cOSr-f- 1/ — I SÎnr

ou seulement les quantités , , diminuent

indéfiniment à mesure que n augmente, ce qui arrivera,. 1^. Si a: et A sont des quantités infiniment petites:

DIXIÈME LEÇON. nO

l°.Si

ou la quantité I , conservent toujoui^'âes valeurs finies , on trouvera

F (x) = F(o) H- - F'(o) + -^ F" (o) + . . . etc.,

F(ar+^) = F(^) + -F'(4+ — F"W + ... etc.j

or ces dernières formules sont évidenunent les formules de Maclaurîn et de Taylor , étendues au cas .où la variable a: et son accroissement h reçoivent des «valeurs ima-

ginaîres.

La seconde des conditions ci-dessus énoncées , sera satisfaite si Ton prend pour F(x) une des trois fonctions e*, cosx, sino:, et par conséquent les séries qui donnent ces fonctions seront convergentes |)our une valeur finie (juelconque, réelle ou imaginaire, de la variable x.

8o G4l«CIII. DIFPAftaifTIEt.

Suite des applications analytiques.

Déi^elôppement d'une fonction de x qui devaient infime pour X = a , fuii^ant les puissances ascendantes de X — a. Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples,

49. Tous les développements obtenus jusqu'ici n^àdmettaient que des puissances entières de a: ou j: — a, parce que nous supposions toujours que la fonction F (x) ne devenait infinie ni pour a: = o , ni pour x = a. Supposons maintenant qu'il en est autrement 5 que F {a) = oo ,

. —-— - = o, OU que F(x) soit de la forme F(x) = ; — ^-Azt F {aj (j7 — ajf^

(f (x) conservant une valeur finie pour x = a'^ on dit ,

dans ce cas , que l'équation =r7-T = ^ — 7-^ a m racines

égales à a. Puisque, par hypothèse, la fonction (f(x) conserve une valeur finie pour x = a^ a ayant d'ailleurs une valeur réelle ou imaginaire, nous aurons, d'après une formule connue ,

I s'évanouissant quand on fait x = a. En divisant les deux membres de cette dernière équation par (x — a)"*,

t>irZlÈME LEÇOIf. 8l

on trouvera

i.2..^wi— i) j:— - a i.2«..//i i.2...wi.(/ii+i)

«A Taide de cette dernière fomii:Je on pourra donc encore développer F (x) suivant les puissances entières et ascendantes de j? — a ; seulement les m premiers termes du développement renfermeront des puissances négatives de cette différence. Si Ton fait n = m^ il viendra

I yC-OÇq) ^ »W(<i) ^ j