CALCUL

la formule

du

du ~

dx

df

donnera

\^) dx^ "^ \dx) dy^

d'où Ton tire

Si, en supposant que a soit le grand axe de Fellipse, on

pose

on trouvera

a7 ' 6"" Vb

En substituant ces valeurs de - , ~ dans Téquation

x^ , y^ il vient

i)*+(iy='

Telle est donc l'équation de la développée de Tellipse. On peut ]a transformer de manière à ce qu'elle ne renferme que des puissances entières des variables. En effet, après

VlNGt-QXJAtRlÈME LfiÇON. a53

avoir élevé chacun des deux membres à la troisième puissance, on en tirera ^

-$-i^=<âna^(i7]=KËj.

et par suite

On conclura aisément de ces équations, que la développée de l'ellipse {fig> ^3) est xme courbe fermée , divisible en quatre parties superposables par deux axes qui coïncident, comme ceux de l'ellipse , avec les axes coordonnés et qui rencontrent cette développée en quatre points dont les distances, à l'origine, sont A et B. Ajoutons que chacune de ces parties de la développée touche les axes en les rencontrant, et qu'en conséquence chacun des points de rencontre a, a', 6, 6', est pour cette courbe un point de rebroussement. Les rayons de courbure, aux sommets, sont re-

présentes respectivement par — et -r.

3™® Application : à l'hyperbole — — ^ = ^ • On reconnaîtra que l'équation de la développée se réduit , en posant A = , d = — 7 — , a

et l'on conclut de ces équations que la développée de l'hyperbole {fig- 24) est xme courbe qui s'étend à l'infini , qui se trouve divisée par les axes des coordonnées en quatre partie» égales , et qui se compose de deux branches séparées , dont chacune a un point de rebroussement situé sur le prolongement de l'axe réel de l'hyperbole, à la distance A de

égal à — .

^54 CALCUL DIFFÉRBNÏIEL.

Torigine. Le rayon de courbure au sommet de Vtae réel est

^^^jipplication : à la parabole j^' = apx^

d'où

du du d*u J*u d*u

donc

En substituant ces valeurs dans Féquation y^ = npx^ on trouvera

On reconnaîtra facilement que cette développée (Jig* 25) s'étend à l'infini du côté des x positives, qu'elle a pour axe l'axe de la parabole et qu'elle rencontre cet axe en le touchant au point dont l'abscisse est p* Ce point est un point de rebroussement ; si l'on y transporte l'origine des coordonnées en changeant | en f + /? 5 l'équation de la développée deviendra

3 JL i. /2\* ^^J. 1

et il en résulte que toute parabole du second degré a pour développée une autre parabole du degré j ou |.

VtBTGT-ClNQUlÈME LBÇOK. 255

VINGT-GINQUIEBIE LEÇON.

Du contact des courbes. — De Tordre de ce contact.

139. On dit que deux courbes se touchent lorsqu'elles ont un point de commun et une tangente commune. De plus , lorsque deux courbes A"B", A'B' touchent la courbe AB au même poii^t M, la courbe A'B', qui passe entre les deux autres , est regardée comme ayant avec la courbe AB un contact plus intime que la courbe A"B". Les géomètres distinguent ainsi des contacts de divers ordres , que Ton parvient facilement à définir au moyen de la considération des coefficients différentiels ou fonctions dérivées.

Soient j^ = F(jc), y = fix)-, les équations de deux courbes rapportées à des coordonnées rectangulaires. Supposons que X soit Tabscisse d'un point commun à ces deux courbes \ les ordonnées correspondantes à une abscisse voisine X + A seront respectivement

F(.)+^F'(x)+^F"H + rifc^FOW

a56 CALCUL DIFFÉRENTIEL «

Si elles ont une tangente commune au point x^y^ on aura en ce point, non-seulement F(x) = f{pc)^ mais encore F'(x) = f'{pc)\ et il sera certain qu'aucune autre ligne y z= (f(x) ne pourra passer entre les courbes proposées, à moins que Toii n'ait également 9'(^)=*F'(jc)=/'(j:). En eflfet, la différence entre les ordonnées des deux courbes proposées correspondantes kx+h peut être exprimée par

tandis que si la condition dont il s'agit n'avait pas lieu , la différence entre l'ordonnée de la troisième courbe et celle de la première serait exprimée par

[F.'(x + eh) — (p'{jr -f a'A) .] h .

Or il est visible que quand h est très petit, la seconde différence est plus grande que la précédente ; donc la courbe y = (f(x) ne passe pas entre les deux premières.

On dit de deux lignes qui ont un point commun et pour lesquelles le coeflScient différentiel du premier ordre a la même valeur en ce point , qu'elles ont entre elles un contact du premier ordre.

140. Admettons maintenant que pour les deux courbes proposées les coefficients différentiels des deux premiers ordres aient des valeurs communes, la différence des ordonnées de ces courbes qui répondait à l'abscisse a: -f- A , sera exprimée par

-^ [F> + ok) -/"(x + n}],

tandis que pour une troisième courbe y = y(x), qui ne satisferait pas à la même condition, mais qui toucherait cependant la première , la différence des coordonnées se-

rait exprimée par

fit lorsque h est très petit , celte seconde diflférence est plus grande que la première^ la troisième courbe ne pourra donc jamais passer entre les deux premières, que l'on dit avoir entre elles un contact du second ordre. On dit aussi , dans ce cas , que les deux courbes sont osculatrices, parce qu'en sus de la tangente commiuie elles ont évidemment le même cercle osculateur. En eflFet, la direction de la tangente , le centre et le rayon du cercle osculateur ne dépendent, comme nous l'avons vu, que des deux premières dérivées y\ y'\ qui ici, par hypothèse , sont égales; donc , etc.

Réciproquement , si deux courbes ont en un point commun même tangente et même cercle osculateur, leur contact sera du second ordre , parce que les deux premières dérivées auront nécessairement la même valeur.

1-41 . Considérons {^fig' 26) deux courbes qui se touchent en un point donné M ; si du point de contact comme centre et avec im rayon infiniment petit, on décrit un cercle , ce cercle coupera les deux courbes en deux points très voisins l'un de l'autre P et Q , et le rapprochement plus ou moins considérable des deux courbes à la distance i du point de contact, aura évidemment pour mesure la longueur infiniment petite PQ , comprise entre les deux points dont il s'agit, ou, ce qui revient au même, la corde PQ de l'arc de grand cercle renfermé entre les deux courbes 5 si nous appelons co l'angle très petit compris entre les rayons menés à ses extrémités , cet arc et sa corde seront

respectivement mesurés par les produits zo) , ii sin -. Si les

deux courbes changent de forme, de telle manière que, se touchant toujours au point donné, elles se rapprochent T. I. 17

258 CALCUL bllPFÉRBlfTlCL;

davantage Tune de Tautre dans le voisinage de ce poilit^

les valeurs de l'expression 21 sin - diminueront nécessai^

rément , ce qui suppose que la fonction de 1 , représentée par Cl), diminuera elle-même. Si au contraire le rapprochement des deux courbes devient moindre , les valeurs de tù croîtront nécessairement, de sorte que le rapprochement des deux courbes sera plus ou moins considérable suivant que les valeurs de o), correspondantes à de très petites valeurs de / , seront plus ou moins petites. Dès-lors on pourra énoncer le théorème suivant :

Théorème i®*". Si deux courbes se touchent en un point donné, et que l'on marque sur ces deux courbes deux points situés à la distance infiniment petite i du point de contact , le rapprochement entre les deux courbes , dans le voisinagede ce point, sera d'autant plus considérable que Tordre de la quantité infiniment petite a> sera plus élevé : en effet , cette quantité co sera d'autant plus petite que son ordre sera plus élevé.

Cela posé , il est naturel de prendre l'ordre de la quantité infiniment petite co considérée comme fonction de la base I , pour indiquer ce qu'on peut appeler l'ordre de contact des deux courbes. Soit a cet ordr*e^ puisque le

SID'— ta

rapport , ' a l'unité pour limite, le produit

» sioxâr . »

; — — = 2 Sm-

sera encore une quantité infiniment petite de l'ordre a ,

tandis que les expressions iû), 2/ sin- seront dès, quanti-

tés infiniment petites de l'ordre a -}- i, donc :

Théorème 2™®. Lorsque deux courbes se touchent en un point donné, l'ordre du contact est inférieur d'une imité à l'ordre de la quantité infiniment petite qui re-

VINGT-CINQUIÈME LEÇON. aSg

présente la distance entre deux points situés sur les deux couii>es, également éloignés du point de contact , et dont la distance à ce point est un infiniment petit du premier ordre. Il est bon d'observer que la droite qui unit ces deux points étant la base d^un triangle isoscèle MPQ , et opposée dans ce triangle au très petit angle o) , sera sensiblement perpendiculaire aux deux côtés de ce triangle , et par suite à la tangente commune aux deux courbes , tangente dont les deux côtés diffèrent très peu. La surface du triangle est d'ailleurs égale au produit { i* sin co et par conséquent à une quantité infiniment petite dont Tordre a -f-a surpasse de deux unités Tordre du contact des courbes. 1-42. Concevons maintenant qu'après avoir décrit du point M, avec le rayon infiniment petit MP = MQ = i , un arc de cercle , on mène par le point P une droite PS qui fasse avec la tangente commune un angle y. Dans le triangle PQS, le côté QS, sensiblement parallèle à la tangente comniune , parce qu'il coïncide avec une corde dont les extrémités situées sur Tune des courbes sont très voisines du point de contact , formera évidemment avec les deux autres côtés PQ , PS deux aijgles finis dont le premier différera très pçu d'un angle droit, et le second de l'angle y, on aura donc, en désignant par e et e' deux quantités infiniment petites,

sin(j±.j sing±.) ^

PS= . ) . ,\ PQ- , ; V. ;.2/sm-. sm(yrE;f') sin(y±i ; ?.

Déplus, si l'on abaisse du point M sur PS la perpendiculaire MR , l'angle MPS étant sensiblement égal à y , on

aura

MR = MP sin(y ±t'') = î sin(y ± «'');

or les valeurs de PS et de MR prouvent, i^que si w et ôinco sont des infiniment petit» de Tordre a , c'est-à-dire que si

l6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

les courbes données ont entre elles un contact de Votdt& a, la distance PS sera un infiniment petit de Tordre a+ 1 •, 2° que cet ordre ne variera pas si, au lieu de pren-* dre pour base Finfiniment petit du premier ordre MP= i , on prenait pour base la perpendiculaire MR, puisque cette perpendiculaire est elle-même im infiniment petit du premier ordre dans le système dont la base est MP ou li On conclut inmiédiatetnent de cette remarque le théorème qui suit :

Théorème 3™*. L'ordre de Contact de deux courbes planes qui se touchent en un point M , est inférieur d'une unit^ à Tordre de la distance infiniment petite comprise entre les deux points P et S , où les deux courbes sont rencontrées par une sécante qui forme un angle fini avec la tangente commune , dans tout système où la distance du point de contact à la sécante dont il s'agit est un infiniment petit dii premier ordre.

\4i5. Si les deux courbes sont représentées par deux équations entre des coordonnées rectangulaires ou obliques, et si la tangente commune n'est pas parallèle à Taxe des jr^ alors , en supposant la sécante parallèle à ce même axe, on déduira du théorème 3™^ la proposition Crante :

Théorème 4™*« Pour obtenir Tordre de contact de deux courbes planes qui se touchent en un point où la tangente commune n'est pas parallèle à Taxe des j^, il suffit de mener une ordonnée très voisine du point de contact et de chercher le nombre qui représente Tordre de la portion infiniment petite de cette ordonnée comprise entre les deux courbes dans le cas où Ton considère la distance du point de contact à l'ordonnée comme infiniment petite du premier ordre ^ ce nombre diminué d'une unité indique Tordre de contact cherché.

Corollaire i". Soient y = f{x)^ y = F (a:), les équations des deux courbes planes, elles aiu*ont un

VINGT-GIIVQIJIÈMB LEÇON. 26 1

point commun correspondant à une valeur donnée dejr, et en ce point une tangente commune non parallèle à Taxe desjr^ si pour la valeur donnée de x les équations des deux courbes fournissent des valeurs égales et finies , non-seulement de l'ordonnée y, mais encore de sa dérivée y» Dans cette hypothèse, U diflerence F(af)r-"y*(jc) qui s'évanouira pour la valeur de x relative au point conmiun , deviendra infiniment petite quand x recevra un accroissement infiniment petit ^ et si l'on considère cet accroissement comme étant du premier ordre, l'ordre de la quantité infiniment petite qui représentera la nouvelle valeur de F(.r) — fix) surpassera d'une unité l'ordre de contact des deux courbes.

Dès-lors, si les deux courbes se touchent en un point de l'axe des y^ mais sans avoir cet axe pour tangente conmiune , il suffira , pour déterminer l'ordre du contact , de chercher le nombre qui indiquera l'ordre de la différ rence F (a:) — f{p^)^ ^^ considérant l'abscisse x comme une quantité infiniment petite du premier ordre. On reconnaîtra, par exemple, que les parabolesj^= j:', j^==j:^ ont, à l'origine, un contact du premier ordre, les parabolesy = x'*+', y = x""*" un contact de l'ordre», les

deux courbes j* = x^^y=x^ un contact de l'ordre

Corollaire 2™®. Si deux courbes ont un point commun correspondant à l'abscisse a: , et en ce point une tangente conmiune non parallèle à l'axe des j", avec un contact de l'ordre a, la différence F(x) — f{^) sera nulle ^ et si l'on désigne par 2 un accroissement infiniment petit du premier ordre attribué à l'abscisse x , l'expression

sera (corollaire i*^*^) un infiniment petit de Tordre a + i,

et par conséquent, en désignant par n le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à a,

sera (n® 26) la première des expression8F(jc+i)— ^(j:-J-i), F'(a:-|-i) — f\^'¥-i)'i • • • etc. , qui cessera de s'évanouir aveci, ou, ce qui revient au même, F<"+'>(a:) — ^y^""*"^(x). sera la première des différences

Y{x) —f{x), ¥\x) —f\x), etc

qui obtiendra une valeur différente de o. Par conséquent les dérivées successives j^',^". . . jusqu'à celle dont l'ordre coïncide avec le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à l'ordre du contact, conserveront les mêmes valeurs dans le passage d'une des courbes à l'autre. Donc aussi lorsque l'ordre de contact sera un nombre entier, il suffira, pour le déterminer, de chercher quelle est la dernière des équations

/(x) = F(x), /'(ar)=F'(x), /"(:r) =F"(x),. . .

qui se trouve vérifiée par l'abscisse du point de contact \ l'ordre des dérivées comprises dans cette dernière équation sera précisément le nombre demandé.

Si la tangente commune était parallèle à l'axe des j^, il faudrait, dans les théorèmes et corollaires qui précèdent, changer x en y^ et réciproquement.

144. Dans l'application du troisième théorème, on pourra prendre pour sécante la ligne qui joindrait les extrémités de deux longueurs égales et infiniment petites portées sur les deux courbes à partir du point de contact , puisque l'angle formé par cette ligne avec la tangente commune, a pour limite l'angle droite on arrivera ainsi à un nouveau théorème :

Théorème 5"^. Pour obtenir l'ordre de contact de deux

courbes qui se touchent eu un point donné, il suffit 4e chercher le nombre qui représente Tondre ç^e la distance infiniment petite comprise entre les extrémités de deux longueurs égales portées sur les deux courbes à partir du point de contact, dans le cas où ces mêmes longueurs deviennent infiniment petites du premier ordre ; le nombre dont il s'agit, diminué d'une unité, indique toujours l'ordi-e du contact.

Corollaire. En désignant par x, /, et ^, yj les coordonnées des extrémités des dei^x longueurs égales entre elles et à /, par c^ la distance de ce6 «extrémités , par a le contact des courbes , on aura

^= \/i^'—Sy+ (/ — »;)%

et puisque â doit être infiniment petit de l'ordre a H- i , il faudra que les deux différences x — ^ , j^ — m soient elles-mêmes de l'ordre a -J- i , ou que du moins l'iuie soit de cet ordre , l'autre étant d'un ordre plus élevé , ce qui exige, en appelant n le nombre entier égal ou inmiédiatement supérieur à a , que des expressions

"^^^^ dT'' ~ir- '••• di- ' di-^^ '

•^~''' di ' di- '' • 5F~' di-^^ '

les deux dernières, ou au moins l'une d'entre elles, soient ^s seules qui cessent de s'évanouir pour / ==: o. Soient il!ailleurs ^ et a les arcs des deux courbes renfermés entre 4^ux points fixes et les points mobiles (a:, j^), (Ç, yj), on ,aMi:a di = ds = «icr, puisque les trois variables i, 5 et a dijBfèrent entre elles de quantités constantes, et l'on pourra dè^lors, ^ux expressions qui précèdent, substituer (n** 91)

les suivantes

^ dx '-^' ds-

di

d^X rf»f

d>» rf(r* '

rf»a? rf"Ç rf»+«a: rf^+^f

ds"" . dT"" ' //*» + « €i^»+«'

dx

^-" ds-

dfi dfr'

qui devront être toutes nulles,, à l'exception de Tune au moins des deux dernières ; et Ton pourra énoncer le théorème suivant :

145. Théorème &^^. Etant données deux courbes qui se touchent en un point (x, j"), si l'on considère les coordonnées X , j* de chacune d'elles commQ des fonctions de l'arc 5 pris pour variable indépendante, et prolongé dan3 le même sens pour les deux courbes au-delà du point de contact, les dérivées successives

dx d*x

dy

ds' ds*'

ds^ • ■ • •

ds'

ds': ds^' '

jusqu'à celles dont l'ordre sera indiqué par le nombre entier n égal ou immédiatement supérieur à l'ordre du contact, ne changeront pas de valeur dans le passage de la première courbe à la seconde , tandis que des deux déri-

vées - ^^^ , , ^^^ , l'une au moins prendra une valeur

nouvelle.

146. Du théorème qui précède, joint aux principes établis dans la dix-neuvième leçon , on conclura immédiatement que si deux courbes ayant entre elles un contact de l'ordre a , on désigne par n le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à û, i^ les n premières diflférentielles des variables x, j^, prises relativement à une

VINGT-CINQUIÈME LEÇON. a65

fonction quelconque r de ces variables , et même les n premières différentielles d'une fonction quelconque t de ces variables., prises par rapport à une autre fonction arbitraire u de Ces variables, ne changeront pas de valeurs quand on passera de la première courbe à la seconde; a® les différentielles de l'ordre /* -H i de ar , ^, prises par rapport à r, ou de t prises par rapport à u , changeront ordinairement de valeur quand on passera de la première courbe à la seconde, quoique le contraire puisse avoir lieu dans certains cas particuliers.

Réciproquement, si les dérivées successives

dx d*x d'^x dy d^y d^y

ds' 'd^' " ^' d^* IF'"' dF

ne changent pas de valeurs quand on passe de la première courbe à la seconde, ces deux courbes auront entre olles un contact d'un ordre au moins égal à tz.

Dans cette hypothèse, en effet, les différences x — |, /—•>}, considérées comme fonctions de/, s'évanouiront avec I ainsi que leurs dérivées jusqu'à celles de l'ordre n inclusivement, et l'on aura, en faisant x— ^ = y (/),

Cela posé, les rapports -y -■ s'évanouissant avec

i tant que a sera plus petit que /» + i , les deux différences a: — Ç, y — y}, ainsi que la distance

^= \/{x—sy+{y—^y.

^6 CALCUL DIFFÉESUTIBL.

^rout des quantités infiniment petites d'un ordre au moins ^alà n+i, et par conséquent les deux OMurbes auront entre elles un contact d'un ordre aumœns^g^là /i.

147. Si deux courbes sont telles que la forme et la position de la première étant complètement déterminées» la forme et la. position de la deuxième puiss^it varier av«€ les valeurs de plusieurs constantes arbitraires a., at^.-.a^ comprises dans son équation , on pourra disposer de ces constantes arbitraires a., a« ,... «0;», ou de quelques-unes d'entre eUes , de manière que les valeurs de jJbi^ieurs termes consécutifs de la suite j^, /'ï J^% • • • J^^"^ restent les mêmes pour l'abscisse x dans le passage de la première courbe à la seconde. Alors la seconde courbe aura, au point (x^y)^ avec la première , un contact plus ou moins intime , inférieur d'une unité au nombre des termes qui n'auront pas changé de valeur, ou représenté par l'indice .des deux dernières dérivées égales. Si n est le nombre des coiistantes * de la deuxième équation, on pourra disposer de ces n constantes de manière à ce que l'ordonnée y: et les (n — i) premières dérivées conservent la même valeur pour les deux courbes \ de sorte que parmi les valeurs qu'on peut attribuer ^ux n constantes arbitraires a,, a,,. . . a„, renfermées dans l'équation f(x^ ^y^^a^^ a^^ ... a„) = o, il existe généralement un système pour lequel la courbe représentée par cette équation acquiert avec une courbe donnée F(j:, j^, z) = o , au point dont l'abscisse est or , un contact d'un ordre au moins égal au nombre n — i . n est évident d'ailleurs qu'il existe une infinité de systèmes de valeurs des constantes pour lesquels le contact entre les deux courbes est d'un ordre inférieur à /» — i .

On détermine le système des valeurs des constantes, pour lequel le contact est de l'ordre n — i , à l'aide des n équations que l'on obtient en exprimant que l'équation fiXi-ij^t û„ at, . . . a„) = o et ses w — i équations

VINOT-CINQUIBME LEÇON. 367

dilS^rendelles snccessives

df . ,df

df df d^f T.d^f d}f

df df d^-'f

rf^. ^^djr/ ^'^dx--^^ ^ °'

sont satisfaites lorsqu'à la place des variables ar, , j^i, et * de leurs différentielles, on met x^ y ^X les différentielles ir , dy,..^ relatives à la courbe F(j:, y) = o, quelle que soit d'ailleurs lai variable indépendante.

Pour obtenir des systèmes de valeurs de a. , a« , . . . a„, qui établissent entre la courbe donnée F(a:,j^) = o etla courbe f(x^ , y, , a, , a^ ... a„) =: o uù contact d'un ordre inférieur ii iz -^ i , il suffit de conserver quelques-unes des équations de condidon.

i®"^ Exemple, Supposons que l'équation d'une courbe présente trois constantes arbitraires , on pourra disposer de ces constantes de manière à ce que cette courbe ait un contact du deuxième ordre ayec une autre courbe donnée. Pour cela, en effet, soit

/(^.» yx> «o «»> û3) = o

l'équation de la courbe dont il s'agit ^ en la différentiant deux fois, on aura

•<</ ^ df ,

-— dx, ^ ^ dy^ = o ,

dx, dy^

d^f . , ^d^f d^ f df df

et pour établir qu'entre cette courbe et une autre courbe donnée F(a:, ^) = o il y aura un contact du deuxième

a68 calcul DIFFilBaTUL.

ordre, il suffit d'exprimer 4]ueoe8éq[iiAtioiis sont satufidtes quand, avec les ooordcmnéeB dn pdnt conuct, on y met pourdbr,, d^i» ^*^n ^Jty leBnInn| des quantité dx^ djr, d^x, d^y^ tûrées de TÂpuAki! F (x, /) = o. On obtient ainsi trois équations^

dai^^^^ dxdy '^^ dj* '^ ^dx ^^ é^ ^ ^

dont on pourra tirer les valeurs des constaiiles a., Oti ^f en fonction des coordonnées x, y du point de contact. Li substitution de ces valeurs dans Téquation

.y /(«^i y ri> «M ««f «3) = o ,

conduira i Téquation de la courbe oscnlatrice* '

i«r Exemple. S'il s'agit d'un cercle dont le point (|, «) soit le centre et p le rayon, et dont l'équation soit

pour le rendre osculateur de la courbe au point x^y^^ faudra déterminer les trois arbitraires $ , y? , p, au moyen des trois équations

(j: — e)«-|.(jr„).=:p»; {x—i)dx + {x — n)dy — o\ {x — i)d*X'J^{y — ti)d*y'^dx^'\rdy^ = o,

ce que nous savions

a™* Exemple. Concevons que la courbe

/(^i> Xn û, , ûa, ... an) = o

soit une courbe parabolique dont l'ordonûée est expn mée par une fonction entière de ar , de sorte que Ton ^

jr, = flo + «xa:, 4-fl,jr; •4-... + an -a J?r"+^«-»^r'î

il tn prenant Xi pour variable indépendante /on trouvera

7*= a^a + 2 . 3 . «3 4?! + ... etc. ,

/(•-•)= i.a.3. .. (« — 2)«„,+ î .2.3... (/i— i)tf«.xa?,,

En substituant dans ces équations ky\ ^y\ . . . j^,<"""'^ les dé^ rivées j^',^", . * . j-^"-'^ tirées de Téquation d'une courbe donnée F(j:,j) = o, on déterminera les c6iistantes,.de manière que la courbe parabolique ait avec cette courbe un contact de l'ordre n — i . On obtiendra très simplement l'équation de cette parabole, en éliminant les constantes entre les n équations de condition

/=«,+2«,a>4-3«3^*+ . . . + {n — 2)û„. , a?"-^+(/l — 1 )« „, ar»-»

y'= , y"^ etc ,. ...

et Féquation

y, =:flo + fl,Xx+«aa?î +ûrn-,ar7-'.

Pour éliminer, développons le deuxième membre de cette dernière équation suivant les puissances ascendantes de (a:, — or) 5 en remarcjuant que l'on a, quel que soit m ,

1 jt On trouvera ainsi

. ai+2aaa?+3«3^*...-f-(/2-i)ûf„a:,'»~*-