Lorsque l'arc 'MMl'=:±iAs est très petit, sa corde
V/Aa:*+Aj^'+Az* est sensiblement perpendiculaire aux plans normaux menés à la courbe que Ton considère par les deux points (x , J, -z) , (ar+Ax, j^+Ay, z+Az) , et la plus courte distance MD (Jig» 3i), du point {x^j^z) à la ligne d'intersection des deux plans est sensiblement égale au premier rayon de courbure p. En eflFet, soit r cette plus courte distance MD ; menons par MD un plan perpendiculaire aux deux plans normaux ou à leur commune intersection , et projetons l'arc MM' sur ce plan. L'arc MM' étant sensiblement perpendiculaire aux deux plans, il sera aussi sensiblement égal à sa projection, et l'on aura
Mm' = tss[i + c),
e étant une quantité très petite. De plus, dans le trian-* gle ]VIm'D, l'angle m sera sensiblement droit et l'angle
VlHGT-REUVfÈME ttÇOKX 3o^
Mbn»' sera précisément J'angle des deux plans normand, ou, ce qui relent au même, Tangle Ar â& deux tan^ gentes menées aux extrémités de Tare db A^, on aura donc, en exprimant que dans ce triabgle lés sinus sont proportionnels aux c6tés.
smL
SlDAr , SinAr Ar
r {l+t)^s At(i-|-sJ às*
et, en faisant converger As vers la limite o, && trouvera
= iim. ± — = - .
lim. r A5 p
Il importe d'observer que le plan osculateur passe par les deux tangentes consécutives,, et qu'il est par conséquent perpendiculaire aux deux plans normaux infiniment voisins et à leur commiuie intersection^ en sorte que la normale , qui est perpendiculaire à cette commune intersection et sur laquelle on compte la longueur r , se confondra sensiblement avec la normale comprise dans le plan osculateur, c'est-à-dire ave<5 la normale principale. n suit évidenunent de ce que nous venons de dire que, pour obtenir le premier rayon de courbure p , il suffit de construire la normale principale correspondante au point {x^j^ z)^ et de chèrclier la portion de cette droite comprise entre ce point et Un plan normal très voisin. Le rayon p , mesuré de cette manière sur la normale principale, est ce qu*on nomme le rayon de cîoarbnre de la courbe proposée relatif au point {x^y-, z)^ et Pon a^elle centre de courbure Textrémité du rayon de courbure, qui peut être considérée comme le point de rencontre de la normale principale , et d'un plan normal infimiïient voisin. Le cercle qui a ce dernier point pour centre et le r^yon de courbure pour rayon , se nomme cercle de cour-
3o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL •
bure y OU cercle osculateur ; il touche la courbe propose et a même courbure qu'elle. Si par la tangente et par la perpendiculaire au plan osculateur on fait passer un nouveau plan , le centre de courbure sera évidemment situé , par rapport au nouveau plan, du même côté que le point (x + Axj y + Aj^, z -+- A-z), et coïncidera nécessairement avec Tun des points du demi-axe dont la direction est déterminée par les angles X, jui , v, que la normale principale fait avec les axes , et qui , comme nous Tavons vu , sont donnés par les équations
ces A COS fi ces F
dx dr dz'
d— d— d — ds ds ds
165. n est facile de calculer la longueur du rayon de courbure , en partant de l'équation qui le définit
I , -. Ar , dr
-=.± lim. — = ± 3-.
p liS as
EneflFet, cosa, cosê, cosy^cosa-|- Acosa, cos6-|-Acos6, cosy -H Acosy étant les cosinus des angles que font avec les axes deux tangentes très voisines , on a
cos*« -t-cos*^+cos*y = I, (cosa-f- Acos«)*-f-(cosff-f-A cosff)*-f-(cos5^-f-Acosy)»= I>
COS Ar = cos « (cos fit + A cos«) -t- COS ff (cos C-t- A COS C)
+ COS y (cosy-|- A COS y) ;
si de la somme des deux premières équations on retranche le double de la seconde, il vient
2(1— cos At) =:(ACOS«)*-t-(ACOS^)* + (ACOSy)*.
On a d'ailleurs
Ar . Ar
COS Ar = I — 2 sm* — , 2 sm* — =1 —cos Ar :
VINGlVKrEUVIÈME LEÇON. Sop
donc
2sin — = K (AcoSflt)'-l-(AcosC)* +(Acosy)% et par suite
Ar . AT . At
— sin— 2sin —
,. Ar a ,. a . 2
lim. — =:lmi. — =iim. = lim.
A5 A 5 Af Af
et enfin ,
c/cos^N* . /'dcosy\*
ds
En procédant de la même manière , on trouverait pour la seconde courbure
n résulte évidemment de ces formules que la première
courbure - est s'énéralement nulle dans le cas où les an-
gles a , 6 , y deviennent constants, et la seconde courbure
- dans le cas où les angles /, m , /i conservent toujours
les mêmes valeurs 5 ce qui s'accorde avec les définitions que nous avons données de ces courbures.
Si dans la valeur du premier rayon de courbure Ton
met pour cos a , cos 6, cos y , leurs valeurs -7-, -f-, —, il
'■ ' ds ds ds
viendra
3lO ' CALCUL DIFFÉREUTIBL..
puis, en dévieloppant comme plus haut (n^ 160)
^ "" V ds^
V/(5y d*z-dz d*yy+(dzd*x- dxd^zf -{-(dxd^y-dyd^xY
Si Ton prend s pour variable indépendante , il viendra plus simplement,
En prenant x pour variable indépendante, en trouverait
i V{y'z" — 7-^^zQ» + g^' + r"^
166. Si, à partir du point {x^y^ z)^ on porte sur la courbe donnée et sur la tangente prolongées dans le même sens des longueurs infiniment petites, égales à /, et si l'on nomme à la dislance comjirise entre les extrémités de ces deux longueurs, on trouvera, en prenante pour variable indépendante et en remarquant que les coordonnées des extrémités des deux longueurs , sont respectivement
dx dy dz
dx /» fd^x . A dy i^ f dW „\
dz « * / d^z
ds i.z\ds^
donc
? = lim. ^,
VINGT-^EWI^E LBÇOir. 3lC
et par ccmséquent, 'pour obtenir le rayon de courbure d'une |X>wbe en vai point donné, il suffit de porter sur cette çouii>e«t sur sa tangente prcdongées dans le même sens , des longueurs égales et infiniment petites, et de diviser le carré de Tune d'dles par le double de la distance CMiiprise entre leurs extrémités : la limite du quotient pu la valeur «xacte du rayon de courbure. En comparant ensemble les équations
ÇOSA COS/C 0051» ,
d — d— d— ds ds ds
,HJv/(^î)"H-(4)V(^S)',
on trouvera
ds ds ds
et en prenant s pour variole indépendante,
d^jp dW d*z
167. Si l'on suppose que le plan ay devienne parallèle au plan osculateur, on aura
CO&i =35 0, CQS m = o , OÛS /î = ± I ,
et par suite , en vertu des équations
cosldx + cos mdy H- cos ndz = o;
co&ld^x ^ cosmdy + cosnd*z = o;
dz z=z o'y d*z := o,
1 ^^ dxd^f'-^djrd^x - = ± 7-.
^ {dx^-^dy*)^
Le rayon de courbure de la courbe donnée est donc égal en grandeur au rayon de courbure de sa .projection ,sur le plan osculateur. Ces deux rayons de courbure comcident aussi en direction, puisque la normale principale, située dans le plan osculateur, sera évidemment la nor-^ maie à la projection de la courbe sur ce plan; donc, etc*
168. Appliquons ces formules à Thélice représenté^ par les équations
X = Rcostf, j=:RsiDa, 2=aRtf,
et prenons u pour variable indépendante , on trouvera
££r := •— Rsinae/a, dr = "Kcio^udu, dzz^àKdUy d^x =2 -— Rcosiwfa*, d*jr z= — Htàaudu*, d^z = o,
dx dr dz d*x dW d*z
— smi^ cosu a cosu sma o
^5 = dh l/i + a» . Rrf», rf»j = o, cos« cpsC cosy i I
sinu cosir
La dîflFérentielle seconde d^s 'étant nulle , on devra employer les formules où l'arc s est pris pour variable indépendante , et l'on aura
ces A cos^ ces y
cosu sinu o
ces/ cosm cos/i
I , cosy == o,
— asinK acxysu — i \/i-|-a>*
l __ I //dsinu\* ' /dcosw^
p V/i + a> V V ds ) "^V""^""/
du
VIHGT-NEUVISME LEÇOIT. 3l3
L^équation du plan oscillateur sera
ou Ç — z =: «(^cosa— fsina).
Enfin Ton aura
Si à la quantité a on substitue Tangle y^ lié avec a par
, on trouvera
réquation cosy =
ces/
COSITt
sintt
— cos«
cos/i , R ^ , ,
=:±cosy, p = -T— r-=R<îosec*y,
tangy ' "^ sm'y '^^
—, =2Rcosec2y.
smycosy
L^équation cosv ^ o prouve que la^ normale principale dç rhélîce au point (jc, y^ z)^ coïncide avec la perpendiculaire baissée de ce point sur Taxe des z^ ou, ce qui revient au même , aveiî la génératrice de la surface héli-
çoïde, représentée par Féquation z = dK arc tang -. Donc
le plan qui passe par cette génératrice et par la tangente à rhélice, c'est-à-dire, en d'autres termes, le plan qui touche la surface héliçoïde au point {x , ^, z) , se confondra nécessairement avec le plan osculateur de Tliélice. On déduirait directement la valeur p = Rcoséc*y du rayon de courbure, de l'équation
P=lim^,
qui dans ce cas deviendra, comme on le prouvera facilement
^ = ^^""- \¥Eà) = R^ =^(" H-«^)=RcosécV
3l4 CALCUL DIFFtRBNTIBL.
wmmmm^mmÊmmmm
trenheme leçon.
Déterminatipit analytique du centre de oMurbure. — Défdojppée dkme
courbe quelconque.
169. Soit p le rayon de courbure d'une courbe quelconque, correspondant au point (x^jr, z); |, m^ C' ^^^ coordonnées de Textrémité de ce rayon appelée centre de courbure; X, |x, v les angles formés avec les demi-axes des coordonnées positives par la droite menée du point (j?, jr^ z) au point (^, ^) O? ^^î^ T^ cdincide avec la normale principale, on aura
t — jc ti — X Ç — z
ï =: COSA, := C0S#6, = 006»,
ds ds ds
ÇOSA =/> -~-, CQS/6 =p "X^' ^^^' ^ '^ "S"*
rf^ d^ d$-
. d> ds ^ ds
çt en remettant pour p* sa valeur
fdsd^x — dxd*s . ,
{dxd*z-~dzd^yy'\'{ded*x-^dxd^z)*'i-{dxd*y—djrd*xY
dsd^jr — drd*s , j
" ""-^ "" {4yd *z^dzd*yY-h {dzd *x—dxd*z)»-h {dxd-y^diyd^xy ' ç, did*z — dzd*s , .
(dyd »z—dzd >r) *'h(dzd »x^dxd *zy-+-(dxd*X'-drd *x)*
T&BZÎTIÈME LEÇOH. 3l5
OU, ce ffiii reyient av même,
^""' "" (^à*Z'dzà*jy'\-(dsd*x^d^*gy'h(dxdy-4xd*x)*^ -r-^-r ;•
Dans le cas où Ton prend x pour variable indépendante , les formules précédentes se réduisent à
A Faide de ces équations , on pourra déterminer les coordonnées Ç, Tî, Ç du centre de courbure, qui, comme on le prouvera facilement, vérifieront en général le système des trois équations
(? — x)»+(,jr)a+(Ç-z)« = p>
{i—x)dx + (ti— r)^r + (C — z)dz=zo, {( — <i?)^*x+(v— 7)rfV+(Ç — 2;)rf»z — dx^—dy^ — dz*=o.
De ces trois équations, la première exprime que le centjne de courbure est à UJaa distance p du point (x, jr, z)-^ la deuxième ^"4 est dans le plan normal \ la troisième , qu'il fait partie du plan osculateur : on aurait pu les écrire à priori j et U est essentiel d'observer que Ton retrouve la deuxième et la (troisième , lorsqu'on différencie la première et la deuxième en opérant comme si les troisineon-^ nues ^ , >79 ^ étaient des quantités constantes.
170. Quand le point {pc^y^ z) vient à se déplacer sur la courbe donnée, le centre de courbure se. déplace en même
3l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
temps. Si le premier point se meut d'im mouvement continu sur la courbe dont il s'agit, le second décrira une nouvelle courbe : or pour obtenir les équations de cette dernière, il suffira d'expiimer en fonction d'une seule variable x,j^, ou s^ àTaide des équations u = Oj p =o, de la courbe donnée , les seconds membres des équations qui donnent 1 9 V}? (^> et d^éliminer cette variable entre ces trois équations. Les deux équations résultantes de cette élimination ne renfermeront plus que les trois variables $ î ^ ? C » ®^ représenteront précisément la ligne qui sera le lieu géométrique de tous les centres de courbure de la courbe donnée.
Pour établir les principales propriétés de cette ligne , différentions par rapport à toutes les variables, les deux équations
(f~x)«+(»— r)*+(Ç — 3)* = PS
en y regardant x^ jr^ z comme tenant la place de leurs valeurs en | , y? , Ç. En opérant ainsi , on trouve
(S — x)di + {sj — x)dn +{^ — z)di:= fdp , dx di +dy dtj + dzd^ = o,.
Cette dernière équation prouve que la tangente menée à la nouvelle courbe par le point ($,>}, 0» forme un angle droit avec la tangente menée à la courbe donnée par le point (x , j^ z). Donc la tangente à la nouvelle courbe est comprise dans le plan normal à la courbe proposée.
De plus, si Ton nomme g l'arc de la nouvelle courbe compris entre un point fixe et le point mobile ^ , to ^ ^y on auca
d^^ ri'dn^ + d^^ = d<r^,
do" p do- p dr p dr
TREIITIEIIE LEÇON. SlJ
et il résulte évidemment de cette dernière formule , que
le rapport -j- est égal au cosinus de Fangle aigu ou obtus,
formé par le rayon de courbure p avec la tangeijite à la nouvelle courbe. Quand la courbe proposée est plane , cette tangente se confond avec le rayon de courbure ou avec
son prolongement , et par conséquent le rapport -7- se ré-
