I.2.3...(/l — 2)g,,a+T.2.3...(;i l)gn,,J
2^0 CALCUL DIFFÉRBUTIEL.
et en ayatit égard aux équations de condition ,
Telle est, sous une forme très simple, réqnationdelaccmrbe parabolique du degré n — i , qui a en un point donné (a: , y) un contact de l'ordre n — i avec une courbe donnée. On parvient encore à cette même équation de la manière suivante : La parabole passant parle point (x^y)^ son équation*pourk*à se mettre sous la forme
et pour qu'eUe ait un contact de l'ordre n — i avec la courbe F(a:, J-) = o , il suffit que les valeurs de
dxt d*Xi d^-y^
dx' dxy ' dx^-''
correspondantes k x^ = x ^ savoir : «i, 1.2^], 1.2.3... (/i-^2) a„j, 1.2.3 ... {n — i)fl„„,, soient respectivement égales a y, y'\ ... y ^""'^ ; on aura donc
en substituant ces valeurs des constantes dans l'équation de la parabole, on retrouve l'équation déjà obtenue.
Dans le cas particulier où l'on prend n = 2 , la parabole osculatrice se change en une droite dont l'équation est
et représente , comme on devait s'y attendre , la tangente au point (x, y^ à la courbe donnée.
148. Considérons une courbe plane dont l'équation soit j=^f{x), So\enx{fig, 27) Mo, M deux points pris sur cette
VINGT-CINQUIÈME lÈÇON. ^jt
tourbe et correspondants aux abscisses Xq^ X] l'aire A comprise entre la courbe, l'axe des x et les deux ordonnées j^oîJK? ^st une fonction de Tabscisse x que l'on ne peut déterminer que dans un petit tlombre de cas particuliers, mais dont il est facile de trouver la différentielle.
En effet, appelons Ax l'accroissement attribué à la variable or, l'accroissement correspondant A A de la fonction A représentera l'élément de surface renfermé entre la courbe, l'axe des x et les deux ordonnées/'(x),/'(xH- Aa:). Si d'ailleurs f(x+6Ax) et y(a:H-9,Aa:) sont la plus grande et la plus petite des deux ordonnées de la courbe , dans l'intervalle Ax, l'aire A A sera comprise entre les deux produits
ùx/(x + Bùx) y ùkX f{x + 6, Ax) , et par suite — - entre les deux quantités
f{x + Qùix), /(x+e,Ax).
Or à la limite ces deux quantités deviennent égales entre elles et à y (x) ] on aura donc aussi
En supposant que l'aire A croisse avec l'abscisse x , on prendra le signe •+- quand Tbrdonnée j sera négative , le signe — dans le cas contraire.
37 2 CALeUL DIFFÉRENTIEL.
Usage des coordonnées polaires poar la détermination de la tangente, do Parc , du rayon de courbure et du centre de courbure d'une courbe plane.
149.. Nous prendrons pour coordonnées polaires, i** le rayon vecteur menéde Torigine au poîntquelconque (x, y), rayon vecteur qui sera toujours pour nous une quantité positive 5 a** l'angle u que fait ce rayon vecteur avec l'axe des X positifs ; l'angle u sera positif lorsque le rayon r se sera mû de droite à gauche , négatif dans le cas con* traire ^ cet angle peut d'ailleurs accpiérir toutes les valeurs possibles. On a généralement
X •=: r cos Uj jr =z r sin a.
Pour transformer une formule quelconque en coordonnées polaires , il suffira de substituer dans cette formule , à la place des coordonnées x, j^, de leurs dérivées et de leurs différentielles , leurs valeurs tirées de ces deux équations.
I®' Exemple : On demande de déterminer en coordonnées polaires l'angle t, que la tangente en un point quelconque fait avec l'axe des x. On a
du df sin tt ar -)- /• cos udu ° dr
dx cos u dr — r sin udu rdu *
I— tangw —
du tansr — taneu
r — = — -5 ^^^— = tîing (t—u\
dr I -}- tangrtangtt ^^ '
donc
. . du , . dr
tang (t — «) = /•—-, cot ( r — a) = — —, . ^ ^ ' dr • ^ ' rdu
Si, en considérant ii comme variable indépendante, onde-* signait par r\ r" les dérivées de r relatives à u , on aurait
tang (r — II) = —, cot (t — m)= —.11 serait facile dèslors de trouver l'équation polaire de la tangente et de la normale. L'équation polaire d'une droite , qui passe par un point dont les coordonnées polaires sont !/<,, r^, et qui Élit avec le demi-axe des x positifs l'angle r , est r rin (m — t) = Tq sîn (i/© — r). En eflFet, si dans l'é-
q[uation tang t = =^, oh substitue pour j:,j^, x^^^y^^
leurs valeurà , on trouve
sin r rsîn u — /• sin u^
tang r = = ,
^ CCS r r ces u-^r^ ces u^
r (sin T cos m — sin m ces t) == r^ (sin r cos u^ — sin u^ ces r ) ,
r sin (it — t) = To sin (tt© — r).
Cette équation est susceptible d'une transformation avantageuse. En ejBfet, on a
u — r = (a— «o) 4- («o — r) , sin («— r) = sin (a— Wo ) ces («o ' — r) -|- sin [u^ — t) cos(a— «o) 9
et jparce que rsin(M — T)==rosin(i/o — t),
rsin(tf — Mo) cos(ieo — r)-|-/"sin («o — t)cos (m — Wo)= ''o sin(wo— ^)>
cos(ko — r) rsîn (a — u^) = sîn (wo-*-^) [''o -^ /•ces (w — Wo)] y
rcos(u — Uo) — ro cos(mo— r) w ^ ./ >
r-7 ^— r — = ;— 7 -;=— cot(tto — r)=cot(T— tto);
rsm(tt — Mo) sin(wo — r) v » / v oy,
ainsi l'équation d'une droite qui passant par un point («oî ^o)^ fait avec l'axe des x l'angle t, peut se mettre sous
la forme [ ~"°^~^° -- cot (r — Mo)«
rsin(tt — «o)
Appliquons ces principes à la tangente à une court>èl au point (u, r)^ désignons par v, p ses coordonnées cou^ rantes*, son équation sera
fîcosfw — u)' — r , . dr r'
1 ^--^ L.-=:cot(r— «)=-— = - ;
p sin (tf — u) rdu r
telle est l'équation polaire de la tangente. Pour obtenir celle de là normale, il suffit évidemment de remplacer,
dans cette équation , Tangle t par l'angle v = t ±: -5 on
aura donc , en désignant par v , p les coordonnées yariables de la normale ,
pcosfu — u) — r . . du r r—, —. — = — tang (r — a) = — r--- = -..
150. Dans le cas des coordonnées polaires, on appelle sous-tangente Sjla partie OT{fig. 28) de la perpendiculaire au rayon vecteur OM, comprise entre l'origine et le point où cette perpendiculaire rencontre la tangente 5 et sous-normale S„ la partie ON de cette perpendiculaire comprise entre le point où elle est rencontrée par la nor-ï maie et l'origine. Les longueurs MT = TetMN = N seront la tangente et la normale.
Pour calculer plus facilement ces diverses longueurs , appelons ce l'angle aigu compris entre la courbe ou la tangente et fa perpendiculaire MP au rayon vecteur OM ;
a sera l'angle compris entre le même rayon et la
tangente, et l'on aura
tane: <« = ni cet (r — a ) = rr: — ;- = ± —r- = 3: — . ^ ^ ^ rdu du r
De plus , comme tang a sera une quantité essentielle-
VIIÎGT-SIXIÈME LEÇON. . UjS
ment positive, et que pour de très petites valeurs de Au
Ar le rapport — se trouvera toujours affecté de même si-
dr gne que sa limite — = r' , on devra , dans Téquation
tanga = ±: — , prendre le signe + si le rayon r croît
avec II, et le signe — dans le cas contraire. Enfin, en partant de la valeur de tang a , on trouve
co$«=:H j sin» =
Cela posé, le triangle rectangle OMT donne
tangOTM tang» r' dr *
OT ^ . z**
cosOTM ' r' ces fit *
Le triangle ON M donne de la même manière
^« OM „ r I # 1 dr
^^=1 T^îjïî, S„= = rtangce = ±r'=± — ,
tangONM cota ^ du^
MN = V/0N»+0M* , N = Y/r*+^= yj
dr^-^-r^du* 5tt* '
151. En désignant par s Tare de la courbe et par p le rayon de courbure, on a, comme nous l'avons vu,
1 dxd^Y—^dYd^x
ds^z=zdx^^dx^, -=±:^^—^ — ^^-j—,
P {dx*-^ dy*) a
Si Ton substitue dans ces dernières formules les valeurs de X, jr, tirées des équations
A' =^ r CCS u y ^ = r sin u ,
iiyS CALCUL DIFFÉRENTIBL.
on trouvera ^ apinès les réductions eflTectuées,
ds^=df*"{'r^du\ --=± ^ uuur)-r\^»r^ »» ;«»^
^ {dr^ + r^du^f
et Ton en conclut, en prenant u pour variable indépendante,
On abrège considérablement les calculs qu^entraîne cette substitution, en remplaçant les équations
xzrrcosif, ^=rsmify
par les équations équivalentes
x + jK — i=rp , a?— jK— i = iw
En effel, en prenant, par exemple, u pour variable indépendante , on déduira de ces équations
dx-^dy K — I =: \r' + r V/^ — i )e" "" «fa , ^ — i/r V/^ = (r' — rV/^) ^^ " ''^^' rfa,
et par suite ,
»= dx*r=du*(r^-^ r'*)-
d:r»4-rfr*=^*==«^«*('**4-r'*), --J^r' + r'»;
de plus,
dxd^y "^dy d^x
sera le coefficient de V^ — i dans le produit
VïIi^iT-SIXIEME LEÇON. ajJF
et Ton aura
Si Ton cessKsait de prendre u pour variable indépeudante , on trouverait, par cette méthode ,
dx*'+' dy^ = dr* + r*rftt*, dxd*y^^dyd*xz=,r{drd^ti''^dud* r )+(2 £ir*+ r* û^*) du^ etc.
152. Soient maintenant ^ , y? les coordonnées rectangulaires du centre de courbure correspondant au point (x,j") et Mj 5 Tx les coordonnées polaires du même centre , liées aux premières par les formules Ç = r, cos w,, >j = risini/j , on aura , comme nous avons vu (n** 1 34) ,
dx —^dy dxd^y —^dy d^x^
et Ton en conclura
y{n--y)'^x{i—x) x{n—y)—y{è—x) ydx'-^xdy xdx-^-ydy
dx d^y — «f/ rf*a7 ' OU, ce qui revient au même,
ix +^^F — (x* + r *) ^9 — r f ^* + ^r*
ydx'-^xdy xdx+ydy dxd^y-^dyd^x'
Il reste à substituer les coordonnées polaires aux coordonnnées rectangulaires \ or les équations
x + yv — \=.re "^ , X — yV — i^^re ,
dx + dy \/^^ = {dr -{-rdu\/ — i )e^ ""' , dx --^ dy y/ZZ^ =z[dr — r</«V^— 1)^~" \
a^S CALCUL DIFFÉRENTIEL e
donnent
ydx'^xdx-=z — r^duy xn'^yizzirr^^^u^ — a),
xdjf^ydx zzirdr ,
et par conséquent,
r, CCS (a, — a) — r r, sin (a, — u)
'—rdu, dr
r{drd^u — dud*r)'^{idr*+r^u*)du
Si Ton prenait u pour variable indépendante , on aurait simplement
I cosftti — w) = -7 smfa,— a) = — 7- j^-. — :
on tire de cette dernière formule
r,sin(wx — tt)=r' — 7- ^7— — :
r, cos (u, — a) =: r ; r-^r-- — ,
et par suite
tang(ax — «) = —«, ,,, rf= \ , — ^ i> , ;^ -f
ou bien
r,sin(ax — a) =± — , a = ± p sin «,
r, cos («x — a) — r = ip
— - p = ZC p cos «.
\ 53. n serait facile de parvenir aux équations qui donnent le rayon du cercle osculateur et les coordonnées po-
laires du centre de ço^bure, en partant des principes que nous avoirs établis su^ le contf^çt ^e^ courbes. Eu e^Tet, le cercle décrit du point (m,, r,) comme centre avec Iç rayon p^ a pour équation
r*—- 2rircos(ai — a) +rî = p*.
Pour qtie cç cercle devienne oçpuj^teur d'une courl^c 4onnée en un certain point pris s}w cette courbe , c'est-àdire, pour qu'il acquière en ce point avec la courbe \m contact du second ordre , il faudra que non-seulQp:iexit les coordonnées |^ et r, mais encore les différentielles du^ d'u^ dr^ d^r conservent lès mêmes valeurs relatives au point de contact dans le passage du cercle à la courbe. En d'autres termes , les valeurs de m , Ja , rf' m , r, dr^ d'^r^ tirées des équations de la courbe , devront satisfaire à l'équation du cercle osculateur et à ses équations différentielles du premier et du deuxième ordre. D'ailleurs ces trois dernières équations peuvent s'écrire comme il suit :
[ Tx sin (a — «x )]* 4- [r, ces [u — a, ) — r]* = p*, /Tx sin(a — «x )«?«—['• cos( a — u^) — rjrfr = o,
r,8in(u— a,)[r<i«u-f-a<fadrj— ■[rco8(a — Ui)— /"Kif^r — rdu^)z=. ^[dr^+i'*du*).
On en tirera
rcosfu— «,)— r r, 8in(«— -II,) ( [r, si n («-«,)] »-f-[r,cos(a-tt, )-r]> } -' rdu dr \/dF^T7^di^ '
f r,6În(u-Ui){rd^u-^'2dudr)-lrtCOs(u-Ui)-r](d*r'rdu*)
"' {/"dr^-hr'du* r{drd^u ~ dud»r) -f- (2<Zr» -f- r»du*)du
<//•' H- r » du* "~ r {drd *u — dud*r) -♦- {idr* -f- r *du*)du'
Cette dernière formide contient toutes les équations que nous avons d'abord obtenues.
n reste à montrer quelques applications.de ces formules générales.
a8o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
I®' Exemple : Spîrale d'Ârchimède , r= «ii. Sî l'on désigne par b le rayon vecteur correspondant à u 3= aTr ,
on aura
ù=z^wa. a =z — , r = — m,
et la spirale pourra être considérée comme engendrée par une mobile , qui , en même temps que le rayon vecteur fait une révolution , parcourt sur ce rayon vecteur, d'un mouvement uniforme, une longueur b. On aura,, dans ce cas particulier ,
r' = fl, r*' = o, tangtf = cot(r — a) = —,
Pour M = o,
rzzzOy taiig« = cot^= tanga, = - = 00, « = -, p = r,^ -;
pour M = 00 , tang« = o, otrzio, taDg(u, — «)=-, -=0, r^ = a.
On conclut facilement de ces valeurs , i^ que la spirale d'Archimède touche, à l'origine des coordonnées, le demi-axe polaire 5 2*^ que pour des valeurs croissantes de
u l'angle a et la courbure - décroissent indéfiniment, tan-
disque la valeur de r, croît sans cesse , mais de manière à
rester comprise entre les limites - et a-^ 3^ que pour des
valeurs très considérables de m, le rayon Ti, mené de l'origine au centre de courbure , est sensiblement égal à a et sensiblement perpendicidaire au rayon vecteur r. En éli-
VINGT-SIXIÈME LEÇON. a8l
minant a entre les équations qui donnent tang(u, — u) et r^, oji obtiendrait Fëquation de la développée de la spirale d'Archimède , développée qui est elle-même une nouvelle spirale offrant un point d'arrêt correspondant
aux coordonnées r, = ~, m, = -, normale en ce point au
cercle décrit de l'origine comme centre, et qui, en s'éloignant de ce même cercle , fait autour de l'origine une infinité de révolutions, de manière à s'approcher déplus en plus d'ini second cercle concentrique au premier , et décrit avec un rayon deux fois plus grand. Comme la circonférence et la nouvelle spirale qui s'en approche ne se rencontreront jamais , on peut dire que ces deux courbes sont asymptotes l'une de l'autre.
2*"® Exemple :
, .ni //(/2+ i)+a* I taiig«=:cot(r — a) = -, -= — ^ — ; ,
pour M == o ,
tang«:=cotT= -, «=-;
pour w = 00 ,
tangce :^ o , <& = o, tang(i£, — «)==-.
On en conclura que la courbe touche à l'origine le demi-axe polaire, et devient, pour de grandes valeurs de w, sensiblement perpendiculaire au rayon r. Dans la même hypothèse les valeurs de p et de r, correspondantes à des valeurs nulles ou infinies de l'angle u , seront , comme cet angle , nulles ou infinies , à moins que /i = i .
3™® Exemple : Spirale hyperbolique , ainsi nommée à
;28a CALCUL DIFFÉRBIîTIEL.
raison de Tanalogie de son équation ru = a (a désignant une constante positive) avec celle de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes. Elle prend son origine à une distance infinie et forme une infinité de révolutions autour du pôle dont elle s'approche indéfiniment, mais sans l'atteindre, puisque Ton n'a r == o qu'en attribuant à l'angle u une valeur infinie. On a dans ce cas ,
II «^ I
tang-=-cot(r-.«)=-. -=——^-,
taiig(«.-«)=« + ^. r;=[^. + (.+!)] g; pour li = o,
I sr I
tang<« = — cotT=: tangM, =: -, «=-, p:=rg=-\
pour u = 00, tang« = o, «e=:o, taiig(tf, — w) = -, p = r, = o.
De ces équations l'on conclut, i° que l'angle a est sensiblement droit et la courbure sensiblement nulle pour de très petites valeurs de i/, c^est-à-dire dans la partie de la spirale hyperbolique qui est très éloignée de l'origine et se confond à très peu près avec rasymptotej^=a de cette courbe 5 2^ que , pour des valeurs croissantes de l'angle u,
l'angle a diminue sans cesse, depuis a=- jusqu'à a = o.
c'est-à-dire que la spirale tend toujours à devenir perpendicidaire au rayon vecteur; 3** que le rayon de courbure p et le rayon vecteur du centre de courbure r, dont les valeurs sont d'abord très grandes finissent par s'évanouir. En éliminant u entre les équations qui donnent tang(ii^ — u) et r, , on obtiendrait l'équation de la développée qui sera une nouvelle spirale s'approchant aussi
indéfiniment de Torigine sans pouvoir jamais Tatteindre.
4™« Exemple : Spirale logaritlimique u = Lr, r= a""^ r = e**"* (a désignant la base du système de logarithmes représenté par la caractéristique L , base que nous supposerons plus grande que l'unité). Pour M = o,onar=i. Lorsque l'angle u croit positivement , r augmente de plus en plus. Ainsi , en partant du point A , la courbe forme autour de l'origine une infinité de circonvolutions et s'éloigne indéfiniment de ce point. Si l'angle u croit négativement, le rayon vecteur diminue de plus en plus et la (;oiirf>e s'approche indéfiniment de l'origine, sans pouvoir jamais l'atteindre.
De l'équation r = e"^* on tirera
tang tf = cot(T — u) •=\a^
CCS fit
L'angle a est donc constant, c'est-à-dire que la tangente , et par suite la normale, font constamment le même angle avec le rayon vecteur. De plus, pour obtenir le rayon de courbure en un point quelconque M , il suffit (j^gr- 29) de mener par les points M et O deux perpendiculaires, Vune Ofx au rayon yecteur OM, l'autre M/x à la tangente MT^ MjLt sera le rayon de courbure cherché. En eflFet, on
a Mu = — — = p. Cette construction et l'équation ^ cosce ^ ' ^
jO = montrent que ce rayon de courbure est égal à
la normale. A l'aide de cette propriété, on démontrerait très simplement que la développée de la spirale logarithmique est une autre spirale logarithmique. En effet, u^^ r, étant les coordonnées du centre de courbure , on a
2 du
:i84 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
d'où Ton tire , en substituant pour u sa valeur u = Ut*— - ,
ou çn posant lae = e^,
équation d'une nouvelle logarithmique que Ton décrirait en faisant tourner la première autour de Torigine , de manière que chacun de sies. points décrive, avec un mouvement de rotation direct ou de droite à gauche, un angle
égal à y (a' étant égal à là). On serait parvenu ^u
même résultat en partant des équations faciles à établir
r, sin(a, — a) = r'=:-, r, cos («, — «) = 0,
d'où Ton conclurait
1*1 = « H — , rx= r\a; etc.
154. Terminons ce que nous avions à dire sur Temploi des coordonnées polaires , en cherchant la différentielle du secteur compris entre la courbe et deux rayons vecteurs quelconques. Pour cela considérons le secteur OAM = S (fig» 3o) décrit par un rayon vecteur que nous supposons se mouvoir de telle sorte que le secteur S croisse en même temps que l'angle u , S sera une fonction de u que l'on ne peut déterminer généralement, mais dont on peut trouver facilement la différentielle. En effet, donnons à z/ un accroissement Au , le secteur prendra un accroissement AS = OM/w* Du point O, avec les rayons OM , Om , décrivons deux arcs de cercle MM', mm\ Eji supposant que l'accroissement Au soit assez petit pour que dans rinlervalle de u à u + Au^ le rayon vecteur ait
VINGT-SIXIÈME LEÇON. *i85
constamment crû ou diminué, Faccroissement AS sera compris entre les deux secteurs circulaires MOM', mOm!
ou entre les deux quantités et(r + Ar)' — .Le rap-
port — sera donc aussi compris entre les deux rapports — et ' ^ qui, à la limite, sont tous deux égaux à
— . Donc
,. AS dS r» ^ r^du lim. — ==-—•:= — , aS =
LU du % 2
n est éyident que si le secteur décroit quand Tangle u
augmente , on aura
r*du dS= .
Si Ton voulait avoir en coordonnées rectangulaires la va*leur de ^, il suffirait de remarquer que les formules
x+xV — 1=/« , a: — xy^ — i = re ,
dx+dy X/^^ = e""" ''^{dr^^rdu V/— i \
donnent
xdy — ydx = r^du ,
donc
Cette équation, comme l'équation dS = , suppose
que le secteur augmente ou diminue en même temps que Tangle u^ autrement on aurait
r^du xdr^'Ydx rfS= = "^ — .
Propriétés des courbes planes ou à double courbure, situées d^una manière queleonque dans Pespace. — Tangentes, plans tangents. -* Normales, plan normal. — Asymptotes. — Points singuliers.
456. Considérons une courbe quelconque et sur cette courbe deux points M et M', dont les coordonnées .soient
La sécante cjui passera par ces deux points fera avec les axes des angles a, 5, c, dont les cosinus seront proportionnels aux différences des coordonnées des deux points, et l'on aura
cosa cos^ ces c
^X AJ AZ \/ax* + A^* + AZ**
COSa:=± — , ms hr^ "T-
\/aj:» + aj»-+-A«»' V/a^t'+A^'+Az*
AZ
cosc =
