La courbure -j- et le rayon de courbure p peuvent
être présentés sous diverses formes qu'il est bon de connaître.
1°. En prenant x pour variable indépendante, on aura
tangr = db j^', T = ± arc tang jr\
et par suite , l'équation
ï . dr
P ds
donnera
i = ± -^ r = ±r"cOsV=r±il^i
P (i+/a)T sec^r
d'où
A l'inspection de cette dernière formule on reconnaît immédiatement, 1° que la courbure devient nulle et le rayon de courbure infini toutes les fois quej^" se réduit à o : alors le cercle osculateur se transforme en une droite et se confond avec la tangente. C'est ce quia lieu, par exemple, pour tous les points d'inflexion dans le voisinage desquels
a32 CALCUL DIFFÉRENTIEL^
les fonctions y' ex y" restent continues par rapport à x. a° Si pour un certain point la valeur àjày" devenait infi-^ nie, sans quje la tangente fut perpendiculaire à Taxe des x, la courbure serait elle-même infinie et le rayon de courbure s^évanouirait ; 3® si les quantités y', j^" devenaient
toutes deux infinies, la fraction^ ^— ^ se présenterait
sous une forme indéterminée; mais on pourrait fixer sa véritable valeur à Taide des principes que nous avons établis; 4^ si Tune des fonctions j^', y" devient discontinue et change brusquement de valeur , il en sera de même du rayon de courbure \ cette circonstance peut se présenter, par exemple, aux points saillants d'une courbe. Exemples :
y ^=.xl\ +arc tang- J, jr = j:»f I +arc tang- k pour ^ = o.
Si Von se rappelle que la normale N est égale à
COSr
on trouvera
=rV^ï+r'*
on détermine facilement, à Taide de cette dernière équation, les rayons de courbure de plusieurs courbes. i" Exemple:
Cette courbe sera une ellipse, une parabole ou une hy-
VINGT-TllOISIEME LEÇON. 233
perbole, suivant que la quantité q sera négative, nulle, ou positive*
En diâere^tiant cette équation , on trouve
y y' =p + qx^ r V =p^ + 2/?^^-f-^»x» =/?» + qy^ ,
TéquationjO = ± -y— donnera donc |0=—. Si Ton remet pour N sa vajeur
on aura
Si dans cette formule on fait o: = o , il vient p = p»
Ainsi , dans Tellipse , la parabole et l'hyperbole , le rayon de courbure correspondant à l'extrémité du grand axe, ou à l'extrémité de l'axe réel, est équivalent à la quantité p qu'on nonune le paramétre.
Si là courbe proposée se réduit à la parabolej^*=:2^x, on^9 = b,et
2»« Exemple : L'ellipse ou l'hyperbole — ±*^ = ±:i . On trouve
rV'==F*4.
234 CALCUL DIFFÉRENTIBL.
/ puis y en remettant pour N sa valeur,
ab ab
Si Ton considère en particulier Tellipse — + ^ = i , on trouve , pour le rayon de courbure à rextrëmîté de Taxe a, |P = — , et pour le rayon de courbure à rextrémité de
3"*® Exemple : La cycloïde. Nous avons trouvé
d'où
et par suite,
Ainsi , dans la cycloïde , le rayon de courbui'e est double de la normale ; par conséquent ce rayon de courbure s'évanouit avec la normale, et la courbure est infinie dans tous les points où la cycloïde rencontre la base, c'est-à-dire dans tous les points de rebroussement, tandis qu'à chacun des sommets le rayon de courbure devient égal au double du diamètre du cercle générateur.
130. Si l'on cesse de prendre l'abscisse x pour variable indépendante, on trouvera
taiigT = ±^, r = ±: arc tang ^.,
VIHGT-TROrSlÈMB LEÇOÎf. 235
et réquation - = ± —donnera
j^nz j— ^nz -7-3 .
^ {dx^+dx-y
Dans le cas particulier où l'on prendra Tare s pour variable indëpendanle, Téquation dx* +rf^' = J5* donnera
dx d^x + djrd*jr = o , et Ton en condura
d\y d*x dxd*x >^ dyd^x \/{d^xY-i-{d^xY
dx '^ dy'^ dx^-^dy^ ~" \/dx^-\-dy^
on aura donc dans ce cas
P ds^ '^Wds^J \^V J *
131. LorsquW veut appli<juer ces formules à la détermination du rayon de courbure d'une courbe, il faut commencer par exprimer les différentielles dx^ d^x^ dy^ d*yj en fonction des coordonnées et de la différentielle delà variable indépendante. On se trouvera dispensé, dans chaque cas particulier, de faire un calcul de cette espèce , si Ton emploie la formule générale que nous allons établir.
Soit u = f (x^y)=o^ l'équation de la courbe donnée : on aura , en différentiant deux fois ,
du . ^ du .
— ^ix *+• — dy = o ,
dx ^dy ^ '
du . du . fd^u , 7.d*u , . d*u , \
tix dy -^ \dx* ^ dxdy -^^dy* -^ ) '
236 kl^LCUL DIFFÉRENTIBL.
et par conséquent dy^ dx dyd^x-^dxd^y , {dx* + dy*Y
yfdu\' . (du^-^^*^ *y J [u)-^(^)]
En substituant dans la valeur de p et remplaçant les différentieUes dx^ dy^ par les quantités proportionnelles
-7- , — 3- , on trouvera définitivement . dy dx
[du^d^u du du d*u /d»Yd*u
</» Y d^u I ^A^K^xJ ^* ^ dx dy dxdy ^^ \dx ). dy^
KiHÏJf
Si les variables x, j^ étaieut séparées daq^ l'équation u = o , c'est-à-dire si la fouction u se composait de deux parties, dont Tune renfermait la seule variable a:, et l'autre la seule variable j^, on aurait
d*u dxdy "~
et
duyd^u . fdu\^d^u
/'du\*d*u /du \^J dx^ \dx
^ rfdii\' /duyx^
mh (I)"]
3i Ton applique cetteformule aux courbes citées plus haut ,
VINGT-tROISlÈME LEÇON» 287
on retrouvera immédiatement les valeurs déjà obtenues pour p.
Nota, p en une quantité absolue , une longueur *, il faudra donc, dans les équations qui précèdent, réduire le double signe ± au signe + ou au signe — , de manière à obtenir pour p une valeur toujours positive.
132. Si (fig' 20) à partir du point (x^y) on porte sur la courbe donnée et sur sa tangente, prolongée dans le sens de Tare s , des longueurs égales et infiniment petites MM', MM, , représentées par i , on trouvera , pour les coordonnées de l'extrémité M, de la deuxième longueur,
, .dx dy
vèP pour les coordonnées de l'extrémité M' delà première ^
I et J désignant des quantités infiniment petites \ car eu supposant que les coordonnées x exy étant exprimées en fonction de l'arc 5 pris pour variable indépendante , on ait
les coordonnées a?', y^ correspondantes à 5 + t seront
dx , I* ( d^x . ,\
y'^x (H-0 = AS W + iid W + 7^ [ ;k" W + J ]
Cela posé , i^ la droite M.M' qui joindra les extrénùiës de ces longueurs, sera sensiblement perpendiculaire à la tangente, ou sensiblement normale à la couil>e. En effet, en appelant a., S^ les angles que cette droite fait avec les axes des a: et desj^; a, S les angles de la tangente arec ces mêmes axes , on a
cos «X cos^x
ou , à très peu près ,
cos «I cos ^x
on a d'ailleurs rigoureusement
cos« cosC
dx djr
. De plus, en différentîant Téquation dx* + dy* = ds^^ et regardant l'arc s comme variable indépendante , on aura
dxd^x + djrd^y = o,
et en substituant pour dx^ dy^ d^'x^ d^y^ les quantités prop ortionnelles
COS«, cos C, cos 4x» COSb,,
cos£t cos «1 + cosC cos^c = o :
or cette dernière équation exprime que la droite M, M' est perpendiculaire à la tangente *, donc, etc.
2®. Si nous appelons à la longueur M«M', nous aurons
et par suite
m>mi
7 = lini. — îT,
YINOT-TROISIÈME LEÇON. 2ig
Mais en prenant, comme nous Pavons supposé, Tare s pour variable indépendante , et désignant par p le rayon de courbure, on a
on aura donc
' mMm'1
p = lim. — ^.
En conséquence, pour obtenir le rayon de courbure d'une courbe en un point donné , il suffit de porter sur cette courbe et sur sa tangente prolongée dans le même sens , des longueurs égales et infiniment petites , et de diviser le carré de Tune d'elles par le double de la distance comprise entre leurs extrémités; la limite du quotient est la valeur exacte du rayon de courbure.
Corollaire. En appelant X, fji les angles que fait avec les axes la normale à la courbe, au point x^j'^ et remarquant que ces angles sont, comme on vient de le prouver, sensiblement égaux à a^ , Si , ou sont les limites des deux angles «i , Si , on trouvera rigoureusement, en prenant l'arc 5 pour variable indépendante,
cos A
COSf€ , I
ds- ds- y\dFj ^K'dF)
, d*x dW
et par smte cos a = ± p --— , cos a = do. p —r- .
135. Le centre de courbure correspondant à un point (x, y) , sera placé par rapport à ce point du côté des y positifs, ou du côté des j^ négatifs, suivant que la valeur
du rapport —, r étant l'angle de la tangente avec le demi-
24o ClLjJCVh DIFFÉRENTIEL.
axe des x positifs , déterminé par Féquation tang r = — ,
sera elle-même positive ou négative. En effet , le centre de courbure étant le point d^intersection de deux nor^ maies infiniment voisines , il est clair que la courbe tournera toujours sa concavité vers ce, même centre. Or la courbe tourne sa concavité du côté des j" positifs lorsque la valeur dey" est positive, du côté dfes ^ négatifs dans le cas contraire ^ donc aussi le centre de courbure sera situé par rapport au point M du côté desy positiÊ , ou du côté des j' négatifs , suivant que la valeur de jr*' sera positive ou négative.
dr r"
D^ailleurs, l'équation ^- = \^ ,^ nous montre que
dr . , * .
— et jr" étant des quantités de même signe , on pourra
évidemment consulter le signe de la première au lieu du signe de la seconde ; donc , etc.
D est bon d'observer, i^ que la valeur et le signe dû
rapport — restent les mêmes quelle que soit la variable
indépendante ; 2° que ce que nous venons dédire s'applique non-seulement à l'angle t , mais encore à l'Un quelconque des angles déterminés par l'équation 6=rarc tangj^', qui ne diflèrent de t que par des quantités constantes.
VINGT-QUAtmÈME LEÇON. 'l^t
Détermination analytique du centre de courbure. — Théorie des développées
et des développantes.
iZÂ. Soit p le rayon de courbure d'une courbe plane correspondant au point (pc^j)^ et ^, yjles coordonnées du centre de courbure : ce centre n'étant autre, chose que l'extrémité du rayon p porté sur la normale à partir du point {pc<) y)^ et du côté vers lequel la courbe tourne sa concavité, ses coordonnées | , m vérifieront l'équation de la normale ; on aura donc
et de plus
on tire de ces équations
I— ^. n—y __^ [(g — x)*4-(y— 7)']^ =:H- Ji
djr '~' dx \/dx^ + dy^ ^^
En ayant égard à l'équation - = ± — , et se rappelant
que le centre de courbure sera situé par rapport au point ipc^y)^ du côté des y positifs ou négatifs, ou que la dif-
férencej^ — yjsera négative ou positive, suivant que — sera une quantité positive ou négative , et que par conséquent y — y? et .— sont des quantités de signes contraires, T. i. 16
2^2 CALCUL BIFFÉSEHTieL^
on trouvera
tfy dx rfr'
Ces deux équations serviront dans tous les cas à déterminer les coordonnées ^ , yj du centre de courbure. Si Ton prend x pour variable indépendante, on aura
dr y" dr drdx i /'
dx 1 + /'*' dy dx dy y* '+/'*'
Si Ton cesse de prendre x pour variable indépendante , Péquation tang t =j^' donnera
dr dy dxd^y — dyd*x
cos*T éir rfo:* '
I dxd^y-'^dyd^x dxd^y '-^dyd^x
^ I -f- tang* T S* 5r»^JP^^ '
et par conséquent
dxd^y^-^'dyd^x^ dx d^jr^'^^yd^x
Multipliant la première de ces équations par cPx et la seconde par d*y^ et ajoutant, on trouverait
(g — x) d^x + {n — y) d^y = dx* + dy"" = ds* ,
ou
11 serait facile d'établir directement cette équation, qu'on
^eut mettre sous la forme
5 — X d*x . 1» -*- r d^Y fî ds^^^ p ^ ds*
rn {-—X -91 Y . . d^X d*Y
en effet, -y- et -y-, ainsi que p — , p ^, expriment également , lorsqu'on prend l'arc s pour variable indépendante , les cosinus des angles X, fi que la normale prolongée vers le centre de courbure fait avec les axes ; de sorte que Téquation précédente se réduit à l'équation identique
CCS "A + cos'^ = I .
Dans le cas particulier où l'on prend l'arc s pour variable indépendante , les équations
I— jr=pcosA=p» — , n — y = pcos/*=p»^,
donnent , en mettant pour p ' sa valeur (n® 130) ,
^ "" "df»j?Y / dy Y '
ds^ ) \ds^ dx^A-dY^ dx^-^dY^
135. On peut enfin parvenir à des équations qui expriment immédiatement les coordonnées du centre de courbure au mtoyen des coordonnées x, y et des dérivées partielles de l'équation de la courbe, m=o. En effet, les équations
du, du
donnent
S — X __ n — X [l — x)d^X'\'(in — y)dy
du du du . , du ,^ '
— -— — - rf*a?-f- -7- dy
dx dy dx dy ,
244 'calcul différentiel;
mais nous avons trouvé
du , du , . f d^u , d^u , , . rf*« , \
( l—x) d\x + (9 — y)d^y = dx* + dx*i
on aura donc aussi
