i®*" Théorème. Cherchez la limite ou les limites
vers les^elles converge, tandis que n croit indéfiniment,
[ Tiine des expre!isiq||3 (jQ»)"? -^^ la série imaginaire
Pn
sera convergenie ou divergente, suivant que la limite unique ou la plus grande de ces lin^ites sera plus petite ou plus grande que l'unité.
2* Théorème. Scwent F(x) une fonction imaginaire de la variable x, et y„ le module de Fexpression
5 F ^»^ (o) ; soit de plus 4> la limite vers laquelle
converge , tandis que n croît indéfiniment, la limite unique ou la .plus grande des limites de l'une ou l'autre des
quaatité» (Çn)", ï^"-, la série de Maclaurin sera con-
vergente toutes les fois que la valeur numérique ou le
module de x sera inférieur à -.
Pour appliquer ce théorème à la. sérié de Taylor, il suffit de remplacer l'expression
F C"-) (o) par — —^ F (") (x).
48. Ce dernier théorème suppose que l'on puisse } étendre les formules de Maclaurin et de Taylor au cas où la variable x devient im^aginaire; or c'est à quoi l'on parviendra facilement comme il suit.
Soit
X z=: p -^ q [/ — I n: r(cOS^-|- j/ — I sin ^)
76 CALCUL DttrÈAENTlU'.
une videur imaginaire de laii ^iFarial^e; 112^4- i^qj^mi^rb^ryT comme seul variable, et posons ' ' ' ^
F(x) == F[r(cosr+ V^^lin f)].= f (r)+ V^C:T;K(r);
nous aurons^ en diflf^pentiaiit plusieurs foii de •tfJtf'PJfe rapporta r,* . > - *• .,
F*'[r(coBf4-|/' — ism<')](cosr -{-V^J-i sint)' /• . *-. ;.'• .
rc»)[r(co»»H-V^^3T8in»)](co»f+V^— iMnrJ*
d'où, en posant r=o,
,"(0)4.1/^ ;b"(o)= F" Cp)(cosrH-V^«nOs,
^(«)(o)4.\/^;gW(o)=F(")(o) (cosf+l/'^ riHi)«i
on a de plus
;K(r) = ^(o) + yA/(o)H-^;c"(0)+
et par suite
, ,» "•ftplxièiffe LEÇON. 77
On.'-^pea!C' mettre le dernier terme*' ou le reste de cette >: formule sous une autre forme ^ en effet, on a
çW{e,r) = ^(»)(o) +1., z^n) ço,r) = x^''Ho)± h , ' Il et II ét^t des quantités qui s^évanouissent avec- r; donc
^(•)(fl,r)+V^;KCn)(ô.r)=;;^(»)(o)+V/=^;^^
==F^o)(co6r+V/^sitif)»+I,+I.V— ï ; et par conséquent
I étant une quantité ; ' . r- qui s'évanouit
^ (cos^+ V/^sinO
avec r, et par suite avec x.
En désignant par a une valeur particulière, réelle ou imaginaire de la variable x , et posant
a: — /i = 3=i:^(cosT + l/^ — i sinr), F(x) = F (fl +z ) = F [fl 4- P (cosT+ V/II^ sinr) ]
on trouverait de même , en différentiant par rapport à p, (cost + V/ — I sinT)'"FW[fl4-p(cosT+\/ — i sinr)]
et en posant p = o,
F(û) = cD(o)+»/:::r,x(o),
(cosr+l/Iirsinr)F'(fl)= <D'(o)+ V/^ X'(o), ( cosr + V/^ sin T )'"F(") («) = <!>(•") (o) + V/^ XC*) (o).
y8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Ou aura de plus , d'après une formule connue , .
et Ton en conclura
i.a.3.../iL (cosT+ V/'^sinr)" J'
Si dans ces dernières équations, après a voi r posé x — a=hi on change a en a:, il viendra
F(x + A) = F(x) + yF'(x)-4-^F"(x)+
Lorsque dans ces diverses formules , on suppose c|ue les restes
