AX A/ AZ

en passant à la limite , et qui s'étendent même au cas où x^y^ z représenteraient des coordonnées obliques.

On dit qu'une droite est normale à une courbe en un point donné , lorsqu'elle est perpendiculaire à la tangente en ce point.

Cela posé , on pourra évidenunent mener à une courbe par chaque point, une infinité de normales qui seront toutes comprises dans un même plan. Ce plan unique est ce qu'on appelle le plan normal. Il est perpendiculaire à \ la tangente, et passe par le point (a:, y^ z). Son équation sera donc , en désignant par Ç , w , ^ les coordonnées de l'un qiielconque de ;â^s points ,

({ — i?)cos«+(« — ^)cos«+(Ç— z)cosy=o,

ou, en mettant pour cosa, cosê, cosy les quantités proportionnelles dx^ dy^ dz^

(I — d:)^ + (iï— 7)rf7+(Ç — z)dzz=zo.

456. Supposonsque u=F(x,y, ^)=o, if=zf(x^y, >2)=o, soient les équations de la courbe donnée , c'est-à-dire les équations de deux surfaces qui la renferment, on aura,

288 CkLCVL DIFFÉRENTIEL.

en difTérentiant ,

du du du

^dx+-djr+-dz = 0,

dv dv dp

— dx -4- — dy •+• — dz zzz o.

dx ^ df -^^dz '

d'où Ton tire, en éliminant tour à tour dz, dy, dx^

dx 4r as

du du dudtf dm dv du dv"^ dudv dudtf * 4r<2ff ii!e4r ds dx dx ds dxdjr dydx

C08 « GOS C cos ^

du dur du dv du dv du du du dv du du dx ds dz dy dz dx dx dz dx dy dy dx

^ tfdudu du ià»\ a (du du dudu\* (dud»^ du A»\*-' V KjyTz'^'dÂ'dy) '^\5^"'SÏ»j "*" V^^""^Sij

et les équations de la tangente et du plan normal de* viennent

du du du du du du du dv du dv du dv^ 4y dz dzdy dz dx dx ds dx dy dy dx

/du du dudv\ ,. . f du du du du\ . .

f dudu du du\ , . .

Les dénominateurs ou les coefficients de \ — x, m — jr^ ^ — >2 se forment très simplement, en écrivant sur deux lignes les quantités

du

du

du

du

du

du

dx'

dx'

dz'

dx'

dy'

dz'

dv '

dv

dv

dv

dv

dv

dx'

dx'

dz'

dx'

dy'

dz'

partagées en trois groupes , et multipliant en croix.

VINGT-SEt»TlÈME LEÇON. ^ 289

Si dans les deux écjuations diâ*érentielles

dv dv dv

^d.+~dy+-dz = o,

on substitue, pour ^, dy^ dz^ les quantités proportionndUes 5 — x , m — j^, Ç — -^ ^ Ç 9 '^ ? C ®tant les coordonnées d'un point quelconque de la tangente , on a , pour les deux équations de cette ligne ,

.au . du y .du

Ces équations représentent deux plans qui ont la tangente pour commune intersection.

Si Tune des équations de la courbe ^ a = o , par exemple , ne renfermait que deux variables x , j^ elle représenterait la projection de la courbe sur le plan des xy^ et Téquation

représenterait à la fois et la projection de la tangente à la courbe dans l'espace, et la tangente à la projection 5 et

comme le plan des xy est quelconque , on en conclurait généralement que la projection de la tangente à une courbe quelconque sur un plan donné se confond toujours avec la tangente à la projection de la courbe sur ce même plan. Ce théorème résulte d'ailleurs évidemment de la définition même de la tangente, puisque les tangentes à la courbe et à sa projection sont les limites dont s'approchent indéfiniment la sécante et sa projection.

On appelle plan tangent à une courbe donnée un plan T. T. 19

àgo CALCUL DIFFÉRRNTIBL.

quelconque passant par la tangente; il en existe donc tine infinité, et en appelant généralement /, m, n les angles que la perpendiculaire à l'un quelconque de ces plans fait avec les axes , il sera réellement tangent si Ton a

cos/cos«-f-cosiPtcosf -f- cos/ioosy = o.

i57. On déterminera avec facilité les asymptotes d'une courbe tracée d'une manière quelconque dans Tespace, soit en remarquant que ces asymptotes auront pour projections sur les plans des coordonnées les asymptotes des projections de la courbe , soit en observant que si

sont les équations de ces asymptotes, les valeurs dej- et de z tirées des équations de la courbe donnée pourront se mettre sous la forme

y i=: mx -{- p + hy « = /LT + ^ -f-i*,

h et i se réduisant sensiblement à o pour de très grandes valeurs de x. D'où l'on tire évidemment

= lim.'^, «:=lim. — ,

p = lim. [y — mx)y q = lim. {z -— nx).

Ainsi , pour calculer les coefficients m et « , il faudra poser dans les équations de la courbe, j^ = sx^ z = ix'^ puis chercher la limite ou les limites vers lesquelles convergent les variables ^ et f , tandis que la valeur de x croît indéfiniment. Après avoir trouvé m et » , on obtiendra p et q en posant

y — mx = 5i , z — «07 = /i ,

et cherchant les limites de 5, et de ?,.

Le calcul qui précède donnerait seulement les asymp-

VIMGT-SEPTIEME LEÇON. 29 1

totes non parallèles au plan desyz'^ mais en changeant entre elles les coordonnées x etj^, on obtiendraitles asymptotes non parallèles au plan des zx ou au plan des zy, etc. Les points d^arrèt ou de rebroussement, les points saillants , les points multiples , en général les points singuliers d'une courbe tracée dans l'espace ^ ont ordinairement pour projections st^ chacun des plans coordonnés des points qui oiFrent les mêmes singularités , mais qui , parce qu'ils appartiennent à une courbe plane , projection de la courbe donnée , seront facilement déterminés à l'aide des méthodes déjà exposées,

applications .

158. i*' Exemple : L'ellipse produite par l'intersection du cylindre à base circulaire uz= x* '+-j-^ — R' = o et du plan v» == Ax + By + Cz = o. On trouvera

xeix + jrdjr z= o , Adx -f- Bdjr + Cdz = o , dx df dz

ces* cos^ cosy , C

^ — * ^(Bx— Ar) ~[C*R'+(Ba:-Ay)»]î-'

Les équations de la tangente seront

^ ~ ~"~i(Bx-Ar)' ou

<î— ^)+r{^— r) = o,A(f— x)+B(^— j)+C(Ç— 3) = o, ou enfin

ai +yn = RS Af +B9 + CÇ z= o.

Ces dernières équations représentent , conmie on devait

a^a' CALCUL DIFFÉRBlfTIELi

S y attendre , la tangente au cercle base du cylindre , et le plan même de la courbe.

L'équation du plan normal sera "^

2"* Exemple : La courbe produite par Tintersection du cône droit x^+y" =R'z', et du plan ArH-ByH-C-»=oi Les équations de la tangente seront

orf -h 1,^ = R*<, Af + Bf + CÇ = o; celles du plan normal

C (fr — «*) + (Bf — A9)R*« H- {Bx—ky) (Ç — 2— R««)=^o.

Les équations de la tangente représentent , comme on pouvait le prévoir , deux plans : le plan de la courbe et un plan passant par Torigine et le somniet du cône*

2"* Exemple : La courbe intersection de la ^bère

et du cyb'ndre droit

(*-.^4.R)»+3» = |R», ou X* — Rx-f-«»z=ô,

dont la base est un cercle qui a pour diamètre le rayon de la sphère. Cette courbe a pour projection sur le plan

des xy^ la parabole

sur le plan des zx^ le cercle

sur le plan des yz , la lemniscate

La tangente à la courbe proposée aura donc pour projections les tangentes à la parabole , au cercle et à la lem-

VIIfGT-SEPTiÈME LEÇON. ^ ag3

niscate, c^est-à-dire les trois droites

jri, + iRf =:R(R— ix),

R»zÇ — (R> -. 2r*)r9=r^- L^ëquation du plan normal peut être mise sous la forme

X z QiX \jr z J'

et Ton reconnaît qu'il contient le rayon mené de l'origine au point (x^y).

3"** Exemple : l'hélice. Considérons un cylindre droit

dont la base sur le plan xy soit le cercle

^t dans ce cercle un rayon mobile qui , appliqué d'abord sur l'axe des x, tourne indéfiniment autour de l'origine avec un i^ouvement direct ou rétrograde , c'est-à-dii-e de droite à gauche , ou de gauche à droite , et soit u l'angle variable décrit par le rayon pris avec le signe + ou avec le signe — , suivant que le mouvement est direct ou rétrograde. Si maintenant , à partir de l'extrémité du rayon mobile , on porte sur la génératrice du cylindre , dans le sens des z positifs lorsque u sera positif, et dans le sens des z négatifs lorsque u deviendra négatif, une longueur proportionnelle à l'angle u , ou , ce qui revient au même , à l'arc dt Ri* compris entre les côtés de cet angle , et représentée en conséquence par un produit de la forme ± aRu, a désignant un nombre constant, l'extrémité de cette longueur décrira une courbe à double courbure , appelée hélice, et dont il est facile d'établir les équations et les propriétés. En effet, soient x, j^, -z , les coordonnées de cette extrémité ou d'un point quelconque de la courbe, on aura évidemment

x==RcosM, /=Rsiaw, z=zaKu,

294 CALCUL DiFFÉaSNTIEL.

et l'on en conclura ^c» -f- ja = R» , z-=z alk arc CD» - =z aR arc tang - \

dx -= — Viûnudu^ dy"=z^ ces udu^ . dz = aKdu\ ds^ z=dx* + dy*-\-'dz*=zdu* (i+a»)^

dx sinu djr cosk

cos#=-i-= . y COSfc = -:- = — . ,

ds V/i+û* ^ l/^i + a»

ces y = ,

et il résulte évideumient de la dernière de ces équations, que l'angle y formé par la tangente à la courbe avçc l'axe des .z, et, par suite, avec la généi^trice du cylindbre, est un angle constant. En vertu de cette propriété , la courbe se développera en ligne droite , quand on développera le cylindre dont elle fait partie. On trouvera de plus, ^ur les équations de la tangente ,

. ? — X ly — X X — z

— siuM CCS a a ' , *

et pour l'équation du plan normal ,

(jj — j) CCS M — (f — a:)sin »-+-fl(Ç — z) = o.

L'équation z = alR. arc tang - représente la surface hé-

liçoïde engendrée par une droite qui reste toujours coniprise dans un plan mobile perpendiculaire à l'axe des <? , qui rencontre cet axe au même point que le plan , et qui tourne autour du point de rencontre, de manière à décrire, dans le plan mobile, des angles proportionnels aux distances parcourues par le point dont il s'agit. Cette même surface coupe évidemment le cylindre, suivant deux hélices dont les points correspondants se trouvent situés à égale distance de l'axe des z, sur la droite génératrice de la surface.

VINGT-HUITIÈME LEÇOH. SqS

Du plan (Mculateur d^une courbe quelconque. — De la normale principale.

. 489, On appelle plan osculateur d'une courbe quelconque en un point donné, le plan qui contient les deux taiigeates*nvméç3 à ce point et à un point infiniment voisin , ou le plan qui passe par deux tangentes consécutives ,. ôa enfin le plan qui passe par trois points infiniment voisiiK. En ^irtantde ces définitions , on trouvera -facilement Féquation du plan dont il s'agit.

i'® Méthode. Désignons par x^ y^ z^ les coordonnées du point de la courbe^ par a , 6 , y , les angles que fait avec lès axes la tangente en ce point -, par ^ , y? , Ç , les coordonnées de Tun quelconque des points du plan osculateur \ par /> '^î », les angles inconnus que fait avec les axes la perpendiculaire à ce plan. Son équation sera

(?— x)cos/-|-(9 — y)co&m + (Ç — 3)cos/i = o.

Ce plan devant passer par la i*^® tangente , et par une tangente très voisine , qui fera avec les axes des angles dont les connus seront

COft«-|-AC08«=COS«-f-^COS«.(l +f'),

cos^H-AcosC=^cosC-|-É?cos^.(i +/'), cosy-f-Acosy = cosy+^cosy.(i+i'"),

•Wtos>)'+(c03aicoaC--coaW(!Mi.)']

n^M. et par suite I équation -.-.int ainsi complétemenl dé-

liçoid.

prise c..

qui i<„ tourijc , crire, il distant!

même h I héilco .

à égali- .

la suiCn.

-^, coSy=— ,

t nruvent se mettre i

-.ut indépendante , on aurait

VINGT-HUITliSME LEÇOIT. fkgj

et par ^te