COS/ COSI7I COS/I
dyd^S'-^dzd^x dzd^x^-^dxd^z dxd^y^-^dyd^x
\/^{dyd^z — dzd*xy+{dzd*x — dxd*zy+ {dxd^y^^yd^f
On a de plus
{dyd^z — ^d^yY^^dzd^x — dxd*zy + {dxd*y — dyd^x)* ' =(dx* + dy* + dz*)[{d*xy+{d*yy+{d^zY]
— (dxd*x + dyd^y + dzd*z)*;
on a d'ailleurs, puisque 5 est variable indépendante^ dx^-^dy* -\-'dz*z=ds*y dxd*x+ dyd*y-{-dzd*z = q, on aura donc enfin ^
ces/ COSITI cos/i
dyd*z^^dzd*y dzd*x^^dxd^z dxd*y^^dyd^x
Si Ton cessait de prendre Tare 5 pour ymîable ii^épendante , on aurait
dx dz i ,
dzd. , dJrrf -- = ^- (dui^x — dxd*z) , *ém ds ds ^ '
dxd-^'-^dyd— = — [dxd^y — dyd*x).
L'équation Jx' + ^* + rfz' = ds^ donnant d'ailleurs dxd^x + dyd^y + flforf*z =: dsd^s,
2^ eAiiCoi, mFvéKmm%h.
on trouverait *
ces/ cosm cos/i
^ V\d^x)'^(d^yf^{dHY^[disf
Dans le cas partîculiefr où Ton pnend x pour variable indépendsCnte, et oji l'on désigne parjy^', -z'i J"", -2", les dérivées dej^ et de z du premier et da second ordre, on a .
eos/ 00s 17? cos/i
Les angles /, ih^n étant ainsi déteni^Linés, Féquation du plan oscillateur deviendra
(î — x) {dydH — dzdy)+(ti — x){dzd^a:'^dxd'z) . ^ '
+ it'^z){dxdy — dxd^x) = o,
ou , en prenant x pour variable indépendante ,
^me Méthode, Soit toujours
(ê — x)cos/+(jj— j) cos/w + (Ç— z)cos/2=:a = o
Féquation chercliée du plan osculateur. S'il doit passer par deux autres points infiniment voisins du point (x^y, z)^ son équation 1/ = o devra être vérifiée quand on y remplacera x^fjZ par
X + AXy jr-J-Ay, Z + AZ, et a; + 2Aj: + A*a?, ^ + 2A/ + 2A'^, Z^2Az-f-A*Z,
on devra donc avoir non-seulement Am= o, rfw = o^ mais encore A*m = o, c?^m == o : on a d'ailleurs évidemment
du =: dx ces l-^r dy ces /w + <fz ces n , r/*a = rf';r ces / -+• d^ y ces m + rf*z ces /i ;
^ viif«T-Hcjn^ÈME UBÇOM. n^gg
on aura donc nécessairement
dx cos / + djr ces m"\~ dz cos /t z= ho , *j: 008 /+ d^j'cos m + </*z cos « = o,
et Ton -tirera de <jes dernières équations les valeurs déjà . calculées dé cos m , cofs n , cos /.
^BO» Ckï appelle normale principale d'une courbe en un point quelconque (x , JK? -^) > celle des normales à la courbe qùî Se trouve dans le plan osculateur. i)ès4ors on voit que la nomiale principale est Tintersection du plan normal avec le pilan osculateur. En araelant ^, fx, v les angles qu'elle fait avec les axe§, |> ^t*.^ îfS çprdonnée* de ] 'un quelconque de ses points, ses équations seront
cos A cos fit cos y
mais elle doit être perpendiculaire à la tangente et à la normale aii plan osculateur qui font avfec les axes des angles dont les cosinus sonl proportionnels aux quantités
dxy djr^ dzy dxd*z~^dzd*x^ dzd*x — dx dHy dmd^y -—dyd^x-^
on^aura donc
j» cm ?i€ia: ~{- cùSfédy -i-cosfdzzs^ Of
cos X(djrd*z — dz d^y) -f- cosfi (dz d*x '•^-^dx d^z)
+ cos f {dxd^y — dy d*x) ::= o ,
d*où l'on tire, en éliminant d'abord cos v,
cos A(dlr * d^y — dx dyd^x — dz dyd^z + dz^d^y) — coSf6(dz*d*x — dz dxd^z ^^dxdy d^y + dy^d^x) = o, cosx[{dx^ + dz^) d^y — dy{dx d^x -f- dzd^z)[ — coS/i« [(rfz * + dy^) d*x — dx (dz d^z + dy d*y)] = o ;
mais les équations
£/ar*+ dy'^^-dz^ =zds^y dx d^X'\-dy d^y'\~dzdHz=:idsd*s ,
3oO CALCUL DIFFélUOiTIEL.
donnent
dz^ + dy^zmds^-'^'dx^y dzd^z + dy d*y :=zds d^s^r^dxé^x'f donc ,
C08 A [(dlf > — djr*)d*x — dx {ds dH—dx rfV)]
— ces (A S^ds * "^ dx*) d^x ^^ dx {ds d*s — ^ dx d^x^ = P *.
dsd*x -^dxd*s dsd^y^dyd^i .
En éliminant fx on aiirait trouvé de même
COSA cosy
dsd^x^-iixd^s dsd*z-^dzd*s on aura donc définitivement
COSA COS/ft COSir
dsd*X'^d9d*s dsd^y — dyd^s dsd^z — dzd^s^ équations qu'on peut mettre sous la form,e
cosA cos/« cos F , I
. ds*
\/{ds d*x -dxd^sy-^- {dsdy'dxd*sy+{dsd*z-dz d^s)*
La quantité sous le radical est évidenmient égale à
ds* [d*xy+ {d*yy+{d*zy]+ {d*sy {dx* + dx*+dz*)
— 2ds d *s [dx d*x + dyd *y + dzd*z]f
ou à
ds*[{d*xy+ {dy)*+ {d*zy+{d*sy—i {d^sy]
= ds* [{d*xy+{d*yy+{d*zy'^{d*sy],
VIIIGl>-HUITliiME LEÇON. 3oi
<H& aura donc définitivement
cesA
c6s/t co»» .
ds
ds ds ds
et les équations de la normale principale seront
rf~ ~ d— " d— ds ds ds
Quand on prend Tare s pour variable indépendante , les équations qui précèdent se réduisent à
ces A . coS|«__ cos» ,
d^x d^y d^z \/[d^xY + {dyy -Y-id^zY '
161 . Au lieu de définir directement le plan osculateur, pour déterminer ensuite la normale principale à Taide du plan osculateur, on aurait pu, avec M. Cauchy, définir d'abord la normale principale pour en déduire le plan osculateur en procédant conmie il suit^
Lemme. Etant données deux courbes qui se toucbent, si , à partir du point de contact , on porte sur ces courbes, prolongées dans le même sens^ des longueurs égales mais très petites , la droite qui joindra les extrémités de ces longueurs sera sensiblement perpendiculaire à la tangente commune aux deux courbes.
Démonstration. Supposons que les longueurs égales portées sur la première et la seconde courbe, à partir du point de contact, aboutissent, d'une part, au point {x^y-i z)^ de l'autre au point (5, y?, Ç) -, soient déplus 5, c les arcs renfermés, i** entre un point fixe delà seconde courbe et le point {x^y^ z) ; 2** entre un point fixe de la
303 CALCUL DlFf-ÉREKTIBL,
seconde courbe et le point (^, 77, (^), tandis qaé les ordonnées x^y^z^^^Yi^^ varieront simultanément , la différence 5*— (7 restera invariaUe, puisque les petites longueurs portées sur les deux courbes sont par If^pôtlièse égales entre elles ^ on aura donc
T' — S = coDSt. , »• = f -1- const. , dvizzds ^ do* — tU* == o ,
{d^ +dx) {^—dx)+{dn'{^y){d9i—dy)+{dl^+dz){dj^—dz)z=z o;
Soient d'ailleurs oc^ ë^ y les angles que forme avec les axes la tangente commune aux deux courbes prolongée <laùs le même sens que les axes s et cr-, S la longueur de la droite menée du point ($ , yj , ^) au point (x, jr, z) 5 enfin ,i, pt, v, les angles que forme cette droite avec les demi-axes des coordonnées positives , on aura
dx rff dx+e^ dx dti djr-^-dti
dx dl^ dz+d^
cosy = — z:^-r-=- =z ■ — -;
ds dr ds-^-dir
COSA = — j- , COS/4 = -j— , COSr = —y ;
ces trois dernières fractions , quand la longueur J sera très petite , seront sensiblement égales aux quantités
rff — dx dij'^dy d^~^dz d^ ' d^ ' d^ '
de sorte que l'on aura sensiblement
di'-^dx dti — dr dC'^dz
""*^=-rf7-' «=«"'=-i^> ««'=-V--
Dès-lors , si dans l'équation
(dê-hdx) {di^—dx}+{df,-^dx) {df,—dx)-\-{d^+ dz) (di;^ dz) — o,
VÏWaX-HïJITlÈMÉ LEÇON. 3o3
Kiaw^ifk la place des trois sommes les quantités proportionnelles cgs os, cosë, cqsy, et à la place des trois difliérençesk, les quantités également proportionnelle^^ cos^^
cos et ces A + cosC cos^ + ces y COS F = o,
et cette équation exprime bien que la droite menée du pc^nt (jî, y, i) au point (^, r, 0^^^^ sensibjement perpendiculaire à la tangente commune aux deux courbes.
162. En remplaçant dans le lemï^e qui précède la seconde courbe par la tangente à 1^ première , on obtiendra le théorème suivant : Si, à partir d'un point donné sur une courbe , on porte sur cette courbe et sut sa tangente prolongées dans le même sens des longueurs égales et très pe* tites, là droite qui joindra les extrémités dé ces longueurs sera sensiblement perpendiculaire à la tangente. Cette normale, qui mérite d'être remarquée, est précisément celle que nous aurions pu appeler à priori normale principale. Pour fixer sa direction, appelons z la longueur portée sur la tangente et sur la courbe , et si^)stituons à I , ïî , Ç , leurs valeurs »
i-=LX-\- i COSee , 9 zrzy + i cos^, Ç = z -f- i COS7,
dans les équations
É?| — dx dti'-^dy fl?Ç — dz
qu'on peut mettre sous la forme
ces A ces M COSv
^^^dx dfj'^djr dl^'^dz* on trouve de cette manière
ces A COSU COSv COSA COS^ COS»
— '^ — ou —
dcqset " ^cos« /fcosy' ,dx ^dy dz
ds ds ds
3o4 CALCUL DIFTÉRENfltL,
or ces dernières ëcpiations prouvent bien que la nomude en question coïncide effeictivement avec celle qui etft située dans le plan osculateur. '*
Après avoir ainsi défini d'abord la normale principale^ on obtiendrait immédiatement Téquation du plan osculateur, en le définissant un plan qui passe à la fois par la tangente et la normale principale. En effet , si Ton ap<pelle /, m, n les angles que la perpendiculaire à ce plan fait avec les axes , la double condition de passer par la tan-^ génie et la normale principale donne
cos«cos/-(-cosffoosi7f-f-cosycos/i=Oy cos/cosA-|-cosmcos^-f-cos/i cos y =0 ,
ou
cos« cos/-f-cosCcosiit-f-cofiy COS/I =: Oy cos /i/cos « + cos w^cosC -f- cQSiu/cosy =: o ;
d'où Ton déduirait, comme nous Pavons déjà fait , les valeurs de cos/, cosm, cosn, et par suite Téquation du plan osculateur.
VIJHÛT-nËIJViÈME LEÇOIV. 3o5
JL^
VINGT-NEirVIÈME LEÇON.
Des deux courbures , du rayon de courbure , du centre de courbure et du cercle osculateur dMne courbe quelconque.
165. Uangle compris entre deux tangentes consécutives ou entre les tangentes extrêmes de Tare infiniment petit zt: Ay , est ce qu'on nomme Fangle de contingence 5 désignons par At ce même angle , et par Aw l'angle infiniment petit compris entre les plans osculateurs qui correspondent aux extrémités de ce même arc , ou , ce qui revient au même, entre les perpendiculaires aux plans dont il s'agit. Les quantités Ar et Aco ne pourront s'évanouir constamment que dans certains cas particuliers, savoir : la première , lorsque la courbe proposée se changera en une ligne droite^ et la seconde, lorsque cette courbe deviendra plane. Mais en général At et A&) conserveront des valeurs différentes de o ^ et l'on pourra en dire autant des limites
vers lesquelles convergent les rapports dz — , dz — 5 pendant que l'arc zt. As décroîtra indéfiniment , ces limites
dz -p , zh 3- , qui seront équivalentes , si l'on considère as as
une courbe plane , l'une à la courbure de cette courbe ,
l'autre à o , serviront à mesurer dans tous les cas ce que
noiis appellerons la première et la seconde courbure de
la courbe proposée. Ces deux courbures sont réelles; en
io6 CALCUL DITFÉ&BIITIKL.
' efTet, pour conceYçir une coufbç qui n^est pas plane, il faiLt non--6puIement concevoinï que la tangente s^inplme en changeant de position \ il faut encore que le plan de deux éléments cei^cutifs varie aussi dans l'espace : cette se^ ■*. oonde couilyâre peut être comparée âr It tofrioA qu( Ton ferait subir à une courbe plane. D est d'ailleurs évident ) que ces deux courbures seront d'autant plus grandes ou
d'autant plus petites , que lés angles Ar ou ùxù seront plu» grands ou plus petits pour une même valeur de A5 et que
par conséquent les Fapports -i>-, — , ou mieux les limites
~. -r- de ces rapports, seront leur mesure naturelle. Si ds ds ^* ,
Ton représente par -, ~, ces mêmes courbures, l'on aura donc toujours
-.=:±lmi. — = ±-r-, -5 = ± hm. — =±: — . |o ^s ds P AS ds
