CLX CIX

trouvera en effet

On conclura de ce qui précède, que de Téquation

{y — by-\'{x — aY=r\

qui contient trois constantes arbitraires, on pourra déduire, i**une équation différentielle du troisième ordre qui n'en contient aucune \ tP trois équations du second ordre qui en contiennent chacune une ; 3^ trois équations du premier ordre , dans chacune desquelles il y aurait deux constantes arbitraires.

98. En général, si l'on a une équation entre x^ y et n constantes arbitraires , et qu'on la dîfférentie un nombre m de fois , on aura zn + i équations entre lesquelles on pourra éliminer m constantes, ce qui donnera une équation différentielle de l'ordre m , où il ne restera qu'un nombre n — m de constantes^ et comme on peut choisir

l84 CALCUL DIFFÉRE»T1EL.

à volonté les m constantes qu'on élimine , il est évident qu'on pourra former autant d'équations de Tordre m , renfermant n — m constantes, que l'on peut faire de combinaisons m k m avec n quantités , c'est-à-dire

Lorsqu'on différentie n fois , on a /i H- 1 équations entre lesquelles on peut éliminer les n constantes de l'équation d'où l'on est parti : on a ainsi une équation de l'ordre n où il n'en reste aucune, et qui est commune à toutes les équations que l'on peut déduire de la proposée, en attribuant successivement aux constantes qu'elle contient toutes les valeurs possibles. Il est important de remarquer que si , après avoir calculé, comme nous l'avons dit tout-à-l'heuTe , une équation différentielle de l'ordre m qui ne contienne qu'un nombre n — m de constantes, on différentiait de nouveau cette équation n—f-m fois, ce qui donnerait, en la réunissant aux équation^ résultant de cette opération, un nombre n — m -f- i d'éq^u^tions, et qu'on éliminât entre elles les n — m constantes restantes, on retomberait toujours sur la même équation différentielle de l'ordre n cpii n'en contient aucune.

99. D est inutile de nous arrêter à la possibilité de l'élimination d'un certain nombre de constantes par la différentiation successive d'une ou de plusieurs équations à plusieurs variables indépendantes. Passons à l'élimination des fonctions arbitraires. Considérons d'abord l'équation M = (p (y) , dans laquelle m et p» sont des fonctions àe x^ y^ z^ el (f(y) une fonction tout-à-fait arbitraire de P». En donnant tour à tour à cette fonction différentes formes, on obtiendra diverses équations, qui offriront toutes un caractère commmi, en ce sens qu'on peut, en éliminant la fonction ç, arriver à une équation qui soit

il viendra

du dx

DIX-NEUVIÈME LEÇON. l85

commiine à toutes ceUes que peut représenter Técpiation a=ç(i^). ïji elBFet, dijQférentions cette équation en regardant tour à tour x et z ou j^ et z comme seules variables, et posons, pour abréger,

dz dz

du , , . fdv dv\

du , du - , . fdv . €^\

En divisant ces deux équations l'une par l'autre , et posant

dudç dudç dudv dudv ^^dudv dudv

^^ dydz dzdjr^ dzdx dxdz^ dxdjr djrdx'

on trouvera l'équation aux difTérenti elles partielles du

premier ordre

100. Supposons maintenant que l'on ait deux équations de la forme

dans laquelle c est une fonction implicite de J?, j", z^ et y (c), Y W' ®^* 9 ^®^ fonctions arbitraires de cette quantité ; voyons dans quels cas , par des différentiations successives , on pourra éliminer la quantité c et les fonctions arbitraires. Pour y parvenir , il- faudra considérer -^ et c comme des fonctions des variables indépendantes x , y, puis éliminer les quantités

de de d*c d^c d*c ^' dx^ fi^' dj^' dxdx^ d/^^"

entre les équations données et celles qu'on en déduit par des difierentiations successives relatives, soit à la variable

X j soit à la variable y. Supposons , pour fixer les idées ,

l86 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

que Ton désigne par m le nombre des fonctions arki«traires y (c) , X W ? ^ (^) • • • 9 et par n un nombre entier quelconque \ si , parmi les différentielles de c et le» dëri*vées des fonctions arbitraires y(c), x(^)'*r« 011 nëgKge celles dont l'ordre est supérieur k n^\e nombre des termes de la série

de de d^c d^c d^c

^' H' d^'" dx^' dxdx"'^''' d^'

^era égal à ^ ^^ ^ , tandis que le • nombre des

quantités

sera égal à (n + i)m. D^aùtre part, si Ton joint aux équations données leurs dérivées d'un ordre inférieur ou égal à /ï, on obtiendra en tout (n+i)(n+2,) équations, et Ton pourra entre ces dernières éliminer la quantité c, ainsi que les fonctions arbitraires et leurs dérivées jusqu'à celles de l'ordre n , pourvu que l'on ait

(« + •) (^ + a)>^" + '^^"~'~''^ + ("+iKo«--fi>/>»î

or cette condition sera remplie si l'on prend n=^^Tn — i, et alors l'élimination produira m équations aux diflFérentielles partielles, auxquelles satisferont toutes les équations que l'on peut déduire des équations proposées.

Lorsque les équations proposées renferment une seule fonction arbitraire ^ (c) , et se réduisent à

f[x, y, z,c, <p (c)] r= o , F [x, j, Zy c, <p (c)] = o,

en joignant à chacune de ces deux équations les deux dérivées partielles du premier ordre , on obtient en tout six équations entre les quantités

dz di de de / \ // \

•"'•':'"' ''=^" 'i^'Ty' '■' rfx' ^' ^("^' ^^"^'

dix-hruvième leçon. 187

et rélimination des cinq dernières de ces quantités ei|;itre les six équations dont il s'agit, produit^comme on devait s'y attendre, une équation aux différentielles partielles du premier ordre entre les variables indépendantes x^y et la variable dépendante z.

Lorsque les équations proposées renferment deux fonctions arbitraires y (cî), x W? ^^ se rédtdsent à

f{^> JTj ^y^y ^ W> a; W] = O, F [x, jr, z, c, (p{c), x {c)] = o ,

en joignant à chacune de ces équations ses dérivées partielles du premier et du second ordre, on n'obtient en tout que douze équations entre lesquelles il n'est pas possible d'éliminer , du moins en général, les douze quantités

de de d*c d^c d^c ^* dx^ ^' dx*^ dxdy^ 4y^*

mais en s'élevant jusqu'aux équations du 3™® ordre , on -obtiendra en tout vingt équations, entre lesquelles on pourra éliminef ces douze quantités avec les suivantes :

4^c d^e d^c dh „ ,„. .

da^' dx-dy' ^^' 5p' ^ ^''^' ^ ^""^^

et rélimination produira deux équations aux différentielles partielles du 3**® ordre, entre les variables indépendantes Xyj^ et la variable dépendante z.

Il est bon d'observer que, dans certain cas, l'ordre des équations aux différentielles partielles produites par l'élimination dont nous venons de parler , peut s'abaisser considérablement. Supposons , par exemple , que les équations données renferment trois fonctions arbitraires ^(c), X(c), ^(c)\ comme on aura dans cette 'hypothèse m=3, im — 1 = 5, il faudra généralement, pour effectuer l'élimination, s'élever jusqu'aux dérivées du 5"*^ ordre, et cette élimination produira trois équations aux différeii-

l88 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

tielles partieUes du 5"** ordre, entre x^ y et ^. Mais si l'on établit entre^les fonctions y(c), x W» ^C^)? ^^^ ^^^ lations jt(c) = (^ (c), ^J/ (c) = ^"(c), c'est-à-dire si les équations proposées se réduisent à

/[x,^,z,c,^(c),9'(c),^''(c)]==:o,F[ar,7,z,c,^(c),^'(c),^'^^^^

alors, en joignant à ces formules leurs dérivées du premier et du second ordre , on obtiendra en tout douze équations , entre lesquelles on pourra éliminer les onze

quantités ,

de de d*c ' d^c d*c

^' dx' dy' d^^' dxdx' ^'

^W, ^'W, ^"W, ^"W> r^^ic).

et l'élimination produira une seule équation aux différentielles partielles du second ordre , entre les variables

Nota, Les deux équations

équivalent évidemment à une équation imique

De cette remarque, joint à ce qui précède, on conclut, I® qu'il ne suffit pas, en général, de recourir aux différentielles du second ordre pour éliminer d'une équation donnée deux fonctions arbitraires ^{pc^j^ z), x{x^y^ z)\, oP qu'en recourant aux différentielles du second ordre on pourra toujours éliminer de l'équation

la fonction arbitraire (f et ses dérivées (p', (f",