ArûTr

Si le terme ou le reste r /"(^oc) décroît indéfini-

ment à mesure que n augmente, ce qui arrivera, par exemple, si /*'*(0a), qui est ce que devient </"« quand on

SEIZIÈME LEÇON. l^Q

y change or, j^, z..,enx+9adx,j^6ûtdj, z + docdz,,., conserve toujours une valeur finie , la série qui forme le second membre de l'équation précédente sera convergente , et l'on aura

ct^ „ . du du du .1 d*u d^U'+'etc,=zu-\--=-àx-\—j-sx I AZ...H — Aa?*

i.a.3 dx djr dz i.ndx^

I d^u i d^u . . 2 d^u -f ;— - Ar* H rr A^* +«*-H 7—7- A^Ar + etc.

Si dans cette dernière équation on fait a = i , on aura

du d*u d^u ¥(a:+dxy x + dxy z + ûfe,...) = MH 1 1 --f-...

Cette équation et celle qu'on en déduit en remplaçant x , j^, -S , . . . par zéro , dXy dy^ dz^,., par x ^ y j z,... fournissent lé moyen d'étendre les théorèmes de Taylor et de Maclaurin aux fonctions de plusieurs variables.

S'il arrive que pour certaines valeurs de :r , j^, ^ , les diflFérentielles du^ d^u^, . . d'^'^u s'évanouissent toutes, on aura

F{x+Ax,x + AXy z+Az)— F(a:, j, z) = Aa= (d^u+l).

M * Ji » m mit

Cette dernière formule comprend la théorie des maxima et des minima des fonctions de plusieurs variables.

iSo CALCUL DIFPÉRBlfTIEL.

DIX-SEPTIEHE LEÇON.

Caractère général de la convergeDce des séries. — Limite des restes ou des erreurs que Ton commet en s^arrètant à un terme quelconque de ces séries.

81 . M. Cauchy a été assez heureux, dans ces dernières années , pour démontrer un théorème vraiment remarquable qui donne immédiatement les règles de la convergence des séries fournies par le développement des fonctions explicites , et réduit simplement la loi de convergence à la loi de continuité des fonctions. Je vais donner une idée de ces importantes recherches , après avoir rappelé une propriété remarquable des racines de l'unité , ou des racines de l'équation x" = i , et établi quelques lemmes fondamentaux faciles à déduire des premiers principes du calcul différentiel.

Comme on l'a vu, toutes les racines de l'unité sont renfermées dans la formule

I aArir y

ffi))"=cos dtK — I sm =ze '^

in y

Posons , pour abréger , 6 = e " , et nommons m , tri

deux quantités entières positives ou négatives , mais tellement choisies, que la différence ni — m ne soit pas divisible par n \ les expressions

'imn . j 2m'*r , y

b'^zzne ^ , 6""' =: e "

DIX-^SEPTIEME LEÇON. l5l

seront deux racines n*^'^' de Tunité , distinctes Tune de l'autre, puisque la diflFérence

ne peut s'évanouir qu'autant que — est un nombre

entier. Il en résulte, i® que ces deux expressions seront certainement deux racines 7i"«*' de l'unité, distinctes l'une de l'autre , si la diflFérence tri — m est inférieure à n ; 2® que pour obtenir toutes les racines de l'unité du degré n, il su£Bt de prendre n termes consécutifs de la progression géométrique ,

0"^ Ô-% 6-', 1,6', 6% 03^ etc.,

indéfiniment prolongée dans les deux sens, par exemple, les termes i, 0, ff*, 6^ ... 0"""'.

Corollaire i*"^. La somme S des m*^"*** puissances des n racines de l'unité est égale à o , excepté lorsque le nombre m est un multiple de /^ , et dans ce cas , la somme S est égale à /i.

En eflfet, la sonmie de ces m^^"^' puissances sera toujours égale à

Or le numérateur étant nécessairement égal à o, la somme S s'évanouira toujours, à moins que le dénominateur ne soit nul lui-même, ce qui n'arrivera qu'autant que tu sera de la forme nin ^ et comme dans ce cas la véritable

valeur de la fraction est — =: n. on aura S = /*.

Il importe peu d'ailleurs que m soit positif ou négatif; et en effet, une puissance négative de 6 peut toujours être

l5s CALCUL DIFFÉEEITTIEL.

remplacée par une puissance positive , car on a ô*"* = ^9 et en désignant par m'n le multiple de n le plus voisin de m,

82. Lemme. Soit x^zre^'^^ une variable imaginaire dont r soit le module, et t Targument j soit encore f(x) \me fonction de la variable x qui reste finie et continue, ainsi que sa dérivée f'{x)^ pour des valeurs du module r comprises entre certaines limites r -zrzr^y r =;: R; enfin nommons n un nombre entier susceptible de croître in-

définiment, et prenons 9 = e" ,9 représentera une

racine primitive de l'équation x" := i ^ dès -lors , si en attribuant à r Tune quelconque des valeiu's comprises entre les limites r^, R, on pose

M s'évanouira pour de très grandes valeurs de n, et par conséquent la moyenne arithmétique entre les diverses valeurs du produit Qrf'(&^r) correspondantes aux valeurs o, I-, 2, . . . {n — 1)9 du nombre m, se réduira sensiblement à o.

Démonstration, Si l'on appelle h un accroissement attribué à une valeur réelle ou imaginaire de x^ dans le voisinage de laquelle la fonction f{x) et sa dérivée f\x) restent miies et continues, on aura

I devant s'évanouir avec h. En faisant tour à tour, dans cette équation ,

DIX-SEPTIÈME LEÇON. l53

\af+A=:0»r, a: = Or, A=re(ô — i)... etc.,

on trouvera

/(flr) -/(r) =(9 - 1) r[/'(r) + 1.] , /(fl.r)-/(Ôr)=(fl— l)r[e/'{er) + IJ,

/(9-r)/(e— 'r)=(9— i)r[e»-/'(fi»-T)4-I,].

Les quantités I, , It , . . . I„ devant s'évanouir avec 0 — i , ou, ce qui revient au même, avec-, puisque, en vertu de

Téquation 0 = e " , 9 ne sera égal à l'unité que quand

n sera égal à Finfinî , ou - à o,

En ajoutant toutes ces équations et désignant par Iq la moyenne arithmétique ' * ^* " -^ moyenne qui

devra évidemment s'évanouir elle-même avec - , on trou-

vera

•^^^=j^^=/'(r)+e/'(9r)+ev'(e*'-)

mais

«•=1, /(e'r)=/ir), /(e»r) — /(r) = o, donc

T — ' " — — "T" -lo»

n Or Ïq s'évanouit quand n est infini, donc, etc.