Revenons à l'expression x*. 3*^. Quand a est un

nombre fractionnaire — , on trouve , si a > o ,

mm m

x' = {{x)f=r^ (cos^r+ V^^l sin^r) ((,))» ;

si a < o ,

mm m

Les diverses valeurs des expressions ((i))", (( — i))" seront données par les équations

{i\\Y = ces ^lV — I sm ,

(( — I )) = ces ^ — ± V — I sm -^ — ^ .

Comme les seconds membres de ces équations élevés à la puissance », donnentpour résultats H- 1 ou — i, on en con-

DOUZIEME LEÇON. gg

• mm

dut quetoutesles valeurs de ((i)) " ou (( — i))" coïncident

avec celles de ((i))" ou ((—1))" .

4^. Sia = — trij on aura

jc"»" zzz r"*" (ces mt — V^ — » sin mt) ;

5^. Quand a = ^ , on a, si a > o,

mm m

{(x)) ""» = r^^l^cos-r— V^^^sin -r) ((i)) "";

si a < o ,

mm m.

■ ((x))~- = r~"(cos^r- V/:i:Tsin^r) ((—))"»,

et l'on reconnaîtra que les diverses valeurs des expres-

sions ((i))" 9 (( — i)) " ? coïncident encore avec les diverses valeurs des expressions ((i))" et (( — i))".

ELn résumé , a étant une quantité quelconque positive , négative, entière , fractionnaire, et x une quantité imaginaire a -\- ë \/ — I , on aura, si a > o,

{(x)Y = r« ( cosflT + V^ — I sin ar) ((i))*; si a < o ,

{{x)y z= r« ( cosar + V^ — I siaar) (( — 1))«; ({i)y =: cos2.Aa^ -\- v — I çmikavy {( — '))"= cos(2X-H-i)a»-4- y/ — I sin(2^-f-i)a5r.

On désigne par la notation particulière a: ", celle des valeurs que Ton obtient quand , a étant positif , on prend

loo cUlcul différentiel.

pour ((i))* la valeur particulière i; on a ainsi

.r" = r"(cosûr + \/ — I sinar).

On convient d'étendre cette équation au cas même où a devient irrationnel, et de s'en servir pour fixer le sens de la notation x"*.

58. Considérons maintenant les notations A', sinx, cosx, \^{oc). On a, comme nous l'avons vu,

xv^ — 1

' = coso: + l/'— I sinx ,

— xW^— r , y .

=:cosar — K — I smx.

Si X =:• OL -^ ^ V 1,

on aura

«-hc\/— T

e* ■=^ e ' ' ' = e*e = ^*(cos^4- \/— ï sin^);

donc

a'zna

Les équations

= fl*(cos^la 4- \/ — I sia^la).

= cos4:+K--risin:c, e =cosj:-K — isinj:.

donnent

ces J7 =

I — x\/^ — I xy — I — XI

, SmJ7zr: -

on aura dès lors , dans le cas oxix = a-\-6i/^ — 15

CCS x = ces ce —

sm J7 = — ' sm ec +

sin« l/— I,

COStf