Concevons maintenant qu'il s'agisse non plus d'un
At
cercle , mais d'une courbe quelconque , le rapport — ne
sera plus dès-lors toujours égal à une quantité constante
~ , mais variera, au contraire, d'un point à l'autre sur la
pourbe àopX il s'agit •, l'analogie nous force à reconnaîtipe que ces variations ont quelque rapport avec la courbure de l'arc s. Il est du reste évident que plus, pour une même longueur de A^, l'angle A? de deux tangentes c^psécutives ou V angle de contingence sera grand, plus la courbe s'éloignera de la tangente au point M, plus sa
courbure augmentera , et réciproquement ; le rapport —
est donc lié avec la courbure de la courbe , et nous pouvons appeler ce rapport la courbure moyenne de cet arc.
a3o CALCUL DIFFÉREDTTIBL.
De plus, si le point (a:+ Ax, J+^j) vient à se rappro-
cher indéfiniment du point (x ,y), le rapportdi— conver^
géra en général vers une limite détenninée et finie ± ^ ^
cette limite qui , quand Ar est très petit , est sensiblement
égale à ± — j est donc liée elle-même avec la courbure de
la courbe, et nous f conviendrons de la prendre pour mesure de cette courbure au point (pc^ jr).
128. Aux points. très voisins M et ^V(Jig» 19), menons deux normales omsécutives qui se rencontrent en G ^ la distance MC = r sera sensiblement égale, et, si Ton passe à la limite, rigoureusement égale au rayon d'un cercle qui aurait pour centre le point de rencontre des deux normales, et qui aurait même courbure que la courbe. En effet, dans le triangle MCM' l'angle CM' M sera lui-
même sensiblement droit et égal à - ±: e , e étant une
quantité très petite qui s'évanouit avec Ax ; de plus, l'angle MCM'= At : on aura donc, en comparant les sinus des angles aux côtés opposés,
sin 1 - ± £ I .
\2 y ^ui±:at
et l'on conclura, en passant à la limite et en appelant' p la limite de r,
• f ds'
or il résulte évidemment de cette équation que p est le rayçn d'un cercle dont la courbure serait — ou qui aurait
même courbure que la courbe proposée. Ce rayon, porté à partir du point M, sur la normale passant par ce point et prolongée du côté de la concavité , est ce qu'on nomme
le rayon de courbure de la courbe proposée relatif au point dont il s'agit. Son extrémité, qu'on peut regar(^er comme le point de rencontre de deux normales infiniment voi^ sines, «'appelle le centre de courbure. Enfin le cercle qui a ce dernier point pour centre , et le rayon de courbure pour rayon , se nomme cercle de courbure ou cercle osculateur. Il touche évidemment la courbe donnée, puisqu'il a même normale et même tangente , il a la même courbure qu'elle , et tourne sa concavité du même côté.
