Corollaire i®**. La moyenne
l54. CALCUL DIFFÉREHiTIEL.
est la dérivée de cette autre quantité
donc, si pour de très grandes valeurs de n la première moyenne ou la dérivée est sensiblement nulle, la seconde, ou la quantité elle-même, sera sensiblement constante, car il n'y a qu'une quantité constante qui puisse avoir une dérivée nulle. Si donc on pose
j.M^/WH-/(gr)+/(e'r)... +/(e"''r)^
on aura sensiblement, pour de très grandes valeurs de tz,
FiJa) = F{ro).
/^ (r) n'est autre chose que la moyenne arithmétique entre les diverses valeurs de la fonction f(pc) qui correspondent à un même module rde la variable x, et à des
valeurs de - représentées par les diverses racines n***^' de
l'unité. La limite vers laquelle converge cette moyenne arithmétique tandis que le nombre n croit indéfiniment, est ce qu'on pourrait appeler la ^valeur moyenne de la fonction f{pc) pour le module donné r de la variable x. En admettant cette définition , on déduit immédiatement de ce qui précède la proposition suivante : Si la fonction f{x) et sa dérivée f'ipc) restent finies et continues pour un module r àe x renfermé entre les limites r^ , R, la valeur moyenne de f(pc) correspondante au module r supposé compris entre les limites r^, R, sera indépendante de ce module.
Corollaire 2™®. Si r^^ =0, c'est-à-dire si la fonction f{x) et sa dérivée y '(j:) restent continues pour toutes les valeurs de x dont le module est renfermé entre les valeurs o et R, ou auia sensiblement pour un semblable
DIX-SEPTIÈME LEÇON. l55
module et pour de très grandes valeurs de n , F(r)=F(p) ; et si -f (o) == o, ce qui aura lieu si la fonction f(x) s'évanouissait avec a:, F(r) = o.
84. Théorème i®**. Si l'on attribue à la variable x un module inférieur au plus petit de ceux pour lesquels une des deux fonctions F(.r), F '(a:), cesse d'être finie e^ontinue, la fonction F (ar) pourra être représentée par la
valeur moyenne du produit F(z), correspondante
à un module r de z qui surpasse le module donné de o:, et sera par conséquent développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable X,
^démonstration. Posons
F (z) désignant une fonction de z qui reste finie et continue avec sa dérivée F'(z), pour un module r de z compris entre les limites o et R. La quantité j^(z) définie par l'équation
s'évanouira ainsi que f(z) pour une valeur nulle de z f et si , en posant pour abréger
on nomme ^{z)j 2:(z), ce que devient F(z) quand on remplace f(z) par (f(z) ou par x(z)^ on aura *
JP(z)=:0(z)— X(z).
De plus , pour de très grandes valeurs de n et pour un
l56 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
module r de z inférieur à R, on aura, en vertu du dernier corollaire, puisque /^ (o)= o,
d'autre part, si Ton suppose le module de z supérieur au
modfue de x, la fraction , sera dévcloppable en
série convergente , et l'on aura
= z(2 — ;c)'"»=:ï-|-2"*J7+Z~*^*+etC.,
et par suite
X{^) = —^ F (x) = F (^) ( I + a""* X + Z-» ar» + etc.) , xM- F^zr^ r " + ''"■'^(^ +e-x + ô-» + ô-3 +etc.) "I
Les coefficients de r""' or, r~' a:", etc., sont la somme des racines de l'unité élevées chacune à la puissance — i , ou à la puissance — 2, — 3, etc., somme que nous avons prouvé être égale à o ; on aura donc
et à cause de l'équation <& (r) == X (r) ,
En vertu de cette dernière équation , qui devient rigoureuse quand n devient infini , la fonction F (x) pourra généralement être représentée par la valeur moyenne du
produit F C-^) correspondante au module r de la
variable z ; pourvu toutefois, comme on Ta déjà supposé, que cette fonction F (z) et sa dérivée F' (z) restent finies et continues pour ce module de ^, ou pour un module
DIX-SEPTIÈME LEÇON. l57
plus petit. D'ailleurs la fraction , et par suite le
produit ^(j^) f seront , pour un module de x infé-
rieur au module rde z, développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de x ; on pourra donc en dire autant du second membre de Féquation qui donne F {x) , et par conséquent de F {x)^ Donc, etc.
De ce théorème on déduit immédiatement la proposition suivante.
85. Théorème 2®. Une fonction quelconque réelle ou imaginaire d'uae variable réelle ouimaginaire a: sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x , tant que le module de x conservera une valeur inférieure à la plus petite de celles pour lesquelles la fonction ou sa dérivée cesse d'être finie et continue.
Ainsi , en particulier , puisque les fonctions
cosâ7y ûxLXy c'y tf^*, cos(i — X*), etc,
et leurs dérivées du premier ordre ne cessent jamais d'être finies et continues , elles seront toujours développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de a: ^ au contraire , comme les fonctions
1(1 -f-â?), arctangjr,
et leurs dérivées du premier ordre cessent d'être fonctions continues de x au moment où le module de cette variable devient égal à l'unité ; elles seront certainement développables en séries convergentes ordonnées suivant les puis-
l58 CALCUL DlFFÉRGlfTIEL.
sances ascendantes de la variable x, si la valeur réelle ou imaginaire de x offre un module inférieur à Tunîté. Ces séries, au contraire, pourront devenir et deviendront en effet divergentes, si le module de x surpasse Tunité. Enfin , comme les fonctions
Lr, e^ ^ e^*y ces-, etc., • * .
deviennent discontinues avec leurs dérivées du premier ordre pour une valeur nulle de x, par conséquent, lors^ que le module de x est le plus petit possible , elles ne seront jamais développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de x.
On sera peut-être étonné de voir placer la fonction arc tang x au nombre des fonctions qui deviennent infinies ou discontinues quand le module de x devient égal à I : il est vrai que si l'on attribue à x une valeur réelle, la fonction arc tang x ne cesse pas d'être finie et continue 5 mais il n'en sera plus de même si, x devenant imaginaire , on suppose , par exemple ,
Alors, en effet, la fonction
( .y — ^ l(i— *) — l(i+«) arc tang x == arc tang \u, v^— i ] = -i ' ^ 1 ^
deviendra évidemment infinie et discontinue ainsi que sa
dérivée ^ , quand on fera
* z= I ou a: = ± \/ — I .
Les fonctions ci-dessus prises pour exemple , et leurs dérivées du premier ordre, deviennent toujours infinies ou discontinues pour les mêmes valeurs du module de la variable indépendante : si l'on était assuré qu'il en fût toujours ainsi , on pourrait, dans le théorème énoncé, se
DIX-SBPTIÈME LEÇON. i5q
dispenser de parler de la fonction dérivée, mais on n'a point à cet égard une certitude suffisante.
86. La méthode que nous venons d'exposer est d'autant plus remarquable , qu'on peut même en déduire et la série de Maclaurin, et le reste de cette série.
Nous avons vu, en effet, que la fonction F(x) pourra être généralement représentée par la valeur moyenne du
produit F(z)5 or on a
-i-F(z) =zzF(z)+-FW-H^FW + etc.
Donc, dans le développement de F (x) le terme constant devra se réduire à la valeur moyenne de F (z) , ou , en vertu du lemme fondamental, à F(o), puisque, par hypothèse , la fonction F (z) est continue entre les limites o et R. De même, le coefficient de x sera égal à la va-
leur moyenne du rapport — ^-^, ou, ce qui revient au
même, du rapport ^ ^"" — , car la valeur moyenne
F(o) r-*( I + Ô-' + 6»-' + a etc.)
de la qtiantité — ^ est nulle , en vertu des propriétés des
racines de Tunité. D'ailleurs la valeur moyenne du rapport —^ Li^ est égale à la valeur F'(o) qu'il prend
quand on y fait z = o. On montrerait de la même ma- , nière que le coefficient dex*^ valeur moyenne du rapport
—7- ou, ce qui revient au même, n^ 81 , corollaire i^^^
du rapport
F(g)— F(o) — gF^(o)
l6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
est égale à — ^ , et Ton trouvera définitivement I .a I
F (z) = F (o) + f F' (o) + fî F«'(o)+etci "
Quant au reste qui devra compléter cette série , réduite à ses n premiers termes, on le déterminera facilement comme il suit : en eflet , puisqu'on aura
et par suite
-^F(z) = FW + fF(.) + f;F(z)...+^=,^^FW.
il est clair que le reste dont il s'agit sera la valeur
moyenne du produit -^^^-^ ;F(-2), considéré comme
fonction de z , pour un module r de z supérieur au module donné de x. Donc si Ton nomme R le plus grand des modules de F {z) correspondants au module r de z , et p le module attribué à la variable x, le reste de la série de Maclaurin aura pour module un nombre inférieur au
produit „, . -r /?, et par conséquent inférieur au
reste de la progression géométrique que l'on obtient en développant suivant les puissances ascendantes de x, le
rR rapport .
En résumant ce qu'on vient de dire , on obtient la proposition suivante :
87. Théorème 4^. La fonction F(a:) sera développable par la formule de Maclaurin en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x si le module de la variable réelle ou imaginaire x conserve une
Di:S:-SEPTIEM£ LEÇON. l6l
valeur inférieure à celle pour laquelle la fonction cesse d'être finie et continue. Soit r cette dernière valeur , ou une valeur plus petite, p le module de x, et jR le module maximum de F (x) , les modules du terme général et du reste de la série de Maclaurin ^ seront respectivement inférieurs aux modules du terme général et du reste de la
rR progression géométrique qui a pour sonmie , et dont
le reste est
Les principes ci-dessus exposés , et les divers théorèmes que nous venons d'établir, peuvent être inunédiatement étendus et appliqués à des fonctions de plusieurs variables^ on arriverait ainsi , par exemple , au théorème suivant.
THÉoniacE 5®. Soient j:,j^, z,... plusieurs variables, réelles ou imaginaires, la fonction Y(x ^y^ z.,.) sera développable par la formule de Maclaurin, étendue au cas de plusieurs variables , en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de a:, j^, z... , si les modules de ces variables conservent des valeurs inférieures à celles pour lesquelles la fonction reste finie et continue^ Soient r^ r\ r"..., ces dernières valeurs ou des valeurs plus petites , R le plus grand des modules de F(j:, j', ^••0 correspondants au module r de x, au module / de y^ au module r^ de z, p, p', p", ... les modules de a:, y, j5..* ; les modules du terme général et du reste de la série en question, seront respectivement inférieurs aux modules du terme général et du reste de la série qui a pour somme le produit
r — pV— p''/'— p"
T. r. II
l62 CALCUL DIFFÉREIfTIBL.
Développement des fonctions implicites. — Série de Lagrange.
88. Lesprincipes établis dans laleçon précédente peuvent être appliqués au développement des fonctions implicites, par exemple de celles qui représentent les racines des équations algébriques ou transcendantes. Alors la loi de convergence se réduit encore à la loi de continuité. Concevons pour fixer les idées , qu'il s'agisse de développer la plus petite racine de l'équation
(i) X=^f[jr)
dans laquelle f{y) est une fonction explicite et donnée de y qui ne renferme point x ^ et qui ne devient ni nulle, ni infinie pour y =o . Parmi les racines de cette équation il en existe évidemment une qui s'évanouit en même temps que x^ et qui, si l'on fait croître x par degrés insensibles, variera elle-même insensiblement, ainsi que sa dérivée relative à jc, en restant toujours fonction continue de x^ jusqu'à ce que cette variable acquière une vgleur pour laquelle deux racines de l'équation y = xf{y) deviennent égales (*), pourvu toutefois que dans l'intervalle, la
{*) On dit qu^une équation F ( r) = o, a m racines égales à by lorsqu^on a F (y) rzz^jr — 6)"» f (r), f (r) étant une fonction de y qui ne devient ni nulle, ni infinie pour^ = * ; comme on a d'ailleurs
Pcquation F(r) = one pourra avoir m racines égales à &, ou F(^) ne
DIX-HUrriEME LEÇON. l63
valeur de f (^ correspondante à la racine dont il s'agît, ne cesse pas d'être continue. Donc, si la fonction f(y) reste continue pour des valeurs quelconques de x, celle des racines de l'équation, y = xf(y)^ qui s'évanouit avec Xy sera développable . en série convergente, suivant les puissances ascendantes de x^ pour tout module <le cette varialle inférieur au plus petit de ceux qui introduisent des racines égales dans l'équation (i), en rendant ces racines communes à cette équation et à sa dérivée prise par rapport àj^, i = oc f'(^y)\ et par conséquent pour tout module de x inférieur au plus petit de
<;eux qui répondent aux équations simultanées x = 77^»
-'^^ = y (j^). Ainsi, par exemple, la plus petite racine
de Téquation j^ = j:cos jasera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x pour tout module de x inférieur au plus petit de ceux
qiû répondent aux équations simultanées x = et
pourra être de la forme (r — *)"• f(^) qu'autant que Ton aura
De sorte que la racine multiple & est nécessairement commune à Péquation F(r) = o , et à ses dérivées jusqu'à celles de l'ordre m — i inclusivement. Si m = 2, c'est-à-dire si la racine h est double , elle devra vérifier
à la fois les deux équations F (^) = o, F^ (r) =0.
De plus, si F (^) est une fonction impltcitede x , si, par exemple , y est lié avec x par l'équation j" = xf{y)y on aura
«t l'on en conclura que si à une certaine valeur de x correspond une racine doublede l'équation F (r)=o, la valeur correspondantede/
+7^i>;[Y'F'(jr)](o)+...
On retrouve encore ici la formule donnée par Lagrange pour le développement de F(j^o)'
90. Quand, en suivant la marche que nous avons indiquée, marche tracée récemment par M. Cauchy, et seule réellement rigoureuse, on a démontré, i° la possibilité et l'existence du développement d'une fonction implicite -, oP les valeurs entre lesquelles les variables doivent se renfermer pour que le développement subsiste , on peut, par des méthodes plus ou moins élégantes, déterminer la valeur des coefficients. Supposons, par exemple, qu'étantclonnée une fonction implicite j^ de x déterminée par l'équation
on demande de développer j^ ou une fonction quelconque F(j^) de j suivant les puissances ascendantes de x et de z, ou de l'une de ces variables, de a: par exemple. Si l'on représente para une valeur particulière de x^ par F(«), DxF(a), DiF(«), etc., ce que deviennent la fonction F (j^), et ses dérivées ^successives prises par rapport à x quand, après la diûiérentiatioa^ on y donne kyla. valeur corres^ pondante àa:=a, on aura nécessairement , en vertu de la formule de Maclaurîn ,
et cette série sera toujours convergente quand la difierence x — a sera une quantité très petite. Si x avait une
DIX-«UITIÈME LBÇON. I71
très petite valeur, on pourrait faire « = o et l'on aurait
T{y) = F<o + xD, F (o) + — - Di F(o) H- etc.
F (0)9 DxF (o)î etc., désignent ce que deviennent la fonction F {y) et ses dérivées, cpiand, après la dififérentiation, on y donne à j^ la valeur correspondante à j: = o : or puisque, par hypothèse, Téquation proposée n'est pas résolue, il serait impossible de calculer directement les coefficîentsF^o), DxF(o)î DiF(o), etc. Pour les déterminer, reprenons l'équation j^= xY -f- ^, et diflférentions-la tour à tour par rapport à x et par rapport à z , on trouvera de cette manière
en éliminant x entre ces deux équations, on trouve
D.j=:YD,7, et par conséquent
D^F(7).D.r=YD^F(7).D,r, ou
D,F(r)=YD.F(r).
Si dans cette dernière équation on pose F(j^) .= Y", n^ étant un nombre entier , il viendra
D,Y«=YD,Y";
on a d'ailleurs
D,[ Y-D.FC:^)] = D,F(r) . D,Y» + Y-D^. ¥{x)
= YD,F(r).D,Y«-f.Y»Di.F(r)
=:D,F(7).D,Y''4-Y«Di,F(r)
on aura donc généralement
d'où , en faisant tour à tour n =. i,« = 2,72=3, on conclura
D,[YD,F(j)] = D,[Y'D.F(j^)], D,[Y»D.F(/)]=: D, [Y'D'r(j)]
iy2 CALCOL DIFFÉRENTIEL.
Il sera facile maintenant de déterminer lesi coefficients. D,F(o) , DîF(o)v.. il suffira pour cela de diff&entier plusieurs fois de suite , par rapport à y, Féquation
D,F(7) = YD,F(j); on trouvera en effet de cette manière
DiF(j^) = D,[YD,F(7)] = D,[Y*D,F(j)],
DiF(j) = D.{D,[Y>D,F(j)]}=D,{D,[Y«D,F(r)]}
= DUY^D,F(j)].
En différentiant de nouveau, et répétant plusieurs fois les mêmes trausform^tions., on trouverait
DiF{x)=Dl [Y4D,F(7)],.... D;F(j) = Dr'[Y-D,F(r)].
En faisant maintensgit dans ces diverses équations ;r = o, et remarquant, i** que pour ar = o on a, y = z-^ 2? qu'au lieu de prendre la dérivée, par rapport à z^ d'une fonction de or et de z , pour y donner ensuite à^ une valeur par-^ ticulière , on peut donner d'abord à Jc cette valeur et différentier ensuite ] on aura
Y(o) =/(r)co) =/W, F(o) = F(z), D,F(o) = /(2)D.F(z) ,
DiF(o) = D,{[/(z)pD,F(2)}, DiF(o)=Di{[/W]^DJ(z) }...n»F(o)=Dr ' {[/W?DJ(z)},
I>/{[/W?D,F(2)}+etc.;
cette série que Lagrange a donnée dans les Mémoires de Berlin de 1770, comprend comme cas particulier, celles du n** 89 que l'on en déduirait en faisant z=o et F(^)==y.
Sar les âérivées d'nùe du de plusieurs variables considérées comme dépendantes, prises successivement par rapport à diverses variables considérées comme indépendantes. — Sur remploi de la différentiation pour Félimination des constantes et des fonctions arbitraires.
91 . On a souvent nesoin de coiiiparer entre elles les dérivées d^ùne ou de plusieurs variables dépendantes, prises successivement par rapport à diverses variables considérées comme indépendantes ^ or cette comparaison devient très facile à Faidë dés théorèmes suivants.
Théorème i*''. Les dérivées successives d'une même variole dépendante u, prises par rapport à une certaine variable s, conserveront les mêmes valeurs si à cette variable on en substitue ime autre f , liée avec elle par Téquatipn t=S'{-a, ou qui n'en difière que par une quantité constante.
Démonstration. De l'équation t = 5 -|- a , on tire
ds dt=ds, j^ = l.
et par suite
du duds du d*u d^u ds' d*u
dt ds dt ds* dt* ds* dt dt*
Corollaire, Si les dérivées successives de deux variables Il et 1^, prises par rapport à luie certaine variable s^
1^4 G4LCUL DIFFÉRENTIEL.
sont égales entre elles, elles le seront encore quand on prendra ces dérivées par rapport à deux variables f et r, qui sont liées avec s par les équations t=s+a , T=s+b, ou qui ne diflferent de j que de quantités constantes aet b. 92. THÉoaiaix a**. ConceTonsque deux variables x et j soient liées tour à tour avec une troisième variable j, considérée comme variable indépendante 9 par les équations
et que les fonctions F, f^ F,, yj, soient telles que, dans le passage des unes aux autres, les variables et leurs dérivées
dx d^x d^x
*^' ds^ 'dF 'dF'
dy d^y d^y
*^' 'di' 'dF 1^'
jusqu'à celles de Tordre n inclusivement , conservent la même valeur pour certaines valeurs de x et dej^, de
sorte que les dérivées de Tordre «-+- 19 , . , . j , ou
au moins Tune d'elles, ckangent de valeurs quand on passe des fonctions F, y, aux fonctions Fi ,^1 ^ si l'on considère une nouvelle variable r liée avec a: et r par l'équation r = /"(a:, j), les n premières dérivées de cette variable , prises par rapport à ^ , ou les quantités
dr d^r d'^r
Js' d? d?'
ne changeront pas de valeur dans le passage des fonctions F-, y, aux fonctions Fj, yj.
Démonstration, Puisque a:, y, sont des fonctions de s , on aura , en différentiant plusieurs fois de suite Té-
DIX-WEUVIÈME LEÇON. 1^5
quation r= F {x^ jr),
dr dFdx dF dy
^^Êmm T^^^* ■ III ^^^^^ iVMMB ^Hw» ^^^m^
ds dx ds dy ds^
d^r^ dFd^ dFd^y
ds^ dx ds^ dy ds^
d'^Fdx^ d^F dxdy d^F dy^
^^ dx^ ds^ dxdy ds ds dy^ ds* '
d^r dFd^'x dF dy
— = =^— f- etc.
ds^ dx ds^ dy ds^
Or, 1° les quantités
d F{x , y) dF{x, y) d*F{x, y) d*F(x, y)
dx dy * dx* ' dxdy
• Cl/Oa a
dépendent imiquement de la forme de la fonction F, mais nullement de F, y*, Fj , /i; 2** les dérivées
dx dy d*x d^y d^x d^
ds'.ds' 'dF' 'dF'"' ~d?' IF'
conservent, par hypothèse, la même valeur quand on passe des premières fonctions aux secondes. Il en sera
donc encore de même des dérivées
dr d*r d^r
ds' ds*'' ' ds^'
Ajoutons que la dérivée ^^ , donnée par l'équation
rf«+xr dFd'^-^^x . dFd'^^y .
— T- = T — h -ï . .- + etc. ,
€/^+' dx ds^+^ dy ds^+^
changera ordinairement de valeur avec ^^^ , ^^^,
quand on passera des premières fonctions aux secondes ^ néanmoins le contraire pourrait avoir lieu dans certains
cas, par exemple, si les valeurs particulières de x et Aej^ dont il est question dans le théorème, réduisaient à o les
coefficients — \ ' , — ^^ ^ ' des dérivées , .^, , z^,
ou du moins le coefficient de celle dont la valeur changerait. La même remarque s'applique aux dérivées
95. Théorème 3*^. Concevons maintenant que Ton veuille prendre , au lieu de j, r = jF (ar , j^) pour variable indé-» pendante , les n premières dérivées
ds d*s d^s d^s
d?' Sr"*' dr^"'d^'
dx dy d^x dy d^y d^y
d?' di^'"d^' '3?' di^'"di^'
ne changeront pas de valeur^ quand on passera des fonc^ tions F, y aux fonctions Fi, yj.
Démonstration. Si l'on considère s comme fonction de r, les variables x^y^ et par suite F{x^ y)^ deviendront des fonctions de fonctions de r, et en difiTérentiant plusieurs fois, par rapport à r, l'équation r=: FÇx^y)^ on
aura
dFds
' ~ dld?'
dFd^s d^Fds^ o=z
ds dr^^^ ds* dr*^
^^dFd^s d^Eds""
ds dr^ * '* ds^ dr^ '
Or, comme nous l'avons prouvé, les n premières dérivées
dF(xyy) dr d*F{x^y) ^d^r d^F {x^ y) __^d'*r
ds "'^' ds^ ^"dF^"" ds^ dp
DIX-NEUVIÈME LEÇON. ijy
conservent la même valeur quand on passe des fonctions F,y aux fonctions F, , y, ^ il en sera donc aussi de même des n dérivées
ils d^s d^s
dr' d?''' dr^'
liées aux premières par des équations du premier degré. Si de plus on a égard aux équations
dx dx ds dy dy ds
dr ds dr^ dr ds dr*
*x dx d*s d^x ds^ d^y dy d^s d^y ds^
r^ ^Is 'dr^'^'dF dr^^ dr^ ^ Is dr^'^'ds^ dr^'
d^x dx d^s d'^y dy d^s
di^^di H^ "^ ®*^* ' li^^H di^ ■•" ^^''
on en conclura que puisque les n premières dérivées
dx dy d^x d^y ds d^s d^s
ds'' dl' 'dp'' IF' Jr' ^' ^'
d dr
conservent la même valeur quand on passe des fonctions F, f aux fonctions Fi, ^i , il en sera de même des n dédx. dy d^x d^y
rivées
dr'dr''"dr''' dr'^' Corollaire i®'. Sans troubler Fégalité qui existe de part
1, 1 :*, ' f dx dy d^'x d^'y .
et d autre entre les n dérivées -r-, -7- • • • -7-7-9 -r^ quand
ds ds ds'* ' ds'* ^
on remplace les fonctions F, f par les fonctions F, , y,, on peut donc substituer à la variable s la variable r liée par une équation finie quelconque avec les variables x , y\ seulement, après cette substitution, on ne pourra plus affirmer que pour les valeurs particulières dont il est question dans le premier théorème, Tune au moins des deux déri-
^^^^ T7+7' . nA.1 change de valeur quand on passe des premières fonctions aux secondes.
94>. Rien n'empêche, dans les théorèmes qui précèdent, de supposer r = x, alors des dérivées -r-, -; — .... - — la première se réduit à Tunité , les suivantes à o , taudis que les expre^ons -^, 'tt>'"'T^'» deviennent les dérivées
y\ y'\ . . . j^^"^ de j^, prises par rapport à x\ on peut dès lor» énoncer le théorème suivant.
Théorème iT^. Si pour certaines valeurs particulières de X et de y^ les n premières dérivées
dx dy d'^x d^y
