L'équation

+ B„ Bn i B, ^

/ 7T~ i~ ; T\ . • • "i r "i" eic ...

(x — by ^(a; — è)"-* X — b^

renferme le théorème suivant : soitv^ une fraction ra-

84 CALCUL DirFÉRElfTIEL.

tionnelle dans laquelle le degré du numérateur est supé^ rieur au degré du dénominateur, et a, i, c,... les racines de Féquation f(a;) = o-, pour décomposer la fraction

'Ç^ en fractions simples , il suffira de la développer ,

i^ suivant les puissances ascendantes de J? — a^ n^ suivant les puissances ascendantes de x — 6,3^ suivant les puissances ascendantes de J? — c, etc.^ puis d^ajouter au quotient de la division de f (x) par {(x) la somme des termes qui dans les divers développements deviendront infinis pour x = a^ x = by x= c, etc.

Dans le cas où le degré de f(x) est inférieur à celui de {(x)^ le quotient Q est nul , le reste R est égal à f(x)^ et rpn a

, Bi , C^ , Cl I "r" 7 "T" ; \Z • • • "T" -^etc. • . ,

Dans ce cas, pour décomposer la fraction 'Ç^ en fractions simples, il suffira de la développer, i° suivant les puissances ascendantes de x — a, 2? suivant les puissances ascendantes de x — b , etc . . . , puis de faire la somme des termes qui renferment des puissances négatives des diflFérences x — a, x — i, x — c. ...

S2. Quand Féquation f(j:) =o a toutes ses racines inégales, on a

de jdus, les valeurs des coefficients A, , Bj , C, , etc. , . . .

coïncident avec celles des produits

^^-^ym ^^~'^m ^"~'^ffc)'

correspondantes àj:=a, x = b^ x = c. . . Toutes ces

fractions deviennent -, mais on obtiendra leurs véritables

valeurs en diflFérentiant d'abord haut et bas, ce qui donne

{x-a)/'(x)^-/ix) {x — b)f'{x)+/{x) i'ix) ' f'{x)

et faisant ensuite x = éi on x=b ^ etc. , ... on aura ainsi

^' ""F(J)' "' ~fW "" f'W

D'ailleurs Féquation

({x) = N (x — ûf) {x — b) {x — c) . . . donne

f ' (x) = N (a: — ^) (j: — c) . . . + N (ar — a) (j? — c)...+ etc. , r(û)=N(a — ft)(« — c)...f'(^)=:N(^— «)(^— c)...,

donc

., - A-) B=— /(^L__etc

Oh aurait pu déduire immédiatement la première de ces valeurs et par suite toutes les autres de l'équation

f^^'j— f(x) — N(x — 6)(x— c)' d'où

Cela posé, on aura, si le degré de f(x) est inférieur à

86 CALCUL DIFFÉREffTIEL.

celui de ((x) ,

f{x) il {a — b) [a — c). . , x — a 1

, ___ {x—b){x — c)... (x — fl)(^ — c)... .

Cette formule, connue sous le nom de formule d'interpolation de Lagrange, sert à la détermination d'une fonction entière de x du degré n — i , quand on connaît n valeurs particulières de cette fonction f{a)^ fiP)' • • •

Lorsque les fonctions f{pc)^ ((x) se présentent sous forme réelle , et que les deux racines a , 6 , sont imaginaires et conjuguées, de la forme a -|- 6 V^ — i , a — 6 l/ — I , on a

si Ton remarque que pour passer de /"(a + 6 ï/^ — i) et

f '(a + 6 v/=rr) à /(a — 6 \/=rr), r(a 6»/=7),

il suffit de changer \/ — i en — \/ — i, et si l'on pose

f{c-\-Q V^) A-FB \/^ (AA^-BBO+(AB^-f-BAQV^ f/(«+ÇV/^)""A'+B'v/=T'" A'» + B'^

AA^ — BB^ AB^ + BA^ A'^ -f. B'> ' A'^ + W^ '

on aura

(AA'-BB^)H-(AB' + BA')t/:^ „ , y—

B - ( AA' - BB- ) - (AB' + BA^ ) \/~x „ y—

B, »., j g,, —G — HK— I,

OMZIJSME LEÇON. Sj

x—a x—b a:—tù—Q\/^ x — a + C v/^

2G(x et) 2H0

Les deux fractions correspondantes à deux racines imaginaires se réuniront donc pour en former une seule dont le numérateur est une fonction réelle et linéaire de x^ et le dénominateur un facteur réel du second degré.