nombres, la somme ou la difierence des quantités dont il s'agit sera un infiniment petit de l'ordre a.
Démonstration. Soit toujours i la base du système
adopté , soient de plus À , B , C , . . . . les quantités don-
. nées, la première de l'ordre a, la seconde de l'ordre i. • . ;
le rapport de la sonmie ±:Bd2Cih..*à la quantité
B C A, savoir, i rfc 7 ifc: -r ±. . . aura pour limite Punitë^
parce que les termes t- 9 t ? dans lesquels les numérateurs
sont des infiniment petits d'un ordre plus élevé que les dénominateurs, ont o pour limite;, et par conséquent le produit
fi±-±:-± V A A
Jî* i*
A ïiura la même limite que le rapport *■ : et puisque ce der-
nier rapport a une limite nulle ou infinie , suivant qu'o& suppose a < a ou a > a, on pourra en dire autant du
A rtr B r* G zei ••• •■ ^ » -n , ^^ , rapport ; ; donc A ±: B ±: C zh . . . sera
une quantité infiniment petite de l'ordre a.
On conclura facilement de ce qui précède, que pour de très petites valeurs numériques de la base i , la somme ou la diflTérence de plusieurs quantités infiniment petites, rangées de manière que leurs ordres forment une suite croissante , a constamment le signe de son premier terme.
29. Théorème 3^. Dans un système quelconque dont la base est z, le produit de deux quantités infiniment petites  et B dont les ordres sont désignés par a et b est une autre quantité infiniment petite de Tordre a + b.
Démonstration, Les rapports — , -^ auront des limites
nulles toutes les fois que l'on supposera a <^ a^ ë <Cb'^
des limites infinies toutes les fois que Ton supposera
a > a, 6 > i, et l'on pourra en dire autant du produit
A B AB 1) ^ «i / 1 1 AB
— X -;; = — r-zt o. OU il résulte que le rapport ^ aura
une limite nulle pour a-|-6<;a-|-iet une limite infinie pour a + 6 > a + i 5 donc le produit AB sera un infiniment petit de l'ordre a -|- i. On en conclut : i** que si l'un des facteurs se réduisait à une quantité finie, le produit serait évidemment du même ordre que l'autre facteur ^ 2^ que dans un système quelconque le produit de plusieurs quantités infiniment petites dont les ordres sont désignés par a, i, c . . . est une quantité infiniment petite de l'ordre a -|- i -|- c +. . .
30. Théorème 4^. Si trois quantités infibuiment petites I, A, B, sont telles, que la première i étant prise pour base, la seconde A soit de l'ordre a, et que la seconde A étant prise pour base , la troisième B soit de l'ordre b ^ ceDe-ci, dans le système qui a pour base la première ^, sera d'un ordre équivalent au produit ab.
Démonstration. Les deux rapports -, -7 ont, par hy-
potbèse, des limites nulles quand on fait « <C a, ê <C &,
et des limites infinies quand on suppose a^a,6^b\
donc le produit ( — ) X — >= — laura lui-même une H-
mite nulle pour a6<«&, une limite infime pour «6 > ai, et par conséipient si Ton prend i pour base , B sera un infiniment petit de Tordre ah.
Corollaire i®"^. Le rapport entre les ordres de deux quantités infiniment petites B et A reste le même quelle que soit la base du système que l'on adopte, et ce rap-^ port est équivalent au nombre h qui indique l'ordre de la première quantité quand on prend pour base la seconde. Donc, si après avoir déterminé pour une certaine base les ordres de plusieurs quantités infiniment petites, on vient à changer de base , les nombres qui indiquent ces divers ordres croîtront ou décroîtront tous à la fois dans un rapport donné.
Corollaire 2"***. Si dans le théorème 4 on fait B = i,
on aura évidemment ab •= i , i == - , donc si dans le
système dont la base est i la quantité A est un infiniment
petit de Tordre a, / sera de Tordre - dans le système qui
aura pour base la quantité A. Ainsi , par exemple, lorsque A, considéré comme fonction de i, est un infiniment petit du premier ordre , on pourra en dire autant de i considéré comme fonction de A.
Corollaire 3"*^. Si deux quantités infiniment petites sont telles , que Tune étant prise pour base , Tautr/e soit du premier ordre , le nombre qui exprimera Tordre d'une quantité quelconque restera le même dans les deux systèmes qui auront pour base les deux quantités données.
31. Théorème 5®. Si Ton désigne par i et pary(/) deux quantités infiniment petites , zéro sera la valeur unique
OU l'une des valeurs que prendra le pix)duît j" . lorsqu'on y fera évanouir la quantité i.
Démonstration, Il suffit évidemment de démontrer ce
théorème dans le cas où la fonction dérivée y (i) s'évanouit en même temps quey*(i) pour / = o ; or on y parviendra sans peiue dans le cas où les deux fonctionsy*(i ) , y (i ) sont continues par rapport à i dans le voisinage de la valeur particulière / = o : en effet, on aura dans cette hypothèse
or puisquey*'(o) est nul et que 0 désigne une quantité comprise entre o et /, f ( 6/) convergera plus rapidement qaef^(i) vers la limite o, d'où il résulte que la fonction
^/. .^ sera plus petite que 1 unité, et que le produit i -7rr\
aura une valeur sensiblement nulle ; doue la limite ou l'une des limites vers lesquelles convergeront ce même
produit , et par suite le rapport jrrk ? sera égale à o.
On pourrait démontrer encore que si la foûctiony*(i), dans le système de quantités infiniment petites dont i représente la base , est un infiniment petit de l'ordre a , le nombre a sera ordinairement la valeur numérique ou
du moins l'une des valeurs que recevra le produit ^. . > .
Supposons en effet quey(/) est un infiniment petit de l'ordre a, et posons
De cette équation , l'on tirera en différentiant ,
âlo CALCUL niFFi^.BElfTIËL.
pt dans tous les ras où le produit -^-7:^ s'évanouîraîl a\er / , ce qui arrivera par exemple si le rapport — rry conserve
une valeur finie, •« = lim. .\, .
52. Ces considérations sur les quantités infiniment petites conduisent naturellement aux règles dont l'ensemble constitue la méthode infinitésimale. Cette méthode, qui est comme une simplification pratique du calcul difi*érentiel , repose toute entière sur ce principe fondamental : Deux sommes de quantités infiniment petites des divers ordres ne peuvent jamais être égales sans que, dans ces deux soimnes, les quantités infiniment petites de même ordre soijent égales séparément , c'est-à-dire que si
A«, A«/, A«//,... Ba, Ba/, B«//, ...
sont des quantités infiniment petites des ordres rt, a , à\ Téquation
A« -f- A«/ -f- A«/'. . • = Ba + Bfl/ -f- Bfl/' . . . ,
entraînera nécessairement les suivantes
A« = Ba, Aa/ = BoT, Afl// = B^//, etc.
Démonstration, Supposons que les nombres a, a , a"..« soient rangés par ordre de grandeur , et que a soit le plus grande dans l'équation
Aa + Aa' + Aa'' . » • :^ Ba -f- Ba^ + Ba" ,
mise sous la forme
(Aa — Ba)-|-(Aa'— Ba')+(Aa/'— Ba'/)... =0,
le terme A^ — B^ sera encore un infiniment petit de l'ordre a, et l'emportera sur la somme de tous les autres ; donc 5 si ce terme n'est pas nul ou si l'on n'a pas A„ = B^ , cette équation sera impossible. Ce que nous venons de dire des deux termes A^, B^ s'étend évidemment à tous
SIXIÈ!k»E LEÇON. 5i
les autres 5 on aura donc nécessairement
Aa = Bfl, Aaf "=. Ba', Aq// = B^// , elc.
De cette proposition générale 6A déduit les règles suivantes :
Règle i'*^. Deux quantités finies ou, ce qui revient au même, infiniment petites de l'ordre o, qui ne diflereraient l'une de l'autre que d'une quantité infiniment petite, sont rigoureusement ^ales.
Règle a™*. Deux quantités infiniment petites du premier ordre dont la différence serait infiniment petite du second ordre, ou plus généralement deux quantités infiniment petites d'un ordre quelconque, qui ne différeraient Tune de l'autre que d'une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur , sont rigoureusement égales.
Règle 3™*- On peut rigoureusement, et sans crainte d'altérer les résultats, négliger, dans une équation, soit des infiniment petits ajoutés à des quantités finies, soit des quantités infiniment petites d'un ordre quelconque ajoutées à des quantités infiniment petites d'un ordre inférieur.
Règle ^^^. Dans le cas où l'accroissement Aj: de la variable indépendante peut être considéré comme une quantité infiniment petite du premier ordre , ce qmi arrive toujours dans les applications à la géométrie, à la méicanique, etc,^ la différentielle dy de la variable dtépendante, diflfère de son accroissement Ùky d'une quantité infiniment petite du second ordre ; onx trouverait en effet , en partant des principes déjà démontrés,
^X='E' [x)àX'\ F"(x4-6',Aar):
on poùri'a donc, comme nous Fa vous indiqué, substituer rîgôïireusclnent l'accroissement à la difFérentielle, et ré- «iproqûèinent.
52 CALClyL DIFFÉRENTIEL.
Suite des applications analytiques.
Troisième application. Recherche des maxima et des ininima d^ une fonction d'une seule ^variable.
35. Lorsqu'une valeur particulière F (Xq) de la fonction F(x) surpasse toutes les valeurs voisines , c'est-à-dire toutes celles cpi'on obtiendrait en faisant varier x en plus ou en moins d'une quantité très petite h , cette valeur particulière de la fonction est ce qu'on appelle un maximum.
Lorsqu'une valeur particulière ¥ (x^) de la fonction F(j:) est inférieure à toutes les valeurs très voisines, elle prend le nom de minimum.
Pour un maximum , il faut donc que la fonction cesse de croître pour décroître; pour un minimum, il faut qu'elle cesse de décroître pour croître ; ce qui exige , comme nous l'avons vu , que la dérivée passe du négatif au positif, ou du positif au négatif, et par conséquent que pour x = J^o (^o <^tant la valeur qui convient au maximum ou au minimum) la dérivée F '(or), si elle ne cesse pas d'être réelle, devienne nulle ou infinie. Les valeurs de x qui rendent alors la fonction maximum ou minimum devront donc vérifier l'une des équations F'(j:) = o, ¥' {x) = oo . Soit Xq une des racines de ces deux équations : la valeur correspondante de F(j:)', savoir F(Xq)^ sera un maximum^ si dans le voisinage de a: = a:^ la fonction dérivée F'(x) est positive pour j:=:ro — h et négative four x=XQ + h^
Âu contraire , F(Xq) sera un minimum si la fonction dérivée F' (x) est négative pour x = x^ — h et positive pour X =1X0 + h.
Enfin, si entre les limites x^ — h et x^-^-h la fonction dérivée F'Çx) était constamment positive ou constamment négative, la quantité F(Xo) ne serait ni un maximum ni un minimum.
Exemples:
1°. F(:f) = j?»+/?ar + çr, F'(ar) = 30?+/?.
Cette dérivée s'évanouit pour x = — -, et devient négative pour x<^ — -, positive pour j:> — -. La fonction x!* + px -f- g admet donc une valeur minimum correspondante à x= — ^p-^ cette valeur minimum est
Cette dérivée, qui s'évanouit pour j: =Le, est positive pour a: > Le et négative pour x < Le ; la fonction a
Le
donc une valeur minimum -:= — = ■=-»
he Le
3°. La fonction — admet, au contraire, la valeur he
maximum — .
e 4°. oc^e"'' acquiert pour a: = a la valeur maximum
54. Il est facile de décider si une racine quelconque x^ de l'équation F'(a:)=: o produit un maximum ou un minimum de la fonction F (j:). En effet, désignons, par F^"^ (x) la première des dérivées de F(x) qui ne s'évanouisse pas pour x = J^o 9 nous aurons , d'après un théorème déjà démontré n° 22, corollaire 3,
54 CALCUL difféhemtibl,
F{4ro + A) — F(*o)=a i FC)(x„ + «,A)
= Ç [ FC) {xo ) 4- R»* ]•
Si h est très petit , comme nous pouvous le supposer ,
le second membre aura le signe de son premier termç
A* 5 F(")(a:o), et dès lors, i® si n est impair, ce
premier terme changeant de signe avec A , il en sera de même de la diflFérence F (x© + A) — F (xo), et la valeur F(j:o), plus grande queF(j:o — h) et plus petite que F (xo + A) , ou plus petite que F (a^© — A) et plus grande que F(j:o + A) ne pourra être ni un minimum, ni un miaximum.
a^. Si n est pair, la différence F (xq + A) — F (ar© ) qui ne changera pas de signe avec A, sera positive si F^")(j:o)> o et négative si F^")(xo)<Co, et par conséquent la valeur F (a:©) sera un minimum dans le premier cas et un maximum dans le second.
Nous arrivons ainsi à cette règle générale : Lorsqu'une valeur particulière Xq de x dans le voisinage de laquelle la fonction F (x) reste continue , fait évanouir les dérivées de F (j:) jusqu'à celles de l'ordre /i exclusivement, la valeur correspondante de F (a:) ne peut être un maxi-. mum ou un minimum que dans le cas où la dérivée qui la première cesse de s'évanouir est une dérivée d'or^. drc pair, c'est-à-dire dans le cas où n est un nombre pairf dans ce cas la fonction F (a:) sera un miùimum si la valeur de FC») (x) est positive , et un maximiun si la valeur de F^"^ (x) est négative.
Exemple :
F (x) = c* + 2COSX -f- e"*^ F' {x) = e* — 2sinj: — ^"*,
F" (or) = ^ — 2COSX 4- e'*y F'"(ar) =i e* + asinj;— e"'^
F'^{ar)= ^ + 2 cosx-f- <?-'.
Les trois premières dérivées s'évanouissent pour j:=o,
la quatrième se réduit à 4 't donc la valeur de F (a:) correspondante k xz=z Oy ou le nombre 4? sera un minimum de cette fonction.
ScoUe. On a d^y = ¥^^\x) doc^ , et par conséquent si n est pair, d'^y étant toujours de même signe que F(") (a:), on pourra , dans Tapplication de la règle précédente , substituer les difierentielles aux dérivées.
35. Outre les maxima et les minima qui répondent aux racines des équations F' (jx) = o et F'(x) = 90 , il peut en exister d'autres qui répondent aux valeurs de X pour lesqueUes la fonction F(a:) cesse d'être réelle ou continue , de sorte que dans la recherche des maxima et minima il faut en général commencer par déterminer les valeurs de x qui rendent la fonction F(jc) imaginaire ou discontinue, et voir si les valeurs correspondantes de cette fonction surpassent les valeurs voisines ou leur sont inférieures. Dans le premier cas , elles seraient un maximum, dans le deuxième un minimum.
Exemplçs :
Ces trois fonctions deviennenjt discontinues en passant du réel à l'imaginaire , tandis que la variable x passe du positif au négatif, et obtieiftient pour x=^o une valeur nulle qui représente un minimum de la première et un maximum de chacune des deux autres.
36. Applications. 1°. Partager un nombre en deux parties a et a — x telles, que le produit j^ = F (or) = x^ (a — xy soit un minimum ou un maximum.
La valeur maximum de ce produit correspond à
j:= . Il V aura de plus deux valeurs minimum
correspondantes à x = o , x' == « , pourvu que m et n soient pairs.
a^. De tous les triangles coustruits sur une même base et isopérimètres , quel est le plus grand ?
Soit a la base donnée , ^p le périmèti^e ou la somme des trois côtés, x un second côté, le troisième sera 2/1 — a — X ^ et la surface du triangle
T = Y{x) = \/p{p — a){p — x){a-^x—p). Cette surface est un maximum lorsque x étant égal à — , le triangle devient isoscèle.
3^. De tous les carrés inscrits dans un carré donné, quel est le plus petit ?
En nommant a le côté du carré donné , x la distance d'un des sommets du carré inscrit au sommet le plus voisin du carré donné ^ la surface du carré est
Q =z F (x) = 7.x^ — 7.ax + rt* >
et cette surface e»t un minimum lorsque a: = -, c'est-àdire lorsque le carré intérieur est formé par les droites qui joignent les milieux des côtés du carré donné.
4*^. Quel est, dans Tellipse b^x^ + a^y* =. a^h^^ le maximum de l'angle V de deux cordes supplémentaires ?
En désignant par x la tangente de l'angle obtus que fait, avec l'axe des x, l'une des cordes supplémentaires, la tangente de l'angle des deiflt cordes est
tang V = F (^) =
et l'angle est un maximum lorsque a: = .
5^. Chercher le nombre x dont la racine a:**"»* est un.
maximum \
X' est un maximum lorsque a: = e.
HUITIEI^IE LEGOX.
Saitô des applications analytiques.
Quatrième application. Développement cT une Jonction réelle suivant les puissances ascendantes et entières de Invariable il; formules de Taylor et de Maclaurin.
37. Lorsqu'une fonctîon F (x) étant réelle et continue avec ses dérivées , ces dérivées jusqu'à celles de l'ordre n exclusivement s'évanouissent pour x = j^q , on a , comme nous l'avons vu ,
F(^o+A)— F(:ro) =
F(») [xo + ^h) ;
ou en supposant que x^ soit nul et faisant h= x^
etsiF(o) = o,
FC»)(ôx),
FW(0j?).
Or ces équations fournissent un moyen très simple de développer les fonctions réelles d'une seule variable suivant les puissances ascendantes et entières de cette variable. En effet, en posant w = i , il vient
et en faisant
¥{x) — Y{o)-=ix'P'{Ox),
F'(0^)=:F'(o) + Rx, F(^) — F(o)— j:F'(o) = R,x.
\x est évidemment une quantité qui s'évanouit avec x^
58 CALCUL AIFViREIlTICL.
ainsi que sa dérivée première F' (x) — F'(^)> ®^ àonl la dérivée seconde est F" (x) nous aurons donc
F(^)-F(o)-:rF'(o)= ^r(«*). Posons encore
f''(;ôx) = f"(o) + r.,
il vient
R, est encore évidemment une quÏEintité , fonction de
x^ qui s'évanouit avec x ainsi que ses dérivées première et seconde
F'(x)— F'(o) — xF''(o), F''(x)— F''(o),
et dont la dérivée troisième est F"' (x) -, on aura donc
F(x)— F(o)— xF'(o)— .— F"(o) = -^F'(0x}.
En continuant de la même manière , et observant que le&
fonctions , , , , etc. , s'évanouiront avec x
ainsi que leurs dérivées, jusqu'à celles du troisième, du . quatrième, du (n — ly*»»* ordre inclusivement, on aura définitivement Téquation
F(.)F(oKf5'(o)-^F"(o) ..,.^l.)FC-Xo) .
FW{ex),. j
et -
la fonction continue quelconque F(x) peut donc être cotir m
HUiTiÈMB LEÇON. "" Sp
fidérée comme composée d'une fonction entière de x ,
et d'un reste , sa^voir
• ^ FC«) (6x\
Exemples :
« on a
F'(x)r=F''(jp)=...=:FC«-0(;p)==3F(«)(^) = e',
F' (o) =F" (o) = . . .= FC«--0 (o) = I , F('«)(^x) = tf.S
e'=l^ h— tH 5+ •••
2". F('"') = ànXf
¥l'i(x) = àn(3:-i-~\ F(o>=:o, F'(o)=i, F"(o) = o, F"{o)=— i.,.FC-0(o)=8ml^^^
sml Ox-i I;
3°. F(:r) = cosx,
-, ^^ ■ ^""'' (n — l)7sr
12 1.2 3.4 l.2.0...(/2— ij 2
5 ces l ôjc -j 1;
6o ' CALCUL DIFFÉRENTIEL.
5". F(x) = arc tango:, on aura
=^ [( I —*i/;::ri)-'+( I +xv/^^) '■]'•• •
et par suite, si /i est pair, F" (o) = o ; si 71 est impair,
F'»(o)=(— i) =* 1.2.3. ..(/i—i), arc tang x = ^^-5- + -^ ±
6®. Si la fonction F(x) est entière et du degré n, sa dérivée de Tordre n se réduit à une quantité constante \ on a donc alors F^") (Ox) = F^") (o)
¥(x) = F(o) + xF'(o) H--^ F" (o) + ^ F'Co)
H ô^-^ -, F(— ) (o) + ^ FC) (o).
HUITIÈME LEÇON. 6l
Exemple : si F (.r) = (i + x)", on trouvera
38. A Taide des mêmes principes, on développera facilement F (a: + h) , suivant les puissances ascendantes de a: ou de A. En effet, nous avons
d'où
F(x + A)— F(ar)— AF'(:f) = R,.
Ri est une fonction de h qui s'évanouit pour A = o , ainsi que sa dérivée première F' (x + A) — F'(a:) \ de plus sa dérivée seconde est F"(a: + A): on aura donc, d'après un théorème souvent cité , ''^jS ".'
F(^+A)-F(x)-AF'(x)= ilF"(x+eA)= -^r(x) + R„
F(x+A)F(x) — AF'(x)— — F'(x) = R,.
Rf est une fonction de h qui s'évanouit avec h , ainsi que ses dérivées première et seconde, et dont la dérivée troisième est V^Çx + A) ; on aura donc
]f(a:^k) — V{x)—hr{x)—— F"H = -^F^'t^+M), ^ ^ ^ ^ ^ I . 'a '^ 1.2.3
et en continuant de la même manière , on trouvera définitivement *
F(x + A) = ¥{x) + hT'{x) + — Y"{x)
6q. calcul différentiel.
en posant dans Fécpation (i) x = o, /i=x, on trouverait
(-2) F{x) = F(o) +xF'(o)-4-^ F''(o) . . . + 7;^^::;^? ^'K^) i
cette dernière formule n'est donc qu'un cas particulier de celle qui précède. On pourrait cependant aussi déduire la formule (i) de la formule (a); en effet, posons
on en tirera
F'(A)=/'(*+A).F"(*)=/"(^+A)vF('){A)=/(-n*+*). F{o) =/(«), r{o)=f{x), F(-)(6A)=/CM*+fiA),
or, en vertu de l'équation (2),
F(/i) = F(o) +AF'(o) H -\ ^ — t('>{Oh) i
on aura donc en substituant
formule identique avec la formule (i).
Corollaire* Si dans la formule (i), après avoir pesé k=: a — x^ on change a en x et x en a^ on trouvera
/ F(x) = F(«) + (x-û)r(«) + (^fl^*F'(«)+... (^^ i (a—a)'*
Exemples : F(x) = x , F (x) = Ix ,
uurriÈME LEÇON. 63
39. Lorsque , pour des valeurs de x comprises entre certaines limites, les expressions
décroissent indéfiniment tandis que n augmente, alors, en posant n = ce dans les équations (i) ou (2), on trouve
T{x+h) = Y{a:)+hr{x) +—r'{x)^ ^^-^ .r»+etc.,
F(x) = F(o)+xF'{o)+ — F"(o) + — -^ F'^HH- etc.
Ces formules, qui donnent le développement en séries de F (a:) suivant les puissances de x, et de F(x+h) suivant les puissances de A, s'appellent, la première, la formule de Taylor, la seconde, la formide de Maclaurin. 40. Il est important de remarquer que les quantités
s'évanouissent pour une valeur infinie de n. En efiet , le produit mÇn — m-|- i), qui peut se mettre soUs la forme
— /« ) , ou dont la dérivée prise par
rapport a m est 2 I — ^j-) croit évidemment avec
n "^ I m, depuis m = i jusqu'à m = , ou croît à me-
sure que ses deux facteurs approchent d'être égaux : on en conclura, en faisant tour à tour m = i, m = 2, etc., que des n quantités
64 CALCUL DIFFÉREMTIEL.
la plus petite sera la première, et que par conséquent leur produit [i .2.3. . • (n — i) w]' sera plus petit que cette première n élevée à la puissance n : on aura dpnc
or cette dernière quantité s'évanouit pour /i = oo 5 il en sera donc ainsi de = et
Corollaire. Si les deux quantités F("^(âa:), F^"J(.r+fi/i), conservent toujours des valeurs finies, les produits
diminueront indéfiniment à mesure que n augmentera ; on pourra donc alors employer les séries de Taylor et de Maclamîn au développement de V(x) et de F(x + A). C'est ce qui aura lieu si l'on prend
F(^) = Cy ¥{x) = sinx, ¥{x) =cosx, F(x) = a*,
et Ton trouvera par conséquent
e' = I H r + etc.,
cosx=i 1 ^— ^ ^^ etc.,
x^ x^ xl
a*=i'\ — \a H lfl»-| 5la^ etc.
Suite des applieations analytiques.
Règles générales de la com^ergence des séries réelles, uipplication de ces règles aux formules de Taylor et de Maclawrin.
41 . Les formules de Maclaurin et de Taylor ne peuvent subsister qu'autant que les séries
F(o) + :rr(o) H F'(o). . . etc. ,
Y{x)^hr{x) + —Y"{x). . . etc.,
seront convergentes ; il importe donc de fixer les conditions de la convergence de ces séries. Une série, en général y est une suite de quantités
qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée; ces quantités elles-mêmes sont les différents termes de la série qu'on considère, Un est le terme général. Soit
la somme des n premiers termes ; si pour des valeurs de 7» toujours croissantes, la somme S„ s'approche indéfiniment d'une certaine limite finie S, la série sera dite convergente , et la limite en question s'appellera la somme de la série ^ au contraire, si, tandis que n croît indéfiniment, la somme S„ ne s'approche d'aucune limite fixe, la série T. I. 5
sera divergente et n'aura plus de somme. L'une des séries les plus simples est la progression géométrique,
a, axj aœ*^ ax^y
qui a pour terme général ax"; la somme des n premiers termes
1^— x" a eue'*
convergera évidemment pour des valeurs croissantes de
n vers la limite fixe , si la valeur numérique de X
est inférieure à l'unité*, au contraire,» cette somme croîtra indéfiniment si a: > i : la série sera donc convergente dans le premier cas et divergente dans le second. Considérons maintenant 1^ sérié
Uoy a, , w, , . . . tt„ , etc.
Pour que cette série soit convergente , il faut et il suffit, que la somme
S„ = Ko + tt« + «2 +. . . + l*»-!
converge à mesure que n augmente vers une limite fixe et finie S , ou que , n devenant infini , les sommes S„, S„+i , S„+j... diffèrent infiniment peu de la limite S, et par conséquent les unes des autres. Or
n faudra donc que ces difiérences soient infiniment petites quand n sera- très grand ; et par suite , il faudra que le terme général m„ et la somme des termes pris à partir de M„, en tel nombre que l'on voudra, s'évanouissent pour n = 00.
Réciproquement, lorsque ces diverses conditions sont remplies, la convergence de la série est évidemment as-* surée.
NEIVIÈME LEÇON. 67
42. Ces prindîpès nous fournissent deux ïnoyelis assez simples de reconnaître, dans beaucoup de cas, si une série est convergente ou divergente.
Règle i*"®. Cherchons la limite ou les limites vers lesquelles converge , tahdis que n croît indéfiniment , Fex-
pression (U^)", U„ étant la valeur numérique de m„, et soit L la plus grande de ces limites , la série
( I ) tto + «i + "a +• • • etc.
sera convergente si l'on a L < i , divergente si L > i .
Démonstration. Supposons d'abord L < i : en désignant par p un nombre plus petit que l'unité, mais supérieur à L , ou tel que l'on ait L < p < i , et donnant à n
une valeur assez considérable, (U„)", qui petit différer aussi peu que l'on veut de sa limite L, finira par être
plus petit que p : on aura
de sorte que les termes de la série m„, m„+i, Mh+s-'-i seront des nombres inférieurs aux termes correspondants de la progression géométrique
Or le terme général et la somme des termes de cette dernière progression vont en diminuant à ïnesure que n augmente, puisque p est plus petit que i , il en sera donc de même à plus forte raison de la sonmie M„-h Wn+i+ m„+2 . . . , et la série (i) sera convergente.
Supposons en second lieu L > i : n venant à croître , on aura bientôt, si l'on désigne par p un nombre plus grand que l'unité et compris entre L et i , ou tel que l'on
ait L > p > I î
68 CALCL'L DIFFÉRENTIEL.
le terme général de la série (i) croîtra donc, ainsi que /o") indéfiniment avec h , et cette série sera divergente.
Règle 2"*. Si pour des valeurs croissantes de n, le terme général Um décroît indéfiniment, et si le rapport
J**^' converge vers la limite fixe /, la série (i) sera con-
vergente toutes les fois que Ton aura / < i » et divergente toutes les fois que l'on aura / > i .
Démonstration. Désignons par z une nombre inférieur à la différence qui existe entre i et /, ou tel que les deux quantités / — e, /+ e, soient en même temps que / plus petites ou plus grandes que Tunité \ en donnant à
n une valeur assez considérable, le rapport "!**' finira
par être compris entre / — e et / + e , et les différents termes de la série m„, u„^i..., se trouveront compris entre les termes correspondants des deux progresfsions géométriques
Or, I** ces deux progressions seront toutes deux convei^ gentes , si l'on a /<i , et leurs sommes, ainsi que la somme intermédiaire m„ -|- m„+i -|- etc. , décroîtront indéfiniment si Un approche indéfiniment de o à mesure que n augmente 5 2** elles seront toutes deux divergentes , et la somme m„ -H Un^x 4- etc. , croîtra indéfiniment avec n si /> I ; la série (i) sera donc convergente dans le premier cas , divergente dans le second.
Nota, On démontre facilement que les deux limites L et / sont toujours égales. En effet, si nous donnons à m ime valeur considérable , les rapports
et par suite la moyenne géométrique entre ces rapports
( ^"H^ ) différera de / d'une quantité e aussi petite que Ton
voudra ; on aura donc
et en passant à la limite, ou faisant n infini,
Km. (VnT = L = (/± 1) U« = / zt I.
Les* deux limites L et / différent donc Tune de l'autre d'une quantité e qui peut devenir aussi petite que Ton voudra, et sont par conséquent rigoureusement égales.
43. En appliquant ces deux règles aux séries de Maclaurin ou de Taylor , on obtient la proposition suivante.
Soit F(x) une fonction de x, et ©«la valeur numérique de l'expression
L fC»)(q) ou 1 F(»)(x),
suivant qu'il s'agira de la série de Maclaurin ou de la çéric de Taylor, soit de plus 4> la limite vers laquelle
convergent, tandis que n croît indéfiniment, les plus
grandes valeurs de (y„)" ou bien encore la limite unique du rapport ""^^ , ces deux séries seront convergentes toutes les fois que la valeur numérique de x sera inférieure à -, et divergentes toutes les fois que la valeur
numérique de x surpassera - : en effet , si l'on désigne
par Un^=z±i(f^x" le terme général de ces séries, on aura , dans le premier cas ,
lim. (U„)" = 0^ < I, lim. "^-^ = ctj; < I,
yo CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et dans le second
Um. (U„)" = 4^x > I , lim. "^^^±1 = 4^x > i .
Donc, etc.
Exemple: i». .F(x) = tf^ FC")(o)=:i,
la série
O = lim. ; = o <; I , - = 00 ;
tf* = 1 H 1 1 5 + etc.
sera convergente pour une valeur réelle quelconque de la variable x\ ^2?. On peut en dire autant des deux séries
ces or = I H — 7 — etc.,
sinx = 5 H 5—7—? — etc.
En eflTet, dans ce cas, 4> = lim. ( = ) devra en-
\ 1 .2.3. . .nj
core être plus petit que i , puisque la série
tf* = I -f- o? H 1-. . . H = h etc.
est convergente, qifelle que soit la valeur de x. V. Si l'on prend F(.r) = 1 ( i + a:) ,
on trouvera
I ^nXr /Il 1
n donc la série
l(i+jp) = a; 1 — ;-+etc.
MEUVIEMB LEÇON. ni
sera convergenle tant que la valeur numérique de x sera * inférieure à l'unité \
4^. On en peut dire autant de la série
•27 JC J? 7
♦■c/ctangxzno: + -^ hetc.
5**. Si l'on prend F (a:) = (^i ••\- x)** ^ on aura
donc la série
( 1 +jp)^. = I -{-uxA x^~\ ^ ^^-:r j:^+eto.-
sera convergente tant que la valeur de x restera inférieure à l'unité.
6**. On prouvera encore que ces deux formules
l(x + A)=l(x)+----J-3-3 + etc.,
subsisteront tant que l'on aura - <; i , h <^x,
44. On pourrait croire que la série de Maclaurin a toujours F (a:) pour somme quand elle est convergente, et que par conséquent, dans le cas où ses diflércnts termes s'évanouissent, la fonction F(j:) s'évanouit elle-même-, il n'en est pas ainsi. En effet, si l'on prend
la fonction F (x) n'est pas identiquement nulle, et cependant tous les termes de la série de Maclaurin se ré-
^2 CALCUL DIFFÉRBITTIEL.
duiront , dans ce cas , à o. a^. Si Ton suppose
la série que Ton obtiendra sera convergente , et elle aura pour somme, non pas F (a:) , mais seulement son premier
terme e **.
45. Toutes les fois néanmoins que les fonctions F(x) et F (x + h) pourront être exprimées par des séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de Xj ces séries coïncideront avec la série de Maclaurin ou avec la série de Taylor.
Démonstration, Supposons que l'on ait
F(x)=flo + ûia?* + a,x +fl3X* + etc. ,
a, 6,7, étant des nombres entiers rangés par ordre de grandeur^ en diflTérentiant plusieurs fois de suite^ on aura
F'(x) = flxflt^*""' + ûfaCr "" +flf3yj:^"" ^+. . . ,
'F^(x)=zarit{et — i)ar*^ +«,^(^—1)0: ""
F'"(^) = fl. et ( «— I ) ( ^ — 2) ^"""^ + «. C (C — i) (C— ajx^""^
et puisqu'en général les quantités F(o), F'(o), F"(o), ne doivent se réduire ni à o , ni à 00 , on aura nécessairement
et par suite
F (:.) = F (o) H- ? F (o) -H ^ r (o) + -^ F" (o) + etc.. Donc , elc . . .
NEUVlÈUlfe LEÇON. ^3
SufqpOpdns en second lieii
F(x + h)z=^{x) + ^^{x) .h +^a(x).A +^3(*).^ +etc.;
en difEàrentiant d^abord par rapport à x, puis par rapport à h, nous snrons
puisque la fonc^n ¥(x + h) est composée de la même manière en a: et en A, et qu'en posant a: -f- A =j^, on a évidemment
dF{x + h)dF(jr)dx^d¥{x)^^ ^^
dx dy dx dy
dY{x^h)^dF{y) dx^dY[x)^^^^dF{x+h)
dh dy dh dy djd '
T j ;., . , dF(x + h) dY(x + h) .
Les deux denvees — -S , — ^-7; — —l sont nécessaire-
dx dh
ment égales et doivent renfermer les mêmes puissances
de h. Dès lors , en supposant les exposants a, 6, y... rangés
par ordre de grandeur, on aura *
. d^(x) ^ I dpJx)
d'ailleurs , en faisant A = o , on trouve y (x) = F (x) ; donc
f.(x) = F'(x), ^.(x) = iÇ^\ ^3W=^.... etc.,
E(a: + A) = F(x) + AF'(^)H F'(a:) + etc. C. Q. F. D.
y 4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Suite des applications analytiques.
fiègles de coni^ergence des séries dont le terme général est imaginaire, application aux formules de Taylor et de Maclaurin.
46. Les règles que nous avons données sur la convergence des séries en général et des séries de Maclaurin et de Taylor en particulier, subsistent encore dans le cas où le terme général de la série m„ et la variable x ont des valeurs imaginaires , mais alors il faut substituer à ce terme général u^ et à a: leurs modules.
En- effet , une série' dont le terme général est imagi^
naire et de la forme U'n=u,[ +m^ V — i peut être regardée comme la somme de deux séries réelles dont Tune serait
multipliée par le facteur imaginaire k — i , de sorte <jue l'on ait
La somme s^ = s'^ + K — i s" des n premiers termes de la première série, convergera pour des valeurs croissantes de n vers une limite fixe, si les deux sommes réelles s^ , s'^ convergent vers de semblables limites^ il çn résulte que la série imaginaire sera toujours convergente en même temps que les séries réelles. D'ailleurs, comme en appelant p^ le module du terme général de la série imaginaire, on aura*
BIXlàXE LEÇON. 7 S
les d(eux sériçs. u'o^ u'i^ - > > u" ^ u" , . . . et par suite la série u^j ûi , . . . ii„ , serqpt convergentes si les mçMlules
forment -eux-mêmes une semblable série. On déduit immédiatement de ce principe les deux tbéotçmes «suivants.
