SECONDE PARTIE

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES, OU RECHERCHES DES PROPRIÉTÉS DES COURBES PLANES , DES COURBES \ DOUBLE COURBURE ET DES SURFACES.

De fa tangente et de la normale à une courbe plane et située dans un plan pria pour plan unique des ooordonnéei.— Longueurs appelées Tangente, Normale 9 Sous-tangente, et Sous-normale.

101 . Définition, La tangente à une courbe en un point donné (x^y) est une sécante dont deux au moins des points d'intersection sont réunis en un seul.

Pour déterminer la tangente à la courbe au point x,y, menons par ce point un demi-axe parallèle à Taxe des x et dirigé dans le sens des x positifs, et concevons qu'un rayon vecteur mobile appliqué d'abord sur ce demi-axe , tourne de droite à gaucbe autour du point x, jr^ et vienne coïncider avec la corde ou sécante menée du point x^ y, au point X -f- Ax , y -f- Ay ^ si l'on nomme t l'angle qu'aura

décrit le rayon vecteur ; on aura tang « = — ; et en ap-

pelant ^ , » , les coordonnées d'un point quelconque de

ipo CALCUL DIFFÉRElîTIEL.

la sécante , son équation serait

^x^ ^ % — X àx

Concevons à présent que le point (x+£kx^y -+- Ay) vienne à se rapprocher indéfiniment du point (x , y), la sécante qui joint ces deux points tendra de plus en plus à se confondre avec une certaine droite que Ton nomme tangente à la courbe , et qui touche la courbe au point {pc^y). Pour déterminer la direction de cette tangente, il suffit de chercher la limite vers laqueUe converge Tangle t quand les différences Ar , ù^y deviennent infiniment petites. Or , en appelant t cet angle , on aura

r AT ^r /

On tire de cette équation

dx \ , I , dx

COtT=:-^-7-=-4--7,COST=lt: — . =I±

dr y V^i+j'» Vdx^-^dy'''

sinr