La fraction rationnelle 7—4 peut donc être décom
posée en deux parties dont Tune est la somme de plusieurs fractions qui offriront des numérateurs constants, et qui auront pour dénominateurs les puissances de • X — a, tandis que l'autre partie j^(x) conserve une valeur finie pour x = a.
En représentant par
Bn j Bw~i I B,
par
etc..
ce que devient la suite -, ^^- ... H ^— , quand
^ (x — a)"* X — ûf ' ^
on y change tour à tour a enb^ c, J. . . , m en n^ p^
q , etc. . . . , les différences
f{x) B„ B, /(f)__C^ Ci
ne deviendront plus infinies, la première pour x = a, la deuxième pour a: = 6, etc. ... -, de sorte qu'en posant
OU
p— (j,fl)«--- x—a (x — b)-"- x—b"~^*
Q ne deviendra infini pour aucune des valeurs x = a, r = i . . . D'ailleurs aucune autre valeur de x ne peut rendre la difTérence du premier membre infinie , Q ne devient donc infini pour aucune valeur de jT, ce qui exige que Q soit une fonction entière de x.
Enfin si l'on pose
Bx Cp __ R
R sera aussi une fonction entière de x , car
î{x) = {x — fl)'"X(^ — ^)". .., et l'on aura
îg^ffe + Q' Ax)=QfW + R.
On voit sous cette forme que les deux fonctions entières Q etR, dont la seconde est d'un degré inférieur à celui de f (x), représenteront évidemment le quotient et le reste de la division de f(x) par ((x).
