I sinx

on a donc

C08X + V^— I smx= tf'*^ ""*, cosj:— |/— isi on aura de même

rV/m

d'où

(cosâ?

— I smj:; ^co5/-+ K— I smj) =tf^ ^^z»-

= cos (x + 7) H- K — 1 8in(« H- j^) » cos (x + j) = cosxcosj — sin j:sin j, «in (x + j) = -sin x cosj^ -}- sin j cos« ;

on aura encore

{cosx +V^— I smx)(co87-+K— î sm^)(cosz+V/— isin«)...

d'où l'on tirera en faisant y=zz.,,=x^

(cos X + v—i sin a:/" = cos /wa: + \/—î sin/wx.

Cette dernière formule fut donnée d'abord par Moîvre, dont elle a retenu le nom.

La multiplication d'expressions de la forme

cosj? + \/--i sin Xf

se réduit donc à une addition, et l'élévation aux puissances à une multiplication. Ce résumât est très important, puisque, comme on le verra, toute expression imagi*

naire a -)- 6 V^ — i peut se mettre sous la forme

r (cos t + \/ — I sin t) ,

DOUZIEME IJEÇON. gi

On aura encore

cos

x+y/^ûnx ^W^--i

= e =cosx-|/^sûir.

(cos x+ 1/— I sin x)* tfm*W^^^^

^ = cos mx -— |/^— 7 si

sm/7ix.

Ainsi pour diviser par (cosx + V^ — i sinx)"*, il suffit de multiplier par cos ma: — V^ — i sin mx.

55. En partant des mêmes principes, il sera facile de fixer le sens des notations

x", A^, hxy ûaxy cosxy

dans le cas où la variable x devient imaginaire. Nous avons dit que toute expression imaginaire

a + S K — I pouvait se mettre sous la forme

r(cos^+ V^— I sin^) j; il suffit pour cela de prendre

r=»/^r4rF, cos. = p;==.

smt=: — , , r=:arc tan£^-.

Si l'on désigne par t la^lus petite valeur absolue de l'arc w qui a - pour tangente , cet arc sera compris entre - et

; cosT sera essentiellement positif, et si l'on suppose a

positif, oii aura