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ds ds^ ds""^ ds

de deux variables x , y^ liées tour à tour avec une troisième variable s par les équatiops

x = F(5), y=f{s), x = F.W, y=zf,{s),

ou, ce qui revient au même, liées tour à tour entre elles par les deux équations

ipC^» x) = o» <Pi(^» j) = o,

conservent la même valeur quand on passe des fonctions F, f aux fonctions F, , y*., ou de la fonction (p à la fonction ç, , il en sera encore de même des n premières dérivées y', j^",. . . j^^"^ de j^ prises par rapport à j:, et par conséquent des diflférentieUes dy^ d^y^ . . . d'^y. Ajoutons que dans le passage de F, y^, à F, , y*,, la dérivée ou la diférentielle de l'ordre /i-|- i et les suivantes, prendront ordinairement des valeurs nouvelles*, néanmoins, le contraire pourrait avoir lieu dans certains cas particuliers.

95. Si , en considérant toujours r comme variable indépendante, on désigne par f , >/, etc. , de nouvelles fonctions des coordonnées x^y^ on aura

t>IX-NBîJVlÈHE LfeÇOir. 179

dt dt dx , dt dy

dr dx dr dy dr^ dH dt d^x dt d*y dH dx*

^/^* dxdr* dy dr* dx* dr*

d*t dxdv d*t dr* dxdy dr dr dy* dr*

dH dt d^'x dt dl'y

^r» dxdr"" ^ dy dr'' ^ ''

, . dx dy d^x d^y

«t comme les expressions —, — , . . . -7-^, — j , consepvent la même valeur cpiand on passe des fonctions F, f

aux fonctions F, , f^^ il est clair qu'on en pourra dire au-

, 1 r . ^ , . , dt d*t d'^t

tant, non-seulement des loniCtions dérivées -r , t-i-.- -r- ^ ' dr^dr*^ dr""^

mais encore des différentielles dt^ d'^t,... d"t. On arriverait à des conclusions semblables en substituant la fonction M à la fonction t. On pourra même , d'après ce que nous avons dit , échanger entre elles , de toutes les manières possibles, les fonctions f, m, r, et énoncer généralement le théorènue suivant.

Théorème 5™*. Si pour certaines valeurs de :p eX dej^, les n premières dérivées

dx d*x d^x dy d*y d'^y

dJ' d^'"'d^' ^' d^''"d^'

des variables J? , y, ne changent pas de valeur, cpaud, aux équations

X = F(f), y =/(s) ou F (xy s) = o, /{x, s) = o,

on substitue les suivantes

X = ¥j{s), y =/,W ou F,(jr, s) — o, /,{x, s) = o,

om poiirra en diee autant des n premières dérivées ou des

l8ô - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

/ï premières différentielles d'une fonction quelconque t des variables x, j^, prises par rapport à une autre fonction arbitraire u de ces mêmes variables.

jSî les dérivées de l'ordre n-4- 1, , , , , ^, ou au

moins Tune d'entre elles , changeaient de valeur dans le

passage des fonctions F, f^ aux fonctions F^ , y, , il en

d'* "^' t sera en général de même de la dérivée ^^, ou de la

différentielle dj^'^^t ; le contraire pourrait cependant avoir lieu dans certains cas particuliers.

96. On arriverait à des condusions analogues si , au lieu de deux variables x^ y^ on en considérait trois a:, y^ z, et Ton démontrerait facilement le théorème suivant :

Théorème 6™®. Si pour de certaines valeurs de x, j^, z , les n premières dérivées

dx d*x d^x dy d^y d^y

dz d^z d'*z

ds' ^' * ds^'

des variables x^ j^ z^ ne changent pas de valeur, quand, aux équations

x = Y{s), x=f{s). z = f(s), ou

F(^, s) = O, '/(fy s) = G, î(z, s) = o,

on substitue les suivantes

X = F.(f), X =/iW, z = f,(5), ou

F^{x, s) = O, AiXys) = O, f,(z, s) =1 o,

on pourra en dire autant des n premières dérivées, ou des n premières différentielles d'une fonction quelconque t des trois variables x^ y^ z , prises par rapport i

DIX-NEUVIÈME LEÇON. l8l

upe autre fonction arbitraire u de ces mêmes variables.

Jn+ij, rf^+'y d^'^^Z

Si lesi dérivées de l'ordre n^ i, ^^^^, -^^, ^^^^,

ou au moin$ l'une d'entre elles, changeaient de valeur dans le passage des fonctions F, f^ f , aux fonctions F, , yi, f,, il en sera en général de même de la dérivée

■ ^^^, OU de la différentielle <iu"+*?, quoique le contraire

puisse arriver dans certains cas particuliers.

Rien n'empêche, dans le théorème qui précède, de faire u = 2 , puis , tour à tour, t = x^ t =y \ on arriverait de cette manière à un nouveau théorème.

Théorème 7"®. Si pour certaines valeurs particulières de or, j^, z, les « premières dérivées

dx d'^x dy d^y dz d'^z

des variablçs x^ y^ z , liées tour à tour avec s par les équatio^s

¥{x,s) = o, f[yjs) = o, î{z,s) = o, Fx(a?, j) = o, À{yys) = o, f,(z, s) = p,

ou , ce qui revient au même , liées tour à tour entre elles par les équations

ne changent pas de valeurs, quand, aux fonctions F, f^ f, on substitue les fonctions Fi,yi, f,, ou, ce qui revient au même , quand, aux fonctions y et ;( , on substitue les fonctions Q?i et ;(i ^ on pourra en dire autant des n premières dérivées

dx d^x d"x dy d^y d'y

Tz' ~d^' "'d^' Ih' H^'^'l^'

prises par rapport à -z, considérée comme seule va-

iSa CALCUL DIF^ËREUTIEL*

riable indépendante. Si les dérivées .^, etc., ou du moius Tune d'entre elles, changeaient de valeurs, il en sera en général de même des dérivées . ^ , ^^^ ,

quoique le contraire puisse arriver dans certains cas.

97. On se sert souvent de la difierentiation pour éliminer d'une équation un certain nombre de constantes •, et cette élimination conduit quelquefois à des résultats fort importants ; nous entrerons à ce sujet dalis quelques détails. Remarquons d'abord que Ton trouverait les mêmes équations différentielles si, au lieu de l'équation F (a:, j') = o, on avait F(a:^j^) = c, c étant une constante, parce que la constante disparait à la première différentiation pour ne plus reparaître jamais. De ces équations différentielles identiques on tirerait les mêmes valeurs des dérivées

-~, -T-^') etc. (^uoiquune équation ne se présente pas

sous la forme F(a:, j^) = c, il arrive souvent qu'utie ou plusieurs différentiations font disparaître des constantes. Soit, par exemple, l'équation

en la differentiant deux fois de suite on aura

et les deux constantes r et a auront disparu. Une troisième différentiation donnerait

dx^ dx dx^

DIX-IfElIVIEME LEÇON. l83

De ces équations réunies , on tirera

dy X — a d*y [x — aY-\-[b — xY __^ ''*

di'^T^' ^"" W—yf ""(ft— /)3'

d^y dx dx^ Zf^{x — g)

^~ h— y ~ [^—yf *

et en éliminant j^ — h entre les deux dernières,

V^'"^V da^ dx \dx^) ""

Or cette dernière équation ne contient aucune des constantes a , 5 , r.

On pourrait aussi , au moyen de ces diverses équations, exprimer les trois constantes a, i, r, en fonction

de a:, de j* et des deux dérivées -^ = J"'? ;7T=jr''*5 ^^