CL
cos f= cosr y smf = smr.
g4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
La valeui' générale de t sera
^ = T±2>tîr, et a: = r ( cost + V^ — isinr); si au contraire a est négatif, ou trouvera
cost = % sin T =
cos^ = — cost, sinf=r — sinr,
^=:t±(2/'+ l) 5r, x=: — r(coST + V/ — I sinr).
Cela posé, i° si a est un nombre entier m, on aura
j:« = ar»" = r"* (cos^ + \/^ — i sin^)*",
équation qui entraîne, comme nous l'avons vu, la suivante ,
jpM ^- r" (cos/wf + V^ — I sin m/) ;
2°. Si a est une fraction -, x^ == x" aura un certain
nombre de valeurs, en désignant par ((x)y l'ensemble de
cesvaleurs, par((i))", (( — i))" les racines 7^'^'"*^ de + i ou — I, on aura, si a>o, j: = r(cosT + l/^^sinT),
(W)" = ^ (ces ^ + l/ir^ sin iyi)r;
si a<o, x= — r(cosT+ V/ — i sinr) ,
((^))^ = r^ fcos ^ + J/3T sin ^ ) ((- 1 ))"•
56. Quant aux valeurs générales de((i))", (( — i))'*, on les obtiendra en cherchant les valeurs de
X r= 7' (cos^ + i/ — I sin/)
DOUZIÈME LEÇON. pS
propres à vérîBer les équations
x^ -=. r" {cosnt + \/ — i sin/if ) = i , ^"=:r" (cos/ï/ + V^— > sin/ï^) = — i;
or on satisfera à la première en posant
r= I, QOSnt =z I, sm/ï^= G, m =:nz aA-îr, ^=3t ;
et à la seconde , en posant
r=I, COS/ï^=I, sin/l^ = 0, /l^=r:±(2^+ i)«-,
on aura donc
((i))" = ces ± K — I sin
(( — i))'*=z:cos «j±K — I sm T.
Ces équations fournissent pour chacune des expressions
((i))", (( — i))", n valeurs distinctes que Ton obtiendra en donnant tour à tour pour valeur à 2.k tous les nombres pairs , à aft + I tous les nombres impairs compris entre 0 et n inclusivement. Il est facile. de démontrer qu'il suffit de donner à 2& ou à aft + 1 ces deux séries de valeurs. En effet, i*^ soit v le nombre entier le plus rap-
proche du rapport —, la différence entre les deux nombres V et — sera tout au plus égale à j , en sorte qu'on
aura — = v zh — , — désimant une fraction éeale ou n n n
inférieure à ^ , et par suite y un nombre entier infé-
rieur ou tout au plus égal à - ^ on en conclura
CCS
2A-»'^. y . a^îT 2A^îr. .y . 2^«-
± V^ — I sin = cos ±: K — I an ,
et par conséquent toutes les valeurs de ((i))" seront comprises dans la formule
cos ± K — I sin ,
si l'on suppose aft' renfermée entre les limites o et /i; ou; ce qui revient au même, dans la formule
..n cos aA-ar j > . aA^»
((0) =— ^— ±K— ism-^,
si Ton y suppose 2k renferme entre les mêmes limites. Soit de même v le nombre entier le plus rapproché du
rapport — : la différence entre les
nombres v et , est évidemment une fraction de
un '
numérateur impair inférieure ou tout au plus égale à ^ ,
en sorte qu'on aura
2k + I désignant un nombre impair égal ou inférieur à ra, on en conclura
(2A-f.|)5r . (aA^'+Oî*-
^ i — = 2fîr it: — ,
1X)UZIÈME LEÇON. ^J
cos ^^ ^— ±K — i sin ^ —
1= cos^ : — - — zh ^ — I sin ^ ^—
et par conséquent toutes les valeurs de (( — i ))" seront comprises dans la formule
cos ^ — ± K — I sm ^ ^ — ,
si Ton suppose ak^ + i renfermé entre les limites o et /t , ou, ce qui revient au même, dans la formule
((—"))= cos^ ■ — - — ± K — I sin^ — ^—,
si Ton y suppose ak + 1 renfermé entre les mêmes limites.
Si n est pair, aft pourra être tour à tour égalé à
0, 2, 4v C'* — ^)9 ^9 ^^^ valeurs o et « donneront pour
((i))" deux racines réelles + 1 et — i , chacune des autres valeurs en nombre donnera deux valeurs imaginaires conjuguées. Dans le même cas, 2A + i pourra recevoir les valeurs i , 3 , 5, . . . (n — i) -, à chacune de
ces valeurs en nombre - correspondront deux valeurs
imaginaires de l'expression (( — i))".
Si au contraire n est impair, 2 A pourra recevoir toutes les valeurs o, 2, 49-'- (^ — ï)5 ^ '^ première correspondra une racine réelle et unique -|- 1 , et chacune des autres , en nombre , fournira deux valeurs
imaginaires conjuguées de l'expression ((i))'*. Alors aussi 2^ + 1 pourra*recevoir les valeurs i, 3, 5, . . .n — a, n\k la dernière correspondra une racine unique et réelle — i
de l'expression (( — i))" ^ chacune des autres, en nombre
, donnera deux valeurs imaginaires conjuguées.
De ce que les expressions ((i))", (( — i))" ont n valeurs , on conclut qu'il en est de même . de l'expression
