F(4: + Ax, ^-1- A/)— F(:i:+AJ
mais d'après un théorème souvent rappelé, nous aurons, en désignant par Fi(j: , j^) , F^J (a: , j^) , les dérivées partielles de la fonction F(a:, y)^ prises par rapport à x ou par rapport à y^ par F^ {x^ y)^ la dérivée par rapport à x de la dérivée prise d'abord par rapport à j^, et par Si , Sj, 6,, des quantités qui s'évanouissent avec Ar, A^,
F(x+Aa?, j)F(a?, j-) =F^(j:, ^)a^ + £,A:c,. F (a?+ZLr, j-|- aj) — F (:i:+ ^x, y) =Ï"(^+2\j7,^) A^+e,A^, F; (x-h Aar, .r) =F; (^, jr) + Yl^{x, y) Aar + i3Ax;
on a donc , en remarquant que
r(x,y)=^, F'{x,y)-±, Y"{x,y) = ^, ' ^ dx jr^ '^f ^^' *rV >y; ^^^7
du du , * . ^*"
AU = — AJ? +— Aj + I, Aa?H-f a Aj 4- -r— AJCAj+fsAxAj.
L'accroissement Au. se compose donc encore ici de deux
IIO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
parties^ Tune proportionnelle aux premières puissances .de Ar , Aj^, ou dans laquelle les coefficients de Ar, Ay ne s'évanouissent pas avec ces accroissements; l'autre nécessairement proportionneUe à des puissances supérieures, et à des produits de ces accroissements, ou dans laquelle les coefTicients ei , e^, £3 des accroissements, s'évanouissent avec eux. Dès lors il parait tout-à-fait naturel , par analogie, d'appeler différentielle de m, et de représenter par rt?M, lorsque u est une fonction de deux variables indépendantes oc^ j^ la partie de l'accroissement Au qui est proportionnelle aux premières puissances des accroissements Aj? = dx^ ^y = dy^ on obtient ainsi
du du
du z=z -—dx-\- — - dy :
dx dy
la difféi'enticlle d'une semblable fonction estdoftc égale à la somme de ses différentielles partielles prises tour à tour par rapport à chacune des. variables indépendantes.
Si nous avions eu u =F {x , y^ z) , nous aurions trouvé de la même manière, en désignant encore par Cj , es,etc., e', e", etc., des quantités qui s'évanouissent avec Ar, Ay, Az, par fc, fe', li!\ des coefficients déterminés,
AM = F (a:H-Ax, j-f- A 7 , z-^àz) — F {x, j , z) = F (x-f-^x, y , z) — F(^, j, z)-\.^{x^C^x, r-t-Ajr,z)— F(^-f-AJ:, r> 2) -f. F (J7 -f. A j:, j+ aj, z+ Az)~F(jr-f-^x, r+^r? «) i F(^-t-Ax, y, z) — F(j7, jr, z)=:F^(j:, ^, z)hx-\rU<^'>
F(^H-z:^j?, ^r + ^r^^) — F(^-{-zi^, j, z)
= F; (o: -f- A^ , j, z) A j H- i^Ajr ,
F^ (^+A^, j, z) = Y'^ (x, y, z) + F^^ [x, y, z) Sx + t^C^x ,
F (x + Ad7, jr + ^r, z -f- Az) — F (^ H- Ax, ^ -I- iA^, z)
= F^ (j7 -I- Ao: , j + /^kj, z) Az 4- 64 Az ^.
Fj {x -I- Ax, j -t-Ay, z) = f;; (x + Ax, j, z)
+ ^lî'x {-^ + Aj:, 7, z) Ar -|- isAr >
THEIZIEME LEÇON. III
rfr dy dz
éfi^ é/tf ^/i^
flf a = 3- cte 4- -— d[r + -r dzy dx dy dz
équation que l'on écrirait plus correctement de la manière suivante
du, -=. djtU ^ dyii '\- dfU,
. La marche que nous venons de suivre est indépendante, on le voit, du nombre des variables,, et dès lors nous pouvons énoncer le théorème suivant : en appelant différentielle d'une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes , la partie de l'accroissement Am qui est proportionnelle aux premières puissances des accroissements Ax, Aj^, A^*, celte différentielle du sera toujours égale à la somme des diiférentî elles partielles de la fonction u , prises tour à tour par rapport à chacune des variables indépendantes comme si les autres étaient constantes.
Remarque, Dans le cas où x, étant seule variable indépendante , u se trouvait déterminé par les équations
u = ¥(pB, yyz), y = <p{x), z = x{^)'', nous avons trouvé aussi
du ^ ^ du . du ^ du-zzi-— dx -A — j-dy -^ — — dz.
dx dy dz
Cette dernière équation a donc lieu et dans le cas où une seule des trois variables est indépendante , et dans le cas où elles le sont toutes trois. Mais dans ce dernier cas , rfar, dy^ dz désignent les accroissements arbitraires attri-
bués aux variables indépendantes , tandis que dans le premier cas dx seul exprime Faccroissement de la variable indépendante a: ; dy^ dz désignent les diflFérentielles de j et de z, considérées comme fonctions de x, et déduites des équations j' = (p (a:), z = x(p^)' Une autre différence, encore plus digne d'attention, consiste en ce que , dans le dernier cas, l'équation
du du du
du= —- dx + — dy + — dzj dx dy dz
ne doit être considérée que comme exprimant la définition de la différentielle d'une fonction de plusieurs variables indépendantes \ tandis que dans le premier, la même équation est le résultat d'un théorème qu'il est nécessaire de démontrer -, car la différentielle du se trouve alors définie à priori, comme, la limite du produit dlr.lim. — , ou
commela différentielle de la fonction F [a:, (p(x), xC-^)] > T^^ l'on obtiendrait en substituant à j^ et .3 dans m =:F(ar, y^ ^), leurs valeurs j- =: (p (x), z = xC"^)«
Si les trois variables x^y^ z étaient liées entre elles par une équation
^K-^j r> 2>) = o> on z = '^{x, 7),
deux seulement seraient variables indépendantes , et en éliminant z , on aurait
u = F[a7,jr, 4(^j y)] = Fi(^, j),
la différentielle du se composerait de deux parties : l'une prise par rapport h. x en regardant j^ comme constant , l'autre prise par rapport à y^ en considérant x comme constant. Dans le premier cas , l'équation
u = F (or , 7, z)
ITREIZIÈME LEÇON. Il3
peut se mettre sous la forme u=^ f (x, z), z étant une fonction de x \ dans le second, sous la forme u = f(j^, z)^ z étant une fonction de j^, et l'on a
d^ . d^u dz , rf,« = -— dx + — — — dx, dx dz dx
djii dyii dxtifdz dz \
mais z est une fonction des deux variables indépendantes Xj y, et par conséquent
dz dz
dz = -d^ + -dr;
donc enfin
d^u dyii d^u
du = —— dx H- -f- dy + -— - cfe, or "-y dz
OU
, du . ^ du . du ,
du = -dx + ~dr + ^dz.
Telle est donc, dans tous les cas, la forme que prend la diflerentielle d'une fonction explicite de plusieurs variables dépendantes ou indépendantes.
63. Pour obtenir avec facilité la différentielle d'une fonction implicite de plusieurs variables indépendantes, il suffît d'observer, i** que si deux fonctions d'un nombre quelconque de variables sont égales identiquement, c'est-à-dire quelles que soient les valeurs attribuées aux variables, leurs différentielles partielles, et par suite leurs différentielles totales seront aussi identiquement égales •, 2^ que si une fonction de plusieurs variables est nulle identiquement, sa dîfférentieUe totale sera nulle aussi. L'équation « = F(x,j^, z... etc.) = o, entraîne donc les T. I. 8
Il4 CALCUL DIFFÉRENTIEL*
suivantes
du . du . du ùu=zo. rfa==-7-airH--;-arH--r- ««-+■..• etc. = Oi
dx dy '^ dz
A Faide de cette dernière équation on pourra déterminer la dijflférentielle de l'une des variables considérée comme fonction implicite de toutes les autres. Si, par exemple, il n'y a que trois variables, on trouvera
du . du ^
du di
Exemple :
d:* + 7"* 4- ^* — û* =o, xdx-^-fdy •■\-zdz-z=:o^
<& = — — d!r — — dy,
Si les variables x^y^ z^, . , au lieu d'être assujéties à une seule équation de la forme a = o, étaient liées par deux équations de cette espèce a = o, 1^=0, on aurait en même temps les deux équations du = o^ du = o^ k l'aide desquelles on pourrait déterminer les différentielles de deux des variables considérées comme fonctions implicites de toutes les autres.
En général, si n variables j:,^^, z, . , sont liées entre elles par les m équations u = o, 1^=0,^=0,... on aura en même temps les m équations différentielles
rfw z= 0 , dçz= Of dw = o, . . . ,
à Faide desquelles on pourra déterminer les différentielles de m variables considérées comme fonctions implicites de toutes les autres.
