i*"" Exemple. Considérons le cercle x* -f-j^* =:R

Ici m = 2 , tt == :f* -h J^* , c == R* ,

l'équation de la tangente est ^x + my = K*, On y parviendrait encore en remplaçant dans l'équation différentielle xdx +jdy = o^ dx et dy par f — x et y) — y : ce qui donne

(f — x)x'\-{ii ^ f)x = o on (x + nx = x^ +x * = R*-

L'équation de la normale est

(I — jp)^ — (v — r)'^ = o ou fjr — 9^ = 0, - = -,

équation de la droite ou du rayon qui va du centre au point (o?,/). L'équation

(I — j:)jr-|-(v — r)/ = 0,

194 CALCUi; DlFFéRBNTIEL.

cfui peut se mettre sous Tune des formes

et qui représente la tangente quand x et j^ sont constants, Ç , yj variables, représente, quand f et yj sont au contraire déterminés , sous la première forme tin cercle qui a pour centre le milieu de la droite qui va de l'origine au point (^, y?), et pour rayon la moitié de h. distance de l'origine à ce même point ^ sous la deuxième une certaine droite. Sur ce cercle et cette droite se trouvent les points de contact des tangentes menées au cercle par le point (g, y?) , et comme le cercle est indépendant du rayon R, il est le lieu géométrique de tous les points où les tangentes menées du point ($»>}) aux divers cercles que l'on obtient en faisant varier R dans l'équation x' + j^' = R', rencontrent ces cercles. Il en est de même par rapport aux

normales de la liene - = -.

a™* Exemple, Considérons l'ellipse ou l'hyperbole représentée par l'équation Ao:' 4^ ^Bxy +Çy' =K.

l'équation différentielle de la courbe est

on trouver^ donc pour les équations de la tangente et de la normale , en suivant l'une des méthodes ci-dessus indiquées ,

(f — ar) (Ax + Br) + (i, — j) (Cr + B^) = o, (f a;)(Cr +Ba:) — (,— j)(Aar + B7) = o, '

ou, pour l'équation de la tangente ,

VINGÔ^IBME LBÇON. igS

Si l'équation de Ja courbe était

Téquation de la tangente deviendrait

f 5±^fa="» ou(f-^x)J,±(9— r)^ = o, etc.

3™® Exemple. La parabole j^* = 2ys;a:. L'équation de la tangente est

(f — X)X — P(^ — ^) = o ou tjx — p(=px'y celle de la normale

jr(? — x)+p{tj — r) = o, etc.

4"* Exemple, La logarithmique

les équations de la tangente et de la normale sont x\a(ti — x) — (? — x) = Oy x\a{^ — a:)H-.(if — j) = o. 5™® Exemple. La spirale logarithmique

•^ = tang l ^-^~ , arc tang"^ = 1 Vx^ + j» — IR;

JT IV ûlT

en difTérentiânt, on a

xdy ^ydx =: xdx -\~ydy , dx{x ^ y^ -\- dy [y '^^ x) -zzl o\

et les équations de la tangente et de la normale sont

(f — x){x-+' y) +(j? — y) (r — •^) =o> (f — a:)(j — a:) — ( , j) (ar + j) = o.

Lorsqu'on y regarde \ , y? comme constants, x^y comme seuls variables , ces dernières équations représentent deux cercles qui coupent la spirale logarithmique aux points

tg6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

OÙ elle est rencontrée par cèiliss des tangentes qiiî concourent au point (|, m).

107. Si les axes des coordonnées cessaient d'être rectangulaires et faisaient entre eux Tangle co , le rapport —

sinr

exprimerait non plus tangr, mais -;— *^ Téquation

de la tangente serait toujours

et Téquation de la normale deviendrait

dy

108. Considérons une courbe quelconque AB (fig- 1) au point M de cette courbe, menons à la tangente la normale MN -, les parties MT et MN de la tangente et de la normale comprises entre le point de tangence et Taxe des x sont ce qu'on appelle la tangente et la normale ^ nous les désignerons par les lettres T et N ^ on appelle sous-tan-gente et sous-nomialej et nous désignerons par les notations St 5 S„ , les distances comptées sur l'axe des x entre le pied de l'ordonnée et les points où cet axe est rencontré par la tangente et la normale à la courbe. Ces quatre lignes sont faciles à calculer.

En effet, en désignant par $i, $a les abscisses des points où la tangente et la normale rencontrent l'axe des x^ les longueurs S^, S„ sont égales, au signe près, aux différences Ç, — ^ 9 ?t — ^9 v[L2l\s en faisant n =o dans l'équation de la tangente et de la normale, on a

VINGTIÈME LEÇON. ig^

donc

et par suite

T=|/MP»+TP> = yjx- + ^^ =±:^yT+y-,

on a donc

On parvient encore plus simplement à ces valeurs en remarquant que si T et V sont les angles que la tangente et la normale font avec les axes, les triangles rectangles MTP, MNP donnent

tangT y' smr y'

^^tang» "^ ^ siiiF j ^ -r j

Ces équations donnent S^ . S„ =j^' ^ l'ordonnée y est moyenne proportionnelle entre la sous-tangente et la sousnormale.

Exemples :

i<». Cercle ;a:*H-^*=r% S, = ±:

S„=±:ar, N = R, T = ±:- (R« — x«)-^;

a®. Ellipse ou hyperbole : — db 7— =:dl i ,

198 CALCUL DIFFÉftKlfTIEL.

le rapport de la sous-normale à l'abscisse- est constant, 1» sous-tangente est indépendante du demi-axe b ;

3°. Parabole : j* = npx , S/ = 2x, S» = /? ,

la sou&-normaIe est constante et la dous-tangente double de Tabscisse ;

4**. La logarithmique x =z hjr =: — 1^ ,

8,= g, 8»=!*»**», N = l«e^-V/(IJ-|-^,

la sous-tangente est constante.

109. 5^. Cjcloïde. Concevons que le cercle ADE(^g. 2)^ tangent à la ligne AX au point A, roule sur cette ligne AX , le point de la circonférence qui coïncidait au premier instant avec le point A, décrira une courbe que l'on nomme cycloïde. Prenons pour axes des coordonnées les deux lignes AX, AY; pendant que le cercle roulera sur l'axe des or, le centre se mouvra parallèlement au même axe , et le rayon CA tournera autour du centre en décrivant un angle qui croîtra sans cesse ; désignons par (ù cet angle MON , par AN = a , ON= J les coordonnées du centre O, par AP=x, PM z=jr les coordonnées de l'extrémité du rayon ou d'un point quelconque de la courbe , l'arc MN = Ro) sera évidemment égal à la ligne AN = a, puisque tous les points de l'arc.MN se sont tour à tour appliqués sur AN ; on a donc a = Rco , A = R ,

X = AP zzi AN — PN = AN — MQ=R« — Rsin*», j = MF = ON — QN = R — R cos»;

YllNMriÈMS LEÇON. 199

on aura donc , en admettant que la notation arc cos désigne toujours un arc compris etitre les lîmif es — -, H — ,

^=:R(» — sin*), j^ = R(i — cos*)^ cosiriE — ç-*^ , M 2s arc cos *± ^' ± «ît^ sî»<r =dz - V^aR/ — /*•

Dans cette seconde formule on doit prendre le signe ou le signe — , suivant que Tangle &) est de la forme ^m:+0 ott de la fcmïie (2/1 -f* i) ;? + &,? ëlaut plus pcth que 7t, de sorte cpte Ton peut éetite

rfn «^ = g^ cos/ttr.V/a:ft J — / S

:r = R ( arc cos — :g-^ rfl nirj — cosw^-.k aRj — ^*.

On reconnaîtra sans peine , à l'aide de ces équations , que la cycloïde est composée d'une infinité de branches, toutes pareilles les unes aux autres , dont les points extrêmes situés sur l'axe des x répondent aux abscisses

et dont chacune est divisée en deux parties symétriques par une ordonnée correspondante aux abscisses

X z= flrR, 07 = ± 3flrR, ... x = dz (2/2 — i)5rR, etc.

De plus , en différentiant les équations

j:=: R(» — sin<w) et r = R (» — 'COS»),

on trouve

f/o: = R ( I —cos »)fla z=r fda , dy = R sin « da,

d'où

, .^r ^ Rainât ^ j/aR^— j» dx y y

et Ton aura par suite ,

'=-^V;r^' Sn=V/2Rr— r>= »/r(2R— r),

•^ V aR

On conclut facilement de ces valeurs, que si dans le cercle générateur de la cycloïde, on trace un diamètre parallèle à l'axe des ^5 les directions de la normale et de la tangente à cette courbe au point M (x , j^) seront données par les droites menées de ce point aux deux extrémités de ce diamètre , de sorte que la longueur appelée normale sera précisément la corde MN qui dans le cercle générateur sous-tend l'angle c»).

VINGT-UNIEME LEÇON. aOI

VINGT-UNIEIIIË LEÇON.

Asymptotes des courbes planes. — Propriétés diverses des courbes planes déduites de leurs équations. — Points singuliers.

110. On appqlle asymptote d'une courbe plane, une droite de laquelle cette courbe s'approche indéfiniment sans pouvoir jamais la rencontrer. Il est facile de trouver les asymptotes d'une courbe représentée par une équation quelconque y =F(a:) ou f{x^y)=:o. En effet, considérons d'abord les asymptotes non parallèles à l'axe des y, et soit y=z ax + & l'équation de l'une d'entre elles. L'ordonnée correspondante de la courbe devant se réduire sensiblement pour de très grandes valeurs numériques de a: , à l'ordonnée de l'asymptote , elle se présentera sous la forme y = ax -f- 6 ± e , s étant une quantité qui s'évanouira pour a: = ± oo . Cela posé , l'équation qui précède donne

*=-^ qp-,

d'où , en faisant a: = ± oo , et remarquant que si 6 était infini , l'asymptote située à une distance infinie disparaîtrait tout entière , on aura

lim. -.

Donc, pour déterminer la constante «, il suffira de poser

. DIFFÉKEKTIEI..

^\/ÏR^^

On cou dut facilement de ces valeurs, que si dans le i générateur de Ja cycloïde, on trace un diamèlre pai à l'axe desjr, les directions de la normale et de li gente à cette courbe au point M (:c , ^) seront do par les droites menées de ce point aux deux extré de ce diamètre , de sorte que la longueur appelée no: sera précisément la corde MN qui dans le cercle | rateur sous-tend l'angle w.

a02 CALCUL DIFFÉAEHTIBL.

dans l'équation de la courbe, - = 5 on jr=sx'^ puis de

déterminer la limite ou les limites vers lesquelles convergera la variable 5, tandis que la valeur numérique de X croîtra indéfiniment. Après avoir trouvé la constante a, on tirera de l'équation j^ = a j: -t- 6 ± e ,

et en faisant x = àz oo , 6 = lim. (y — ax), de sorte que pour avoir 6, il faudra, dans l'équation de la courbe, poser y — ax = t^ et chercher ce que devient t pour oc = dt 00 ; à chacpe système de valeurs des quantités a, ë, correspotidra une asymptote de la courbe proposée.

En raisonnant de la même manière , mais en échangeant l'une contre l'autre le» variables a:, jr, «n trotiveraît évidemment les asymptotes non parallèles à Taxe des X.

m. ScoUe. En général, le rapport - pour j: = oo , prendra la forme indéterminée — , et sa véritable valeur