ri »- ^y

l/i^j'a X/dx-' + dy^

et en appelant Ç , >3 , les coordonnées d'un point quelconque de la tangente , son équation sera

^~-^~"^^^~^^' dy -^"dbT'

102. Si parle point {x , y) on mène une droite perpendiculaire à la tangente , elle fera avec l'axe des x un angle V déterminé, par l'équation

tangy = —

I I dx

taagr y' dy^

et les coordonnées | , >7 , d'un point quelconque Aê txlVt

VINGTIÈME LEÇOW. I9I

perpendiculaire que Ton désigne sous le nom de nor^ maie, yérifieront Téquation

103. Supposons que Tëquation de la courbe dont il s^agit soit u = F(x,y) = o. En difTérentiant , on a

dF d¥

da:+-djr=.o,

et en substituant dans cette dernière équation, à la place de dxj dy^ les quantités proportionnelles \ — x , y? — y , ou — (>î — y\ X — x^ on trouve pour Téquation de la tangente

et pour Téquation de la normale ,

dY . d¥

Ainsi , pour obtenir Téquation de la tangente , il suffit de remplacer dans l'équation différentielle de la courbe les différentielles dx^ dy par les différences Ç — x^ m — y^ au contraire , pour obtenir l'équation de la normale , on devra remplacer dy par Ç — x, et dx par — (yj — y),

104. Scolie 1®'. Les équations de la tangente et de la normale ne changeraient pas si, à l'équation F (x , y) = o, on substituait l'équation F (x , y) = c , ou m = c.

Scolie 2®. En ^regardant dans les équations

dY dF

I, n comme des quantités constantes, chacune de ces

192 CÀLGOL DIFFÉRENTIEL.

deux équations, combinée avec l'équation F (jt,^) ±= o, donnerait les coordonnées a: et ^ des points où les tan-^ gentes et les normales menées par le point Ç , m rencontrent les différentes courbes représentées par Téquation ¥{pc\y) = c; et puisque ces deux équations sont indépendantes de la quantité c , qui seule varie d'une courbe à l'autre , elles représenteront évidemment les lieux géo-^ métriques des points où les courbes qu'on déduit de l'équation F(a:,y)= c, en faisant varier la constante c, sont rencontrées par celles de leurs normales ou de leurs tangentes qui passent par le point ^ , 19 ; de sorte que pour mener par le point | , n des tangentes ou des normales à ces courbes , il suffira de construire les deux lignes

elles rencontreront les courbes F (a: , j^) = c en certains points que l'on joindra au point | , yj , et l'on aura les tan* gentes et les normales cherchées.

105. applications. Si l'équation F(a: , y) = c se réduit àM-f-P'-|-iV + ..- =^5 M5 ^', w... étant des fonctions entières et homogènes , la première du degré m , la seconde du degré m — i , la troisième du degré m — 2, on aura

et l'équation de la tangente deviendra

/ » ..fdu dv dw \ . ■ .fdu dv dw \

VINGTIÈME LEÇON. Ip3

Mais, en vertu du théorème des fonctions homogènes, on

aura

du du dv dv

Téquation de la tangente se réduira donc , en ayant égard à réquation M-|-^' + tv+...= c,à

du tlu , d^\ . ( du . dQ ^ dw \

Cette équation représente, quand on y regarde a:, j% comme seuls constants, ^, yj, comme seuls variables, la tangente à la courbe menée par le point (j^, J'), et quand on y regarde |, n comme constants, a:, y comme variables , une courbe du degré m — i qui renferme les points de contact de la courbe avec les tangentes qui concourent au point ( Ç , y}). Si J^ = o , iv = o , on a

du ^ du