V^ . + (IJ = V
on aura donc aussi
Telle est donc la différentielle de Tare d'une courbe quelconque, considéré comme fonction de x. Mais ce que nous venons de trouver n'est que la valeur absolue de ds ou de
-j-\ en effet, V/i H-j^'"* est ime quantité essentiellement
, ds
positive, tandis que --- sera positif ou négatif suivant que
l'arc croîtra ou décroîtra quand l'abscisse augmentera , e'est-à-dire suivant que les arcs seront comptés dans le sens des x positifs ou dans le sens des x négatifs ^ on devra donc écrire généralement
^=±V/i+r", ^=± Vdx^-\-dy\
et l'on prendra le signe +, si l'arc croit avec l'abscisse, le signe — dans le cas contraire.
Corollaire i®'. D'après ce que nous venons de voir,
lim. ■ = 1 5 il est donc vrai de dire que lors-
qu'un arc de courbe devient infiniment petit, le rapport
de cet arc Ay à sa corde V^ù^x* -f- Ay' devient égal à l'unité.
125. Corollaire 2™®. Désignons par a, S les angles formés avec les demi-axes des coordonnées positives par la
VIHGT-DEUXIÈME LEÇON. 22^
tangente prolongée dans le sens de la corde MM', on aura costf = lim. — — , cos^=lim.
ou
COS<£ = — , OOSb =
si dans ces équations on substitue au radical V^ûtr'-f-^^* sa valeur dz c^ , on trouvera
cos « = ± -r- , cosf == ± -^ : as as
on devra prendre le signe + ou le signe — sidvant que la tangente aura été prolongée dans le même sens que Tare 5 , ou en sens contraire. En effet, si la tangente est prolongée dans le sens de Tare, cos a sera positif si Tare croit et décroît avec Tabscisse , négatif dans le cas contraire. Mais — , comme nous l'avons dit , est aussi positif
dans. le premier cas, négatif dans le second; on a donc toujours dans cette hypothèse
dx ' M dy
cos« = -7-, et par suite cosC=-î^. ds '^ as
Au contraire, sf la tangente est prolongée en sens contraire de Parc, cos a sera négatif si l'arc croît et décroît
avec l'abscisse , positif dans le cas contraire ; mais -— est
positif dans le premier cas , négatif dans le second; on devra donc prendre
dx ^ dy
cos 9 = — — ;- j et par suite cos Q = , , ds ds
^iàS CALCUL DIFFÉRENTIEL.
vingt-troisième: lëcon.
De la courbure , du rayon et du centre de courbure dMne courbe plane.
126. Soit R le rayon d'un cercle qui (Jig* 17) touche la droite AB au point M. Si le rapport ~ diminue , c'està-dire èi le rayon R augmente , la portion de la circonférence qui ayoisine le point de contact s'approchera sans cesse de la droite AB , sa courbure diminuera ; cette courbure serait même sensiblement nulle et le cercle se confondrait sensiblement avec la droite AB si le rayon R était
très grand, ou le rapport -- sensiblement niJ. Au con-
traire, si — augmente ou si le rayon diminue , la courbure
du cercle augmentera, il s^éloignera de la droite; La courbure d'iui cercle augmente donc ou diminue en même
temps que le rapport — 5 dès-lors il est naturel de prendre ce rapport pour la mesure de la courbure.
Soient d'ailTeurs x, j^ les coordonnées d'un point quelconque M du cercle 5 r l'inclinaison de la t^uigente en ce point ^ s l'arc compris entre un point fixe et le point (Xjy)'^ enfin Ax , Ay , At , Ay les accroissements que prennent ces diverses variables quand on passe du point (x , ^) à un second point M' ou (x-f- Ar, y -f- Ay) assez rapproché pour que l'inclinaison croisse ou décroisse toujours dans rintervalle de x k x -4- Ar.
Cela posé, si {Jig» 1 8) nous menons 1^ tangente au point M' et les deux rayons CM , CM', on aura immédiatement
et puisque l'arc est proportionnel à l'angle au centre
1 , Ar
la courbure d'un cercle mesurée par - sera donc aussi représentée, en valeur absolue, par le rapport — \ et comme cette courbure et - sont des quantités essentiellement po-
I At
sitives , il est évident que dans l'équation - = ±: — il
faudra prendre le »gne + si l'arc i et l'inclinaison r croissent et décroissent ensemble , le signe — dans le cas contraire.
