On pourrait imaginer diverses méthodes pour arri

ver à décomposer la fraction rationnelle t-W en fractions

simples ) mais ces diverses méthodes fourniraient nécessairement les mêmes valeurs des coefficients Aj, Aj, . . . A,„i, Bi, Bj,. . . B„i, etc.. . . Pour le démontrer, reprenons Téquation

{{x) {x — fl)^ [x — ay-^' ' '^ X — a {x — b)"

[x — bf * X — b

et posons

Qf^^)+ J^M^ «~-./W +...4-,-MfL... e.c.

^ ^ ^ {x—bY{x — by-'^ (j: — cY

i(/(jc) sera une fonction entière de x, et nous aurons

^ -^ [X — ap (x — a/" ' [X — a) ^ ,

Or, si dans cette dernière équation, après avoir posé X = a + h^ on développe les deux membres suivant les puissances ascendantes de h , on aura , en remarquant que la fonction i(x) s'évanouit pour x = «, ainsi que ses dérivées jusqu'à celle de l'ordre m exclusivement,

88 CALCUL DIFFÉRENTnSL.

/fa) + Z>L* +/!M*! + ZlMi! I /<■> («)*■

^^ I i.a 1.2.3 i.a...iii

Li.2.../t 1.2. . .(m + ï)*" 1.2...^ J

fx étant le degré de ((x)j et par suite

^^ 1.2... m ^ «^ ^ ^ 1.2. ..I» I .2...(wi + i)'

d'où