Considérons comme cas particulier une fonction
TREIZIÈME LEÇON. ItS
hom(^ène de plusieurs variables a: , jr, jz: • . . On dit qu'une fonction est homogène, lorsqu'en faisant croître ou décroître toutes les variables dans un rapport donné , on obtient pour résultat la valeur primitive de la fonction multipliée par luie puissance de ce rapport^ Fexposant de cette puissance est le degré de la fonction homogène. En conséquence , F (a: , j^ , >s , . . . ) sera une fonction de . X, j^, ^, . . . homogène et du degré a , si ? désignant une nouvelle variable , on a
Cela posé, dîfférentions par rapport à t les deux membres de cette dernière équation. La dérivée du second membre est a^""F(a:, j^, z) : en posant
to =r a, tyziipy te = iv, . . .
le premier membre devient F (a, i^, w, . . . ), sa dérivée est
d¥ du dV dp ,d¥dw didi'^'éh dt'^d^'df'^''^'
Nous aurons donc, en remarquant que
du dp . dop
dF . dF . df
dt ^ dt -^^ dt '
et en faisant f == i, ce qui donne u = ar, \f =y^ w = Zj... dF dY dY -,. .
Cette équation renferme un théorème que l'on peut énoncer comme il suit : Si Ton multiplie les dérivées partielle^ d'une fonction homogène du degré a par les variables auxquelles elles se rapportent , la somme des produits ainsi
Il6 CALCUL DIFFÉR£1ITI£L.
formés sera équivalente au produit qu^on obtiendrait en multipliant la fonction elle-même par a. Pour une fonc-* tion homogène de degré nul, on aura a = o,
d¥ d¥ . dF
dx^^-^ dy ^ dz
Exemples :
i^F(a:,/,2)=:|(Aa:*H-Br*+Cs» + aDj3H-!iE8ar4-2Fxx),
^=Ax+Ez+Fr, £!!=Br+Dz+Fx,
^ = C« + Dr + Ex,
a := a , et Ton a bien
( Ax + Ez-f- Fj) a: + (Bj + Dz -|-Fx) j^+ (C« -}- DjH- Bjc)z == 2 Xî(Ax»H-Bj* + Cz» + aDjz + aEza: + aFa^) ;
rfF . rfF j? xr x X
65. Considérons encore comme cas particulier u^ie fonction de la somme de plusieurs variables x^ y^ Zy, . . Cette fonction doit être telle, qu'en posant a: -|-j^4-z+ etc. = t, elle devienne F (t) ou fonction de t seul ; or une propriété remarquable de ces fonctions, c'est que leurs dérivées partielles sont égales : en effet , en vertu de l'équation M = F (f), nous avons
du du dt du du dt du du dt
dx dt dx^ dy dt dy* dz dt dz^
d'ailleurs l'équation x +y + z -|- etc. = t donne
dt __dt dt
dx dy dz' ' * '
donc en effet,
du du du
dx dy dz
Si l'on avait 1/ = Y{x — ^), on aurait ^ = — -j-\ les dérivées seraient égales, mais désignes contraires. Exemple :
ii8 cALcui. dutArkutibl.
Différentiellos fiaoeetsivet des fonctions d« plasieurs variables indépendantes. — Différentielles des fonctions de fonctions de plusieurs variables. — Nouvelle manière de définir et de calculer left différentielles premières ou successives.
66. La diâerentîelle d'une fonction u = ¥ (x, y, -sjv) de plusieurs variables indépendantes , est, en général, une fonction de ces variables que l'on pourra diflférentier plusieurs fois encore, soit par rapport à toutes les variables, soit par rapport à quelques-unes d'elles seulement. Dans le i®*^cas, on obtiendra les différentielles totales successives de^ cette fonction, différentielles que nous désignerons toujours par les notations d^u , cPu^ d^u^ . ; . d'^u \ dans le second cas , on obtiendra des dérivées ou des différentielles partielles successives 5 ainsi , par exemple , les quan-
tites -j—^y ^7^' "TTT exprimeront les dérivées partielles
j^iimes prises par rapport à x, à j^, à z. Si l'on différentie n fois , mais par rapport à plusieurs variables , ces variables mises en indices , ou leurs différentielles mises aux diviseurs , indiqueront dans quel ordre on aura effectué les
différentiatîons: ainsi les notations é/îé/yé/,î^, dUyz^ -, — - — -
-^ '' dx^djfdz
indiqueront qu'on a différentie ou pris les dérivées quatre fois ; une fois par rapport à z , une fois par rapport à j', et deux fois par rapport à x, etc.
67. Il est facile de prouver que les différentielles partielles successives conservent la même valeur quand on
intervertît seuleïnent l'ordre suivant lequel les diffërentiations relatives aux diverses variables doivent être eiSeotuëes. On aura par exemple
du du
, , , d^u ,dy d^u ^dx
d^djU-mdrd^u^ ou j— r = ^ir = T-T"= ^3-' •^ ^ dxdy dx dydx dy
i'^ Démonstration. En désignant par la notation A^ raccroissement d'une fonction de j: , j", z , . . . lorsqu'on fait croître x seul de la quantité Ar, on trouve
^^djU •=. dj (w + A,a) — flÇ^a = dyl^^Uy
et par suite, en divisant par Ax, et remarquant que Ax est constant quand on différentie par rapport à j^ ,
AX AX ^ ùiX
et en passant à la limite ,
d,dyU dgU
d^ ^ dx ^
ou enfin
dgdjU = dydgU,
a"* Démonstration, On a, comme nous l'avons vu,
Y{x'^AXyy, z)='^{xyyj z)4-F;(a?, y, z)Aa? + i,Aj:,
€i étant une fonction <f{x^y^ z, Ax) qui s'évanouit avec Ar. Si dans cette équation nous changeons y en ^•4- A^, fil deviendra Si + SjAy^? et conune on a d'ailleurs , en indiquant par F /, {x , y, ^) la dérivée seconde de F {x) prise d'abord par rapport à x , puis par rapport
F(/c, j + 4r, 2) = F(^,7, 2) + F^ (^, r,^)Ar + e3Ar,
F;(j:, y + AT, z) =F; {x,y, z) +F;^(a?, jr, a)^/ + 14 AT»
on trouvera
e' étant une quantité qui s'évanouit avec Ax ou avec Ay. Si nous étions partis de Téquation
F(^, X + AT, «) = F(x, j, z) + F^ (:f, j, «) Ar + «3 AT,
fis étant le même que précédemment , nous aurions trouvé , en désignant par F,^ la dérivée seconde de F (Xj y^ z) , prise d'abord par rapport à y^ puis par rapport à a:,
F(x+Ax, x+ Aj, z)=F(x, 7, a)+F; {x, y, z) Ax+Fj {x,y, z) Aj
En égalant ces deux valeurs , supprimant les termes qui se détruisent, et divisant par AxAy, on trouve
e" étant encore une quantité qui s'évanouit avec Ax ou avec ùky\ or cette équation ne peut subsister qu^autant que l'on aura
Ce théorème étant démontré pour les dérivées du second ordre, il en résulte que dans une expression de la forme d^d^d...,. m, il est toujours permis d'échanger entre elles les variables auxquelles se rapportent deux différentialîons consécutives. Or, il est clair qu'à l'aide d'un ou de plusieurs échanges de celte espèce, on pourra intervertir de toutes les manières possibles l'ordre des différentiations. Ainsi, par exemple, pour démontrer que d^djrdjcU = djcdyd^Uy il suffira d'amener d'abord par deux échanges consécutifs la lettre a: à la place de Zj
puis d'échanger les lettres ^ et .3 :oii peut donc affirmer qu^une difTérentielle de l'ordre quelconque n a une valeur indépendante de Tordre suivant lequel les diflFérentiations sont effectuées.
68. Gomme en différentiant une fonction des variables indépendantes x , y, z , par rapport à l'une d'elles , on obtient pour résultat une nouveUe fonction de x, y , z^ multipliée par la constante dx om dy^ovidz...^Ql que dans la différentiation d'un produit les facteurs constants passent toujours en dehors de la caractéristique J, il est clair que si l'on effectue l'une après l'autre sur la fonction li = F(j?, j', z)^ l différentiations relatives k Xy m différend ations relatives ky^n différentiations relatives à z , la différentielle qui résultera de ces diverses opérations , savoir <i" rf"J J^ 1/ , sera le produit d'une nouvelle
fonction (p (a:, j", z) par les facteurs da^^dy'^, dz'^j la non-velle fonction dont il s'agit ici çst ce qu'on nonime ime dérivée partieUe de u de l'ordre l + m + n, et l'on a
Cela posé , en différentiant plusieurs fois de suite l'équation u = YÇx^y^ z), nous aurons
du du . du
du=—çlx \' dy~\-—dz'=z d^u-^d^u-^- d^u,
d*u:z=.diu -\- dyU -^^dlu + ac^J^a + idl^u -\- arf^j u ,
ou
d^u = dx*A dr^A dz^-\~ 2 dxdr
. dx^ ^ dy^ ^ ^ dz* ^ dxdy '^
-f- 2— — 7- dxdz -(- 2-; — — dydz.
dxdz dydz
Exemples :
u =: xyz , r/*M = 2 {xdydz -|- ydzdx -|- zdxdy) , d^u:=. ôdx/dydz ,
122 CALCUL DIFFÉRBNTIBL.
rf»(a:»-H^»+z») = 2(<i*»+ rf^' + A»),
69. Si au lieu de Tëquadon m = F (a: , j^, z), on considérait la suivante s = F(u, i^, w), les quantités u, i^, w, étant elles-mêmes des fonctions quelconques des variables XtjTj Zj comme en résumé 5 serait encore fonction de x, y^ z^ on aurait toujours
ds , eis , ds ,
as =— - ax -\- -r- dy -4 — ç- dz.
dx ^ dy '' dz
Mais comme u, ^, w seraient des fonctions de x, on aurait
d$ , ds du . ds dv . ds dw
— dx zzi dx -4- — — eue -f- «x,
dx du dx dp dx dw dx
ds d[f
dy -^ * dz
et par suite , en remarquant que
du du du
du =z -r- dx •+- -— dy -i^ -^ dz . rfp =■..., rfff=..., dx dy dz
on trouverait
ds ds ds
au dv dw
une seconde dijBTé^entiation donnerait
du^ ^^ dtf^ dw* dudv
. 2flf»* , , . iàd*s , , ds , . ds , . ^ ,
-h - - ai^m^ + , . m^act' + -r- d*u + -r d*9 + -j- d^Wy dudw dçdw du dç dw
La règle générale est donc encore de différentîer comme si M, f', w étaient des variables indépendantes , puis de tirer la valeur de du^du, dw^ etc. , des équations qui lient les quantités w, i^, w aux variables indépendantes x^jr^z. Exemples :
rf» (u + p) = d'u -f- d^p , d^u — p) = d'u — rf«p,
QUATORZIÈME LEÇOH. 1^3
«/* [mu + &f» + cwf) = flrf"w + ^éff' + cd'*w.
Si les quantités m , i^, tv étaient des fonctions linéaires de* variables indépendantes x ^ j^ z, c'est-à-dire si l'on avait
on aurait
rf*a = o, d^v = o, rf*»' = o,
etlesdiflFérentielles successives de la fonction 5 = F (m, v^ w) conserveraient la même forme que dans le cas où- m, 1^, w seraient variables indépendantes ; on aurait ainsi
d^s , d^s , d^s , . id^s , ,
du* dp* ^^ dw* ^^ ^/arfp
+ -z — — dudw + - - dvdw.
dudw dvdw
Exemples :
Si 5 = F (m, i^), on aura
d^'s = 1 ; du'^'^dv
du"" i duJ^^^dv
-i«— dt^^^dv* -^-... op";
I 2 du^^'^dv^ dv"" ^
SI
(/"^ = F*^ (a)F (p)</a »H — F»'"»» F' (p) du'^^^dv
H — F' (K)F*"-'(pyaflff''»-' + F (a) F"(f')rf('".
70. M. Caucby a donné des diflFérentielles des fonctions une définition immédiate , indépendante de la considération des dérivées, qui semble plus rationnelle et présente de grands avantages, surtout lorsqu'il s'agit d'une fonction de plusieurs variables indépendantes. 11 appelle différentielles et il désigne par les notations dx^ dy^ dz ^,.. dui^ d^ quantitéf^ dont les raf^ports sont équiva-.
lents aux dernières raisons des accroissements que peuvent prendre simultanément ces variables. Cette définition conduit immédiatement à celle que nous prenions pour point de départ, quand , dans le cas où il s^agissait d'une fonction d'une seule variable indépendante, nous appelions différentielle le produit de la dérivée par Taccroissement arbitraire attribué à la variable indépendante. En effet, d'après la nouvelle définition, le rapport des différentielles -^ coïncide avec la dernière raison des accroisseor
ments ù^y^ Ax ; on a donc
De plus, en partant de cette même définition, les accroissements simultanés infiniment petits
aj?, ùjTj az, ... Aie,
d'un nombre quelconque de variables dépendantes ou indépendantes, deviendront sensiblement proportionnels aux différentielles
«te, djr, dz, . . . du; dès lors, si Ton désigne parada valeur infiniment petite de l'un des rapports
Sx i^y Lz àu
si l'on pose , par exemple ^ ^^^ ^y chacun des autres rapports différera très peu de a , on aura , par exemple , — = Jm-I-6, 6 devenant s'évanouir avec a, et l'on trou-
vera, en passant à la limite, du = lim. — . On pourra
de cette manière calculer immédiatement la différentielle. Appliquons ces principes à la détermination de la différentielle d'une fonction, u=F(x^y^ z), de plusieurs va-
QVATOBZIÈME LEÇON. 1^5
riables indépendantes. Pour cela , posons
dXj ifyy dzj étant des quantités arbitraires , de teUe sorte (pie ces équations n'établissent aucune liaison entre les accroissements des variables , et les laissent tout-à-fait indépendantes ] en vertu de la définition même de la différentielle, on aura
» et
j.^ r¥{x+Adx,y+,tdx,z+Adz)^¥ (j?,r,z) T
[ En posant
¥(x + àuix, X + ^^Xy « + «^^) =/(«)> ou
F{x,Xyz)=f(o% on trouvera
et «
on a d'ailleurs
d'où
c/tf ^/ii c/ii
/'(o) :=z---dx +-r ^y-^ — t dz.
Or, si dans Téquàtion
/(x + A) —/(a;) = hfx + R.A,
on fait j: = o, A = a, on trouve
/W-/(o) = -/'(o)+Rx«, Al s'évanouissant avec a, et par suite
Nota, On aurait pu écrire immédiatement
126 CALCUL DIFFÉRBHTIKL.
La définition de M. Cauchy conduit donc aussi k ce théorème , que la difierentielle totale d'une fonction de plusieurs variables est la sonune de ses différentielles partielles.
On aurait pu calculer directement la limite du rap-
port — , en remarquant que
