Si l'on cherche les diverses valeurs réelles ou ima
DOUZIEME LEÇON. lOI
ginaîres de j^ ou de z, propres à résoudre les deux é(piations
ces diverses valeurs seront les logarithmes de x , calculés dans le système népérien et dans le système dont la base est «5 nous les désignerons par les notations 1 ((j:^)), L((j:)).
Or l'équation a* = e* * entraine la suivante,
on aura donc toujours L((a!:)) = -j-^» de sorte que pour
obtenir les logarithmes de x, dans le système dont la base est a, il suffit de diviser par 1 a les logarithmes népériens de la même variable.
Posons
Téquation e^ = j: donne
et si a > o ,
eP{pa&q +V^ — isin^)= r(sinr -j- \/ — i sinr), eP-=.r^ pzizlry cos^ = cosr, sin^ = sinr, ^=r±2itw*,
si a < o,
e/» (cos^ + \/ — 1 sin^) = — r (cosr + K— T anx), ePz=zry /?=h', cos^=— cosr, sin^= — sinr, ^=:r±(2^4-0*^*
On aura donc, si a > o,
l((x)) =lr + r V/— î ±: 2^îr \/— I ; si a < o,
l((a:)) = lr+ r \/ — 1 ± (2X- + l)îrl/— I.
Si Ton fait
a: = I , ou .r = — i , d'où r = i et r = o , on aura
I et — I ont donc une infinité de logarithmes, et Ton aura , si a > o ,
l((x)) = lr+rV/I=7 + l((i)); si a < o ,
1((^)) =lr + r\/^l+l((— l)).
Dans le cas où ce est positif, il existe un logarithme plu» simple que les autres , celui que Ton obtient en faisant ft = o, où, en prenant + i pour 1 ((i)), on désigne ce logarithme particulier par la notation \x , et Ton a «
On déduit la valeur de L((a:)) de ceUe de l((x))^ en divisant cette dernière par la.
On détermine de la même manière le sens des notations arc sin ((ocj) , arc cos {(x)) , dans le cas où a: a une
valeur imaginaire oc + ë \/ — i. S'agit-il , par exemple,
de arc sin ((a::)), on posera
arc sin ((x)) z=z p -^ q \/^ — i ; d'où.
X 1= ce + ^ V^^-ï ==: sin (/? -h y K— î )
= sin/? -\ cos/> K — ï-
De cette dernière équalion , on tirera les valeursde^ et de
DOUZIÈME LEÇON. Io3
q , que Ton substituera dans Téquation
arc sin ((x)) ■=p ~{^q {/ — i .
(Ployez j pour plus de détails, V Analyse algébrique de M. Cauchy, chapitre IX, ou le Traité de Calcul différentiel du même auteur, onzième leçon.)
60. Nous mettrons fin à cette digression en étendant à des valeurs imaginaires quelconques des variables x ou^, les formules connues
CCS [x + j) = cosx ces/ — sin jc sin/, ÛDi{x-\-y) •=. sin or ces/ + sinj cosar,
L((xr)) = L((x))+L((r));
i«. {{x)Y = r« (cosaT+ V/^ sinar) ((±i))% ((a:))*= r* (cos^r+ V^^sin^r) ((±i))*,
donc ((a:))'' ((X))*
= .r«+*co»[(fl+é»)r4-»/^sin (flH-^)r]((d=i ))«+*= ((x)>+*;
2®. e* •=z e" *^^^^=:tf*(cos^+ \/ — I sin^), eT = ^*'(cos^'+ V^^x sin^O»
tf»tf/= e* g*'[cos ( S 4- ff 0 + V/^ sin ( C 4- ^ ')]
4**. cosa:=cos(fl6 + ^K ""' )^^^ co^tt
— — -sm* K — I >
lo4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
cos r =co»l a' 4- ^ k — I )= cos«'
sin fit' K — I »
= ^ i-cos(«+«')— ^^ ^^ 5m(tf+ct')^<^i
(cos « cos «' —sin a sin « ')
(sin « cos«t'+ sin a' cos «) V^— j
= cosxcosjr — sinx sinjr- On trouverait de la même manière ,
sin (ar +^ ) = sin X cos ^ + sin ^ cos a: , et par siHte,
sini -— j: j = cosj:, cos( -— x ] =sinx, etc.
5®. On a identiquement
d'où
xy = e^ ((^)) == ^1 (W) 4- 1 ((r))^ ^1 (M) + 1 ((r)) - 1 {ixr)) j ^
ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que l'exposant du
premier membre sera de la forme ±: 2^71 k—T, on aura donc définitivement
1 ((xr)) = 1 ((x)) + \ {{y)) ± 2Ax v/CTT ,
OU plus simplement
l((xr)) = l((x)) + l((j^));
car on ne change rien au logarithme d'une quantité ima-
DOUZIÈME LEÇON. Io5
gînaire , quand on y ajoute ± 2A71 v — i , qui y est déjà compris, puisque 1 ((j^)) est égal à la somme 1 ((j:))+tk — i augmentée de ±: iki^ V^ — i , ou de ±:(2^+i)7rl/^ — i.
Nota. Les équations
sont vraies dans ce sens seulement, qu'à chaque valeur du premier membre, on pourra faire correspondre une valeur égale du deuxième.
61. On peut enfin appliquer les principes établis cidessus à la résolution des deux problèmes suivants :
Problème i®*". Transformer ûnmx et cosma: en un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes de sin X et cos x.
Solution, Les deux équations
(coS4:-|- K — I sina?)'"^: cos/nx -|- \/ — i ûamx^ ( cos:i: — K — I sinx)":;!: cosmx — J/ — i ûnmx,
donnent
(cosa?-|- V^ — I sina:/" -f- (cosx — V^ — i sina:)"
cosmos =
(cosx 4- V^— I sin a?V — (cosar— l/— i sin jtV smwM? = i ^ — — ^= ^ •
Si après avoir effectué les développements, on égale de part et d'autre les parties réelles et les coefficients de
V^ — I, on trouve
mlm — i)
cosmx = cos'"^ — — ^^ — ^ cos """a: sm 'x
-I ^ ^ ^ o / ^ cos '"-^x sm^o:-!-. . .etc. ,
sm /w j;= — cos'"~*:c sin x i ^-^ -' cos ""^^ sm ^x +, . . etc.
Io6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Exemples :
C0S2X = cos*j: — sin *Xy sin ax = 2 sin x cosar ,
cos 3x = cos ^x — 3 cosx sin *x , sin 3x = 3 cos *x sin x— sin ^x.
Si dans le développement de cos mx, ou dé sîn mXj on met à la place de cos' j: sa valeur i — sin^x, on trouvera, en développant, 1° si m est pair,
cos mx = I — — 1 — sm "x
^ ;n(m~ 2) (m-4)r(^-)(m-3) (m-i)5 SSl ('
a*'. Si m est impair,
siniiu:=cosx
sin* x cosmxzrcosx
'--T-U+âj"' (;«-0(m-3)rg^(m-g)^3 3 xn ^^ ('
m , m (m — i) fm — 2 . 3\ . .
sin mx =: — sm X ^^ — ] sm^ x
m {m — r)(/w— 3)r(/w — 7),{m — 4) , (^—2) 5^5 3*1 . 1.3.5 L îi-4 2 2 2*4J
^i dans ces équations on change x en j: , et si l'on
pbserve que Ton a , pour des valeurs paires de m,
COS f /w - — mx j = ( i)2 ços ;„^^
sin [m /wxj = ( — i)^ sinmx,
et pour des valeurs impaires de m ,
:os ( m mx J = ( — 1)
in ( /w ^ »^ mx ] = ( — 1 )
^\VLmx
CCS mx ;
on trouvera les développements de sininx et cosmx, suivant les puissances ascendantes de cosj:.
^me Problème. Exprimer les puissances entières de sino: et de coso:: en fonctions linéaires des sinus et des cosinus des arcs multiples 7.x ^ 3a:, etc.
Posons ■
coso?
-f- \/^ — I sin X = M , ces X — 1/ — I sinx = v^
d'où
2 cosor = u +1*, a V^ — 1 sin a? = a — p , uv^zz i^
a» çn
=z= cos /i:i: ,
= sin /ÏJ7.
Cela posé, on aura
m(m- 1) ^ ^ ^ , a*cos'"ar = (tt+j>)^=:tt'» + ma'"""'pH ^-^J u'^-^ç^ + ,..,
a^sin"* 4: (k — i )" = (a — »>)" = «'" — muP^^ 9
et si m est pair,
2""»cos"x =cosmx H cos (m'7.)X'4 ^^ ■ cos ('m-â.)x -f-- • «
Io8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
(-1 ) 2'"~*sin»j? = cosmx — cos(iii-2)<aH ^ ' co${m-J^)x..
m (m — i).... ( hij
a si au contraire m est impair, on aura
m . y. tn itn — i ) , •» 2""*cos"d:=cosmxH — cos(iii^2u?H ^ ^X)s(»t-^kF...
cosj;,
m-i (-i) ^ 2*"*sm"j?=siiwwj? — sin(/w-2)arH — i- ^ sin(i7?-4)>^.
sin X.
Différentielles des fonctions explieites ou implicites de plusieurs variables
indépendantes.
62. Soit M = F( x, r) une fonction de deux variables indépendantes x^ y\ donnons à ces deux variables des accroissements simultanés Aor, A^, Taccroissement Au de la fonction sera donné par Téquation
