I-— x ■ n'-^x dx^ '\' djr
du "^ du ■" d*u , I d^û~~ . d*u , ,'
--— -— dj?* -4- 2 dxdy -4- dy *
dx df dx^ ^^ dxdy '^ ^ dy^ -^
puis, en substituant aux différentielles ^, £^ les quantités
du du ,^ . . lï
^, — ^ qui leur sont respectivement proportionnelles,
on trouvera
fduy , /duV
\dx)+\dp)
du du /du\*d^u dudud^u
^ ^X \^y ) ^*- dxdy dxdy
, ^ , ^5:si.^(-)--
lorsque dans Téquation i/=o les variables a?, j- sontsépa-
rées, on a = o , et la formule précédente se réduit à
(du^ rdu\^
du du /dnV'd^u fdu^d^u
dx dy \^yj ^* \^J dy^
Au moyen de l'une ou de l'autre de ces deux formules ,
VIBGT-QUATRIÈME LBÇOM. ^45
on déterminera immédiatement les coordonnées | , tj du centre de courbure correspondant au point (jc, y) et le rayon de courbure p. r
i36. Nous avons trouvé que les coordonnées et Ip rayon de courbure vérifiaient toujoui*s les trois équations
f a—^Y + (9 — r)*= PS {i—a:)dx+{fi — y)dy = o, ^ ^ \ {l—x)d^x + (« — y)d^r — dx^ — dy^ = o,
qui suffisent pour déterminer ces trois inconnues en fonc* tien de j:, y. Il est essentiel de remarcpier que l'on retrouve la deuxième et la troisième équation lorsqu'on différentie la première et la deuxième , comme si les deux inconnues |, >?, étaient des quantités constantes.
Lorsque le point {pc^y) vient à se déplacer sur la courbe donnée, le centre de courbure se déplace en même temps. Si le premier point se meut d'une manière continue sur la courbe dont il s'agit, le deuxième décrira une nouvelle courbe. Or pour obtenir l'équation de cette dernière, il suffira évidemment d'éliminer x^j entre l'équation m = o et deux des équations qui déterminent $ , »? , par exemple,
{i—x)dx'^fi—x)dj=Oy {l—x)d^x+{n-x)d^x—dx^—dy^=zo,
du du
dx djr
L'équation résultant de l'élimination ne renfermera plus que les deux variables | , y? et représentera précisément la ligne qui sera le lieu géométrique de tous les centres de courbure de la courbe donnée. En supposant que x ^y^ dx^ djy d*x^ d^Jt etc. , tiennent la place de leurs valeurs en ^, y? dans les équations (a), ces équations appartiennent évidemment à la ligne lieu de tous les centres
246 CALCtJL DIFFÊEENTICL.
de courbure ; les différentieUesde ces équations lui appartiendront donc également. Or, si Ton différentie les deux premières, et si l'on supprime les termes qui s'évanouissent en vertu de la seconde et de la troisième, on trouvera
(g — x)di + (v — 7)fl?v = pdp^ didx + diidx=:o
cette dernière équation exprime que les tangentes menées à la courbe donnée par le point (j: , j^) , et à la nouvelle courbe par le point (| , >?), sont perpendiculaires entre elles , ou que la normale à la courbe donnée est parallèle à la tangente à la seconde courbe. Par conséquent , le rayon de courbure qui coïncide avec la normale , et vient aboutir au point (|, yj), sera en ce dernier point tangent à la seconde courbe.
Déplus, si l'on nomme a l'arc de cette nouvelle courbe compris entre un point fixe et le point mobile $, >? , on aura
et l'on tirera des équations
(I — j?) rfj? + (« ""^) dy =: Oy d^dx -^ dtjdj- ^= o, (I — x)di+ (9 — x) ^*J = P^P^ di df, {%—x)dl+{n—y}dn .\/'dV+d^'
dp I- ^^
On trouvera par suite
dp=:±do-^ rf(pqp<r)z=o,
OU en faisant, pour plus de commodité, j&qpcr=q?(jr:), La dérivée de la fonction cf(x) étant toujours nulle,
VINOT-QtfàfRliME LEÇOfl. ^4y
cette fonction sera constante et son accroissement toujours ëgal à zéro, puisque l'on a
on a donc enfin Ap zp Aa = o, Ap = ±i Aa,
Cette équation prouve que Tare Aa renfermé entre deux points de la nouvelle courbe est égal, au signe près, à la différence des rayons de courbure qui aboutissent à ces deux points. Ajoutons que le signe du deuxième membre de Téquation Ap = ±i Acr sera le signe du deuxième membre des équations
dœ fi di
la-
Les premiers membres — , — sont les cosinus des angles
que fait avec les axes la tangente à la nouvelle courbe prolongée dans le sens de Tare (7*, les seconds membres
— — , — sont les cosinus des an£;les que fait avec les
mêmes axes le rayon de courbure mené du point (x , j) au point I , y? ^ on en conclura facilement que Tare a et le rayon p croîtront simultanément ou que Ton aura Ap=Aay si la tangente à la nouvelle courbe prolongée dans le sens de l'arc (7, coïncide non pas avec le rayon p, mais avec le prolongement de ce rayon au-delà du point Ç , rj , tandis que dans Thypotlièse contraire le rayon p venant à croître, l'arc a diminuera, et l'on aura Ap = — A<t.
137. Cela posé, concevons (fig- 2i) qu'un fil inextensible , fixé par une de ses extrémités /x , et d'une longueur égale à celle du rayon de courbure p, soit d'abord appliqué sur ce rayon ^ puis que ce même fil restant toujours tendu vienne à se mouvoir de telle sorte qu'une partie s'enroule sur l'arc ifc A(7 compris entre le point |^ ou (|, w) et le
2^8 CALCUL DIFFÉILBMTIEL.
point f*' OU (I + AÇ , 19 + A19). L'autre partie qui restera droite et touchera la nouvelle courbe CC au point fx', aura évidemment la longueur du rayon de courbure à ce point , puisque dans le cas dont il s'agit
Aff" = — Ap, M'/«' = M'/« — ^' = p — Ao- = p+ Ap = p',
et par conséc^uent celle des extrémités du fil qui coïncidait d'abord avec le point Mou(j: , j) coïncidera actuellement avec le point M' ou (x-^Ax^j + Ay) situé sur la courbe A A' 5 comme notre raisonnement subsiste, quelle que soit la longueur de l'arc A<7, nous devons en conclure que le fil inextensible , en même temps qu'il s'enroule sur la nouvelle courbe, décrit, par son extrémité mobile, la courbe donnée.
La même courbe se trouvera encore décrite., mais en sens contraire, si , après s'être enroulé sur l'arc dz Ao", le fil se meut de manière à revenir à sa position primitive. Dans ce. mouvement, la portion du fil qui s'était appli* quée sur l'arc ±: Ac se développera de nouveau en ligne droite. On appelle déi^eloppée (l'une courbe donnée AA', la courbe CC dont les arcs se développent en ligne droite sur le rayon de courbure de la première , et qui , comme nous venons de l'expliquer, peut servir au tracé de la courbe donnée A A'. Au contraire , la première courbe décrite par l'extrémité mobile du fil enroulé sur la seconde est la développante de celle-ci.
158. i" Application, Supposons qu'il s'agisse de trouver le lieu des centres de courbure de la cycloïde , représentée par le système des équations
jr = R (« — sin •), j = R(i — cos«),
nous prendrons, pour éliminer :c , j^, les deux équations
dr dx
dans le cas dont il s'agit
dy Rsin«» sin«
tansr = -^ = — ; r =
^* dx R(f — cos«) I — cos«»
2sin-cos— cos-
= =: '=:COt-,
2Sin*- srn-
ce qui exige que t soit de la forme ib /itt H , on
aura donc
T = 31 /tir H 9 rfr = — - a* ,
-f-=— 2Rsin*, -7"= — 2R(i — cosâ»), dr dr
et par suite
Izzzx + !iK miâf = R(« + sin«),
1» = ^— 2R(i — cos*) =±: — R(f —- cos<n);
si nous posons co = œ' + it , il viendra
{ — srR = R(«»' — sinVi), v -f- aR = B.(i -r- cos*').
Telles sont les deux équations dont Tensemble représentera la développée , ou qui , par Télimination de x , conduiront à Téquation de la développée. Celte courbe passe évidemment par le point qui , répondant à œ = o , co' = tt , a pour coordonnées | = ttR , y? = — 2R , et n'est autre chose que le centre de courbure correspondant à l'ordonnée maximum de la première branche de la cycloïde. Transportons l'origine en ce point , en changeant | en I + ttR , ifj en 73 — 2R : les équations de la développée sont alors
|=R(<w' — sin<v'), if = R(i — cos*'); et comme elles sont toutes pareilles aux équations de la
25o ^ CALCUL DIFFÉRBMTIBL.
cycloïde donnée, nous en conclurons qu'une cycloïde a pour développée une autre cycloïde de même forme et de mêmes dimensions dont les points de rebroussement coïncident avec les centres de courbure correspondant aux points milieux des diverses branches de la première. Ajoutons que les points de rebroussement de la première sont en même temps les points milieux des diverses branches de la deuxième, et que la base delà deuxième cycloïde se confond avec la droite qui a pour équation j^ = — ^R. Il serait facile d'établir les équations
{ = dr-|-aRsin4>, » =— j,
en partant du principe démontré que le rayon de courbure de la cycloïde est double de la normale, quand la base est prise pour axe des oc. En eflfet, en vertu de ce principe, le milieu du rayon de courbure M/x {fig* 2a), c'est-à-dire
le point qui a pour coordonnées — : — ,"^- , coïncide
avec le point dans lequel la base est touchée par le cercle générateur dont l'ordonnée est nulle et dont l'abscisse est Rû) =: or -t- R sinw. On a donc
^^ = ;r+Rsin«, ^1+1 = 0,
4'où l'on déduit immédiatement les équations cherchées. On peut même , sans recourir à ces formules , et à l'aide du seul principe que nous venons de rappeler, déterminer la nature de la courbe qui sert de développée à la cycloïde. Pour y parvenir, décrivons (^fig* 22) avec le rayon R deux cercles égaux qui aient leurs centres placés sur l'axe desj^, l'un au-dessus, l'autre au-dessous de l'axe des x^ et qui touchent ce dernier axe à l'origine des coordonnées. Concevons ensuite que l'on fasse rouler ces deux cercles , le premier sur l'axe des x , le deuxième sur la droite pa-
VINGT-QUATRIÈME LEÇON. sSï
rallèley =: — aR , de manière qu'ils ne cessent pas d'avoir Taxe des arpour tangente commune. Les rayons qui dans le premier instant aboutissaient à Torigine des coordonnées, tourneront autour des centres des deux cercles et décriront en même temps des angles égaux , d'où il résulte, 1° que ces rayons CM et yix seront toujours parallèles; 2® que la droite M|x qui joindra leurs extrémités, passera par le point de contact et sera divisée en ce point en deux parties égales. Or la partie MN comprise dans le premier cercle sera évidemment la normale delà cycloïde proposée que décrira le premier rayon ; donc le rayon de courbure de cette courbe égal au double de la normale, coïncidera nécessairement avec la droite entière M[i. , et le centre de courbure avec l'extrémité du second rayon y^i 5 donc le lieu des centres de courbure ou la développée de la même c<)tu4>e sera précisément la seconde cycloïde décrite par cette extrémité.
Corollaire. L'arc Afx de la cycloïde est égal au rayon de courbui*e Mji* , et par conséquent la demi-cycloïde entière
AA' = A'D = 4R. En général, Afx = d == 2 1/2%^-, la cycloïde est une courbe rectifiable.
2"*® application. Considérons l'ellipse représentée par l'équation
OU
d'où
d» X du y d^u i d^u I d^u
du\^ d^u ^ ( du\ d^a i f x^ ^ y*
fdu
â*'"V/ir.J //*pa"~" /»a/.a l y,a"'"Aa ) '^
dyj dx*^\dxj dy^ a^b* \a*^^ b* J a*b*
aSa
