B» — 4AC' "^"B» — 4AC

de plu3, 1° Téquation

(dx* B dlr C\

n'admettra que des racines imaginaires, si B' — 4A.C<o, et d^u sera alors toujours positif ou toujours négatif, suivant que A sera plus grand ou plus petit que o ; ainsi la fonction

Ax^ ■+- Bxy -4- Cr» H- Dj: + E^ + F ,

admettra un maximum si

B* — 4AC < o, A < o,

un minimum si *

B» — 4AC < o, A > o.

2®. Si B' — 4-A^C>>o, l'équation d*u=o admettra des racines réelles , et d^u changera de signe pour certaine^

dx valeurs de dx et c?y , ou du rapport — •, il n'y aura donc

alors ni maximum ni minimum.

3**. Si B' — 4AC = o , et si l'on n'a pas en même temps

2AE — BD=o et 2CD — BE=o,

l34 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

l'une des valeurs de x ou de j" sera infinie, la fonction donnée n'aura ni maximum ni minimum. Supposons que ces conditions soient satisfaites ; alors les deux écpiations

du du

se réduisent à une seule, par exemple à

du

— = 2Aar+Br + D=o,

et les valeurs de a; et de j^ sont indéterminées. On a dans ce cas

d'u = 2 {ji.dx^+1 V/ÂC . dxdy'\-Uy^)=i'},k.dx^{ i + —^ ^ j ;

cette valeur de d^u se réduit, il est vrai, à o, toutes les fois que

dy y/K

dx "" ^/c '

mais poui' toute autre valeur de -^ , cette diflerentielle seconde est de même signe que A \ et d'ailleurs

d^U=zOf d^u-=:Oj etc.

La différence Au , lorsqu'elle ne sera pas nulle, sera donc toujours positive ou toujours négative en même temps que A, et par conséquent la fonction u admettra une valeur minimum si A >o, et une valeur maximum si A < o. Si B s'évanouissait, on aurait nécessairement, en vertu des équations

B» — 4AC = o, 2AE — BD = o, 2CD — BE = o, ou

A=o, B = o, C = o, M=Da: + E/ + F; ou

A = o, B = o, D = o, M = Cr' + E^H-F,

QUmZlkME LEÇON. i35

ou enfin

B=:o, C = o, £ = 0, u=: Ax^ + Uix + Y-,

dans le premier cas la fonction u n^aurait ni maximum ni minimtun, dans les deux derniers cas elle aurait une infinité de maxima ou de minima égaux a