Scolie i". En général, on a
ou
dr^ ""d^r djr -d^
da^^^ d^u dx d^u
"dp 1y^
et par conséquent, i° d*u aura constamment le signe
de -7-^, SI 1 équation
fl?*a d*u
djr^ dxdy dy dx*
dx^ d^u djp d*u
dp dp'
n'a que des racines imaginaires, c'est-à-dire si Ton a
/ d*u Y d*u d^u \dxdy) ^r»" Ij^ ^ ® '
ce qui exige que — -^ et ^-^ soient des quantités de
même signe 5 la fonction u admettra donc un maximum si Ton a à la fois
d^u / d^uy dHid^u
dp "^ ^ ' \dxdyj dp 1j^ <- ^ '
l38 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
les équations
du du
se réduiront à
p{p — x){ip — iy — j;) = o ;
on ne peut poser ni p — y = o, ni^ — j: = o, puisque sans cela on aurait
ou
ce qui est absurde \ il faudra donc que Ton ait
2/? — 2 jr — ^ = G , 2/? — 2^ — j: = o , d'où
x=x=\p, z=ip'^x^y=\p.
De plus, pour ces valeurs de a: et de j", on aura
iterf^^ 2 *
— est négatif, et de plus
dy
\dxdy) dy^ dx^ i^ 4
les valeurs de a: et de y donnent donc un maximum de la. fonction zx, et le plus grand des triangles isopérimètres est le triangle équilatéral.
2™^ Exemple, De tous les parallélépipèdes inscrits dans une sphère, quel est le plus grand?
QUINZIEME LEÇON. j^g
Solution. Tous les parallélépipèdes inscrits sont des parallélépipèdes rectangles , leur centre coïncide avec le centre de la sphère, leur diagonale est le diamètre D de la sphère , et en désignant par x^ y deux des côtés ,
le troisième z = kD* — x^ — y^. Cela posé, le volui^e du parallélépipède sera
tf = xyz = xy I/D* — x^ — 7» , du . yr- : x'y
du X ,^
donc
rv 1 1 1 -1 1 d^u d*u d^u
Ueplus, les valeurs correspondantes de -; — , -r-r 9 -r—
^ ^ dx^ dxdy ' dy^
s'obtiendront facilement en ayant égard aux équations
D' — 2j:' — jr»=o, D* — 2j* — a**=o, et Ton trouvera
d^u 2D fl?*w 4D d^u 4^
dx£fy y/3' dx* y/3' //^» y/3'
donc
— <Oi
dy'
^ le parallélépipède maximum sera donc le cube qui a pour
côté — — .
l4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
3"** Application. Soit F (-s) une fonction entière et réelle de z^ si l'on pose z = x+y \/ — i, on aura
f(x + jï/^) = R (cosT + ï/IITsinT) , Y{x—y 1/^) = r(cosT — V/^^sînT), R» = f(:c + yy/^) F(:c— yV^^
Cela posé , il sera facile de prouver que si le module R admet pour z =.x + j^l/— I une valeur minimum, cette valeur minimum sera nécessairement nulle. En effet, soit
F^'*^(j: '±:.y\/ — i ) la première des dérivées qui ne s'évanouisse pas pour z=^x -^yV^—^t de sorte que Ton ait
Téquation connue
donnera , en y faisant
£/».R»= ^«[F(j?+jrV/:iT)F(^— /\/^)]
d'où l'on tire, en posant
X + yX/"^! = r(cos f-|- V/^ sinr), d::p-f-^(/CI7 = p(cosr-|-V^ — « sinr), F (») (x ± j V<^)=: R„(cosT„ -h V<^ sin T„), rf«.R» = 2RR„f« cos(T„ — T H- m-);
or, si la valeur minimum de R ou de R" n'était pas nulle, rf".R' changerait évidemment de signe dans le cas où l'on
QUINZIÈME LEÇON. l4l
donnerait à r, et par suite à dx et dy^ certaines valeurs,
par exemple si 1 on changeait t en t H tt , et par
conséquent la valeur de R dont il est question ne pourrait pas être une valeur minimum.
On démontre facilement , à l'aide de ce qui précède , que toute équation entière
à coefficients réels ou imaginaires, admet une ou plusieurs racines réelles ou imaginaires. En eflfet, le module R qui, en désignant par jO,, j&s, . . . pm l^s modules des coefficients Aj , As, As,. • • A^, est toujours plus grand que
et plus petit que
finit par croître indéfiniment avec rou avec a:, j^. Cela posé, parmi toutes les valeurs que prend le module R pour des valeurs finies de a: et de j^, il en est nécessairement une plus petite que toutes les autres : or cette valeur minimum est nécessairement o , comme on vient de le protiver; il existe donc une ou plusieurs valeurs de z de la
forme z = a -|- 6 \^ — i , propres à vérifier Téquation R = o et par conséquent F (a:) = o.
On trouvera plus de détails sur les conditions nécessaires pour qu^une fonction m, d'un nombre quelconque de variables indépendantes, admette un maximum ou un minimum, dans le Calcul différentiel de M, Cauchy, 21"® leçon.
Suite des applications analytiques.
DEUXIÈME APPLICATION. Moxima €t mùuma des fonctions de plusieurs variables, liées entre elles par plusieurs équations.
78. Si les n variables x^ y^ z^. , . au lieu d'être indépendantes , comme on l'a supposé jusqu'ici , étaient liées entre elles par m équations p'==o, tv=o... , pour déduire de la méthode indiquée les maxima et les minima. de la fonction « = F (a: , j^, z , . . . ) , il faudrai t commencer par élîminer de cette fonction m variables différentes à l'aide des m équations données ^ après cette élimination les variables qui resteraient , au nombre de n — m , devraient être considérées comme indépendantes , et l'on égalerait, comme ci-dessus , du ko^ ou à l'infini , etc. Mais la recherche des maxima et des minima peut , dans ce cas ^ être beaucoup simplifiée.
En effet , différentions la fonction m en y conservant toutes les variables données x^jr^ ^,... Téquation du=o deviendra
du du du
et renfermera les n différentielles dx , dy, dz. . . dont n — m seulement sont réellement indépendantes , les
SEIZIÈME LEÇON. l43
m autres pouvant être exprimées à l'aide des m équations 4
du dv , ^ dv ,
^ ^ ^ dw , d(v , dw .
y- dx -jr -y- dy -^ -—■ dz. . . =0,... etc. dx ajr dz
Cela posé, l'équation du = o devant être vérifiée dans le cas du maximum ou du minimum , quelles que soient les diflFérentielles des variables indépendantes , il est clair que si Ton élimine de cette équation un nombre m de différentielles à l'aide des formules (2), les coeflScients des m — n différentielles restantes devront être séparément égalés à o. Or, pour effectuer l'élimination , il suffit d'ajouter à l'équation du-=o chacune des équations di^ = o, dw= o,... multipliée par un facteur indéterminé — X, — /i , ... et de choisir ces facteurs de manière à faire disparaître dans l'équation résultante les coefficients de m différentielles successives 5 comme d'ailleurs l'équation résultante sera de la forme
du dv d(v \
dx dx dx ' /
du du dw \
et comme, après avoir fait disparaître les coefficients de m différentielles, il faudra égaler encore à o ceux des différentielles restantes, il est permis de conclure que les valeurs de X, fx, V . . . tirées de quelques-unes des formules
du dv dw
dx dx dx
du dif dw
dx dy djr
devront satisfaire à toutes les autres \ par conséquent les
l44 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
valeurs de o: , y^ z,..« propres à vérifier les écjnations du=^o^ ^1^ = o , . . . ou propres à donner des maxima et des minima, devront satisfaire aux équations de condition que fournit rélimination des indéterminées X, jx, v. . .
entre les formules — X -7- . . . = o , etc. Le nombre de
dx dx
ces équations de condition sera n — ni\ en les réunissant aux m équations 1^ = o, w = o , . • • on obtiendra en tout n équations dont on déduira, pour les variables x,^,^; , plusieurs systèmes de valeurs, parmi lesquelles se trouveront ceux qui pourront rendre maxima ou minima la fonction donnée u = F (a: , j^, z. . .).
Nota, Les équations de condition produites par Télimination de X , jul , v . . . resteront les mêmes quand on échangera entre elles, d'unemanière quelconque, les fonctions K, 1^, If'..., ou quand on remplacera ces fonctions par les suivantes u — a, v — i, w — £?..., de sorte que la méthode précédente donnera toutes les valeurs propres à rendre maximum ou minimum non-seulement la fonction M, mais les fonctions i^^ w, ...; u — a, i^ — i, w — c. . . Si les variables sont liées entre eUes par une seule équation ^^ = 0, les équations à Faide desquelles on pourra éliminer X deviendront
du dtf du du du dv
dx dx ^ dy dy ^ dz dz
On en conclut , par Télimination de X ,
du du du
dx dy dz
dp dv dv
Cette dernière formule équivaut k n — i équations distinctes qui, réunies à Téquation ^^1=0, détermineront les valeurs cherchées de x^y^ z.
^. i**^ Exemple, a, i , c , . . . /*, étant des constantes , on demande le maximum de la fonction u={ix+hy+cz +. . . €H supposant les variables assujéties à yërifier Féquation
On aura
du du , du du dv dv
dlr dy ^ dz ^ dx ^ dy '' ^ dz '
et par suite
a h c aj>+^j^-+-cz+... u . l/a*+^*+c'+...
donc
On montrerait que de ces valeurs de m, Tune est un maximum et l'autre un minimum , en remarquant que Ton a
ce qui exige que des deux valeurs
l'une soit maximum et l'autre minimum.
2"* Exemple, On demande le minimum de la fonction
en supposant que les variables a:, y^ z, soient liées entre eUes par l'équation
ax -^ 0/ + cz -4- . . . — A = o.
i46 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
On aura encore
abc k V/'a^J^h^+c'... k^
et l'on montrerait que cette valeur est un minimum.
Si les variables x^y^ z. , . se réduisent à trois, et désignent des coordonnées rectangulaires, la valeur de \/u représentera la plus courte distance de l'origine à un plan fixe.
3™* Exemple, On cherche le maximum de la fonction
les variables x ^j^ z , étant assujéties à vérifier l'équation
u zn ax -^ by -^ cz -^ , . . — it = o.
On aura
du „ , P du a du r
— -=1 pxP 'j«z'-=^a, — z=i«, — = -«..., dx X dy y dz z
dv dv , dv
et par suite
—^ - — ~ ■ • • • 9 Ut -I ■ . ^^— — -
ax by cz k a p+q-^-r.,.
ff p +q -jrr. .. c p -j-q -{^ r, , ,
On a encore
du pdx qdy rdz — = -^ -^
^-(")"=-Hl)"-'(f)'-'(T)"- ->
et puisque les valeurs précédentes de a: , j^, z , . . . rendent du constamment nul, et d^u coustanunent négatif, elles fourniront un maximum de la fonction i/.
SEIZIEME LEÇON. l^'J
4^^ Exemple. On demande les demi-axes d'une ellipse
ou d'une hyperbole rapportée à son centre et représentée
par l'équation
«^ = Aar» + Rr^ •+. Or* — R=o.
Chacun de ces demi-axes sera un maximum ou un minimum de la fonction r= u = k^*-}-^, ou du rayon vecteur mené de l'origine à la courbe. Cela posé , comme on a
du X du Y dv . . •* dv ^
et par suite
2Ax4-B7"~2Cr + Bx~ar(2A^+Br)-|-j(2Cr-hBa?)~2R '
les deux racines de cette équation seront les carrés des deux demi-axes qui seront tous deux réels si AK > o , B' — 4-^C < o , mais dont l'un sera imaginaire , si B* — 4AC1 > o.
Troisième application. Déi^eloppement des fonctions de plusieurs variables. ' Extension du théorème de Taylor à ces mêmes fonctions .
