Adx^x H- «<(r, « 4- xds
-F(ar-hadx,r-H*4r,
a :, r, «) Adx -h R, «<ir 4-F^(.
r -H KdXfjr, s) »4r -H R«
et
5) adk -h Rî «<fc j
d'où
AU
du = lim. --=F;(x,r, ^) ^-|-F;{x,7, z)rfr+F;(jr,^,»)£fe
du . ^ du . du
71. Les dérivées successives y (a), f(a)j f (a)y etc., de la fonction
seront toutes des fonctions des seules quantités variables x + ad[r , y + arf^, z-^-adz^ et par suite les difl%* rences f(cc)-fio), /'(«)-/'(<>), /'(ct)-/'(o), seront précisément égales aux accroissements que reçoivent les fonctions de x, j', Zj représentées par f (o), y*'(o), f(p) , . . . lorsqu'on attribue aux variables indépendantes les accroissements Ax= adx, Ay = adjr^ Az = adz ; on aura donc successivement
rf- = lm.. ^ = ii^./(')-/W=/^(o), ., ,. s dm ,. /'(*)— /'(o) ^. .
d^uz=z lim. = lim. ^-^ ^-^ z=zf''{p) ,
et nous en conclurons que pour former les différetiti elles totales du^ d^u. . ., df^u, il sufiit de calculer les valeurs particulières que reçoivent les dérivées^ '(a), f(a), y**' (a)... y'*(a), dans le cas où la variable a s'évanouit.
72. Parmi les méthodes propres à simplifier la recherclie des diflTérentielles totales, on doit distinguer surtout celles qui s'appuient sur la considération des valeurs symboliques de ces différentielles.
Si Ton désigne par a, i, c. . . , des quantités constantes, la différentielle totale de l'expression
ad^d'^d^. u + bdPd'id'-.u + etc. . .
sera
ad^^d^d^.»4^d^d"*+'d''.u+ad^d'"d^+^,u+bdP+'did^,u+etc.
C'est-à-dire qu'elle sera précisément ce qu'on aurait obtenu si l'on avait multiplié le produit des deux facteurs w et ad\ d"'d[ + hd^^d*^ d"^^. . . par d^ 4- d^^+d,^ en opérant comme si les notations df^,, d^,^ d, représentaient de véritables quantités différentes les unes des autres.
Lorsqu'on ne fait qu'indiquer la multiplication, on trouve l'équation symbolique
dUtd^^d^'d^ . a+ bdld^fd^ . u + etc )
= (adld"'d^ -<- bdldfdl+ .. A(d:, + d^ + d,)u.
Comme en réalité , ^^ , d^^ d^^ ne sont pas des quantités, mais des symboles qui indiquent une opération à faire , la formule qui précède, prise à la lettre , n'a aucun sens, mais elle redevient exacte dès qu'on a développé son second membre à l'aide des règles ordinaires de la multiplication algébrique.
Si Ton pose
adxdjd'^u+ bd^d^dlu=zdgU'^djU'^^d^uz=:(dg+d^'^d,)uy
et si l'on différentie plusieurs fois de suite, on arrivera à Téquation symbolique
qui prouve que dans l'expression de la différentielle n**"^ les coefficients lont les coefficients du binôme.
Si 5=F(u, t^, w), on aura encore rf"5=(rf^+rf^-|-^,)'»5, et il sera très facile de développer le second membre de cette dernière équation dans le cas particulier où Ton suppose u fonction de x seul, p» fonction de j" seul, w fonction de z seul. D'ailleurs pour passer de ce cas particulier au cas général, il suffira évidemment de remplacer djcU^ dlu^ dlu par du^ d^u^ d^u^,., djV^^ d^v,.. par Jp», é^p», etc. . . , c'est-à-dire d'effacer les lettres x,^, z, placées en bas de la caractéristique d.
Exemple : s = mf'^ en opérant comme on vient de le dire, on trouvera
rf^Mzz: (^f/» a 4- ^ dyçd'^^u -|- ^(^ ~ ') d^pd"-*u . . .
+ ndgUd"~^(f+ud''Py
+ ndud^"^ V + ud^ p.
Cette dernière formule subsistera , quelles que soient les valeurs de m, ^^ , et de a:, j^, et dans le cas même où w, i', se réduisent à deux fonctions de x. Exemple :
Application à des questions d^analyse qui dépendent de plusieurs
variables indépendantes.
Première application, — Maxima et minima des fonctions de plusieurs variables ^ liées par une seule équation.
73. Lorsqu'une fonction de plusieurs variables indépendantes X, j^, ^ , . . . etc. , atteint une valeur particulière , mais réelle , qui surpasse toutes les valeurs voisines, c'est-à-dire toutes celles que Ton obtiendrait en faisant varier x^y^ z en plus ou en moins de quantités très petites , cette valeur particulière de la fonction est ce qu'on appelle un maximum, Lorsqu'une valeur particulière d'une fonction de x^y* z est réelle et inférieure à toutes les valeurs réelles voisines , elle prend le nom de minimum,,
La recherche des maxima et des minima des fonctions de plusieurs variables , se ramène facilement à la recherche des maxima et des minima des fonctions d'une seule variable. En eflfet, pour que la valeur F (a:, y^ z) soit un maximum ou un minimum, il faut que la diâerence
= Yix-^-adx^y-^-Pidy^ Z'iradz)—Y{x,y, z) =f{^)—f{p)
soit toujours négative ou toujours positive : négative pour un maximum, positive pour un minimum; ce qui exige,
I®. Que f (o) soit une valeur maximum ou minimum
de/(«);
l3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
2^Q^e/'(o) = o, ou /'(o)=±ooî
3**. En supposant la fonction /* (a) continue ainsi que ses dérivées , que la première de ces dérivées qui ne s'évanouisse pas pour a = o soit une dérivée d'ordre pair, et qu'eUe soit négative s'il s'agit d'un maximum, positive s'il s'agit d'un minimum, et par conséquent, en observant ,
1°. Que les valeurs qui rendent la fonction F(a:, j^, z) discontinue peuvent lui donner une valeur minimum ou maximum ;
2°. Que f(o) = du, f"{6) = d^u..., f^^\6)=d''u, on arrivera à la règle suivante.
Pour trouver les maxima et les minima d'une fonction de plusieurs variables indépendantes ,
I**. On choisira les valeurs de a:, y^ z qui rendent la
fonction discontinue ;
2°. On fera
du\ du , du , .
3°. On fera Ja = o , équation qui entraîne les trois suivantes,
dx ^ dy ^ dz '
puisque dx^ dy^ dz sont des accroissements entièrement arbitraires et indépendants \
4°. De ces dernières équations on tirera les valeurs de
5°. Pour décider si le système de ces valeurs produit un maxim.um ou minimum , on calculera les valeurs des différentielles successives df'«, d^u^ d^u. . . qui corres^ pondent à ce système. Soit
d^u rz: - — É^ -h^ — «r"« ■ • H-- -; ;-flKr"~'e(r+Ctc.,
daf dy'' -^ ^^ i dx^'-^dy "^^ *
QUINZIÈME LEÇON. i3î
la première de ces diffërentielles qui ne s'évanouit pas. Si pour toutes les valeurs des différentielles ctr, dj^ dz , n est un nombre pair, et d'^u une quantité négative, la valeur proposée de u sera un maximum -, elle sera un minimum si n étant toujours pair, d'^u reste toujours positif. Enfin si n est quelquefois impair, ou si la différentielle d'*u est tantôt positive et tantôt négative , la valeur de u ne sera ni maximum, ni minimum.
74. Concevons que pour appliquer le théorème on forme d'abord la valeur de
pour y substituer à a:,^, -2 leurs valeurs tirées des équations
da du
-r- = o, — - = o, etc.
dx dy
Alors, 1° si les dérivées partielles
dx^ ' ^r*'"' dxdf^'
s'évanouissent, il faudra recourir aux différentielles suivantes J^u, rf'tt, ... etc. ; 2**. si ces différentielles partielles ne s'évanouissent pas , et que l'on fasse varier les quantités arbitraires dx^ dy^ dz^ il arrivera de trois choses Tune : ou la différentielle d^u conservera constamment le même signe , sans jamais s'évanouir, ou elle s'évanouira pour certaines valeurs de dx^ djr^ dz , mais en reprenant le même signe toutes les fois qu'elle cessera d'être nulle ; ou elle sera tantôt positive et tantôt négative : la valeur proposée de u sera toujours un maximum ou un minimum* dans le premier cas, quelquefois dans le second, jamais dans le troisième. On obtiendra dans le second cas on maximum ou un minimum, si pour chacun des systèmes
l33 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
de dx^ dy^ dz.,. propres à vérifier Téquadon J*i/=o, la première des diflférentielles rf'w, d^u^... etc., qui ne s'évanouit pas , est toujours d'ordre pair et affectée du même signe que celles des valeurs de d*u qui différent de o.
En général, si la i''*' des différentielles d'ordre pair qui ne s'évanouit pas est
''•"«= 5ïnr '^ + ^^ '(r "+.. •
il pourra arriver trois choses : ou la différentielle dont il s'agit conserve toujours le même signe, quand on fait varier dx^ dy^ dz,.,'^ ou bien elle s'évanouit pour certaines valeurs de r/x , djr^ dz,.,, mais reprend toujours le même signe dès qu'elle cesse de s'évanouir 5 ou elle est tantôt positive et tantôt négative. La valeur correspondante de H sera toujours un maximum ou un minimum dans le premier cas, jamais dans le troisième, quelquefois dans le second ; c'est-à-dire si, parmi les différentielles d'un ordre supérieur à im , celle qui la première cesse de s'évanouir est d'ordre pair, et si elle est toujours affectée du même signe que les valeurs de J'"*a qui différent de o. Il est essentiel d'observer que c?'"*m étant une fonction entière et continue de dx^ dy^ dz^,,, ne saurait passer du positif au négatif, tandis que ces quantités varient , sans devenir nul dans l'intervalle, c'est-à-dire sans que l'équation d*"^u = o admette une ou plusieurs racines réelles. De sorte que pour que d^"^u ne change pas de signe il faut et il suffit que l'équation d'^'^u = o n'admette que des racines imaginaires. Dans ce cas il y aura toujours maximum ou minimum; maximum si d^'^u est une quantité toujours négative , minimum si d^"'u est une quantité toujours positive.
QUINZIEME LEÇON. l33,
