CM

duit au cosinus d'un angle nul, ou au cosinus de Tangle tt , c'est-à-dire à ±: i . On a donc alors

dp = Hz dor ,

et Ton en conclut , comme on Ta déjà fait , que Tare Aa est la différence des rayons de courbure correspondant à ses deux extrémités. Mais il n'en est plus de même quand la courbe donnée cesse d'être plane , et dans ce cas le rapport — obtient généralement une valeur ninnérique différente de l'unité.

171. Concevons qu'un fil inextensible d'une longueur connue , soit fixé par une de ses extrémités à un certain point d'une courbe , et que ce fil , d'abord appliqué sur la tangente menée à la courbe par le point dont il s'agit, vienne à se mouvoir en demeurant toujours tendu, de telle sorte qu'une partie s'enroule sur l'arc renfermé entre le point fixe et le point variable (j:, y^ z). L'autre partie qui restera droite et touchera la courbe donnée au point (o?,^, z), sera terminée par un point mobile qui décrira une nouvelle courbe, que l'on a désignée sous le nom de déi^eloppante de la première. Celle-ci prend, par rapport à la deuxième , le nom de dé\feIoppée, On peut facilement établir comme il suit, leurs propriétés respectives.

Soient ^j >3 5 Ç? les coordonnées du point de la développante , qui correspond au point (x , j^ , z) , de la développée etria distance entre ces deux points. En désignant

3l8 CALCUL DIFFÉUntltL.

par oc, è^y les angles que fait avec les axes la tanfente à la première courbe, qui coïncide avec le rayon r, on aura à la fois

dx f— j: ^ dr v — r dz f — z

co8<« = -r- = , cosCs=t-=^ = ^, cotv=-r ^= — f

ds r ds r ds r

en supposant que la longueur r est comptée à partir du point (x, y, ^), dç la développée sur' la tangente prolongée dans le même sens que Tare s. De plus, on aura dans cette hypothèse,

donc

? — X fi--x C — z r^

dx dy dz dr^

dx dy ^ dz

en différenciant ces dernières équations , on trouve

dZ — dx=i — dr~ rd^-y dtf — dyz= — dr -^ -^ rd-^^

dr dr' -^ dr dr

j^ dz dz

dr^^dz=i — dr-— — rd-;- , ^ . dr dr

OU en réduisant

dk = -rd^, d,= -rd^,d^ = -rd^; dr dr dr,

d'où l'on tire

d.d^+dyd,+dzd!:=-.rdr(pdf+p±+^d^),

^^dr dr dr dr dr dr)

TRkSfTIEME LEÇON. 3l^

îhais Toh a

(àx\^ fdx\.fdz\ dxdxdydy dz^dz

donc

dx(^ -f- ify-ifv + dzdZ = o.

n résulte de cette dernière formule que les tangentes menées parles points correspondants (or, y, z), (J, >?, ^), à la développante et à la développée , se coupent à angle droit. Donc la tangente à la développée est toujours normale à la développante.

Lorsque la développée est connue , ainsi que nous l'avons supposé dans ce qui précède, il suffit pour avoir les équations de la développante de substituer dans les formules

^ dx àr ^ dz

à la place de x, j^ z leurs valeurs exprimées en fonction de s et de remplacer, en outre , r par c qi ^, puis d'éliminer s entre ces mêmes formules. En effist, on parviendra de cette manière à deux équations entre |, >î, Ç qui représenteront évidemment la courbe décrite par l'extrémité de la longueur r.

172. Supposons à présent que l'on cbercbe non plus ime développante^ mais une développée de la courbe à laquelle appartiennent les coordonnées variables x^y^ z. Appelons Ç . y? , Ç les coordonnées variables du point de cette développée qui correspond au point {x^y^z)^r la distance-entre ces deux points, a l'arc de cette courbe comptée à partir d'un point fixe î « , 6, y les angles que fait avec le$ axes la tangente à la développée prolongée dans le sens

de Tare, on aura

dî :c — f p dn y — ^ d^ z — Ç

dr r dr r dv' r

r — tf-^rc, dr z=z. dr^

(f — ar)> + (v ^)v+(Ç — zy = r\

Si Ton diflFérentie trois fois de suite cette dernière équation, en prenant l'arc s pour variable indépendante, et en ayant égard aux é(juations qui précèdent, on trouvera

i-, ((—x)(di—dx)+{v—f)idn—djr)+{Z^z){d!:—dz)=rdr,

et, en mettant pour //^ , dn^ d^^ leurs valeurs,

—[(r- x)dx+(v—x) dy + {r, — z)dz\

d'où (? — x)dx -f- (« — y)dy + ( Ç — z)dz = o ;

2**. En diflFérentîant cette dernière équation,

(? — xjd^x + (i; — y)dy H- (Ç — z)d*z

-|- dSda: + dtjdy + dl^dz — ^*— €(^* — flfo»=:o,

OU , à cause de

dSdjc + û?we/j + dl^dz = o, dlr » + dy* + dz* =z ds^y (f —a:)d*x + (^ — j)û?»r + (Ç — z)d*z = «f^%

et , en mettant pour | — x^m — y, f — z, leurs valeurs ,

r(did*x + dfidy'+ d^d^z) = ds^dr;

3°. En différentiant l'équation

{i—x)d*x + {v —y)dy+ {Z, — z)d*Z = ds\ ou

(I — j:)ri/»d: + [n —y)rdy+{l^— z)rd*z = rds\ {l—x)d.Td*x + {fi —y)d.rdy + {!^—z)d.rd*z +rd*x{di—dx)-\^rdy (df, — dy) + rd^z (d^ — dz) z= d.rds' -,

mais

dxd^x^ dyd^y + dzd^z ==: dsd^s = o,

r{^d^x + di>idy + dl^d^z) zrzds^dr;

donc

(I — x)d.rd*x+ (n — x)d.rdy+(l^ — zjd.rd^z + drds* = drds*, (f — x)d.rd}x + {n — y)d,rd^y + (Ç — z)d,rd^z = o.

Des quatre équations

(?— or)» + (9 —yY 4- (Ç — z)» = rS (? — a:)Éte + (if — y)dy + (Ç — z)fifa = o,

{i—x)d*x 4- (9 — r)fl?y + (Ç — 2)^*« = û^S

(f — x)<i.7irf*x + (jj — j) d,rd^y + (Ç — z)d.rd^z = o,

on tire

âyd.rd'^i-dzd.rd^y dzd,rd*x-dxd.rd*z dxd,rd*y-djrdj'd*x

~" d*x(djd.rd*s — dzd.rd*jr)'i-d*y{dzd,rd*x — dxd.rd*z)+d*z{dxd.rd*y — ^d.rd*x)

i/'l(4yd,rd»z^dzd,rd'jr'j%^(dzd,rd'x — dxd.rd*z)*'^(dxd,rd^x—4yd.rd*x)] *

V^(ds*i(d.rd*xy-h{d.rd*y)'-h(d.rd*zy]-'l(dxd.rd*x-{-drd.rd»x-hdzd.rd*z)-\* J

égalant ces deux dernières fractions, carrant et réduisant, on trouve

rd*x d^x d*y ^ . £^ d^z"! dr

'^^L'^^^"'"^ ds* ds^ dsiyin

rfd3x\* fd^y\* ,/<^^^Y (dxdix dyd^r dzdH\*'-\ L\ ^*' / \ds^ ) \d5^ ) \ds dsi "^ dsds^ "^ dsds^ ) Y^ fdxd^Xd^z-dxd^zd ^r-hdprd^zd^X'djrd^xd ^Z'^dzd*xd^y'dzd*yd^x\ «

équation que l'on peut mettre sous la forme

A -^ h Br -^ + Cr> + Dr* = o.

ds"" ^^ ds ^

Si Ton substitue dans cette équation pour x^y^ z, leurs valeurs, exprimées en fonction de 5, elle se réduira k

et sera ce cpi^on nomme une équation différentielle du premier ordre entre r et 5, à laquelle on pourra satisfaire par une équation de la forme (f (r, s, c) = o, ou r=(f(s^ c), c désignant une constante arbitraire.

En donnant à c une valeur particulière , on aura r en fonction de s^ et si après avoir mis dans les équations

(f — x)djc H- {u — x)djr + (Ç — z)dz = o,

{i—x)d^x + („j)rf»j + l^ — z)d*z = ds%

(f — x)d,rd*x + [fi — y)d.rd*y + (Ç — z)d.rd^z = o,

à la place de x, y, z, leurs valeurs en j, on élimine s entre les trois équations résultantes, on obtiendra entre les coordonnées ^, y?, ^ deux équations propres à représenter une développée de la courbe que l'on considère. Cela posé , il est clair que cette courbe aura une infinité de développées qui correspondront aux diverses valeurs de r, ou , ce qui revient au même , aux diverses valeurs de la constante arbitraire c.

Ajoutons que toutes ces développées seront situées sur la surface que l'on obtiendra en éliminante entre les deux formules

(f — x)dx + [n — y)dx + (Ç — z)dz = o, {^—x)d^x 4- (^ — 7)^*r + (Ç — z)r/>z = ds*.

La surface dont nous venons de parler, ou le lieu géométrique de toutes les développées, jouit de plusieurs propriétés remarquables , sur lesquelles nous reviendrons quand nous aurons parlé de l'application du calcul différentiel à la recherche des propriétés des surfaces courbes.

TRENTE-ITNifeME LEÇON. Ss^

Il I ,,1,

Do contact des courbes situées d^une manière quelconque dans Tetpace.

-^ Courbes osculatrices.

173. Considérons deux courbes tracées dans l'espace et qui se touchent en un point donné M ; si du point de con-* tact comme centre, et avec un rayon infiniment petit, on décrit une sphère, la surface de la sphère coupera {fig' Sa) les deux courbes en deux points très voisins l'un de l'autre P et Q 5 et en admettant les définitions que nous avons données {pP 141), quand il s'agissait de courbes situées dans le plan unique des coordonnées , on obtiendra im-* médiatement le théorème suivant :

Théorème i*^'. Lorsque deux courbes se touchent en un point donné, l'ordre du contact est inférieur d'une unité à Tordre de la quantité infiniment petite qui représente la distance entre deux points situés sur les deux courbes, également éloignés du point de contact , . et dont la distance à ce point est un infiniment petit du premier ordre. Il est bon d'observer que la droite PQ = aisin-jw qui unit ces deux points étant la base d'un triangle isoscèle MPQ, et opposée dans ce triangle au très petit angle cd, sera sensiblement perpendiculaire aux deux côtés de ce triangle , et par suite à la tangente commune aux deux courbes \ tangente dont les deux côtés diffèrent très peu. La surface du triangle est d'ailleurs égale au produit \ /* sin w, et, par consécpient, à une quantité infiniment

ai . .

petite dont l'ordre a +2, surpasse de deux unités Tordre du contact des courbes.

174. Concevons maintenant que l'on projette les deux courbes et le triangle MPQ sur un plan qui ne soit pas sensiblement perpendiculaire au plan de ce triangle, et qui fasse avec lui un angle xs. Les deux projections des courbes auront aussi une tangente commune, et en appelant ç, X» ^9 ^^^ angles que les droites MP, MQ, PQ font respectivement avec leurs projections, on aura

mp = MP cos^ = i cos^ , mq = MQ cos;^ = i cos;^, y7<7=PQcos-sî, = 2isin7«cos4^, mpq =:MPQcosiy=-jJ*sin#costr =z i* sin^^ cos-j» coss- =-j mp ^pq X sin mpq = 7 f cos^ X 2' sin ^tf cos4^ sin mpq ;

d'où

COS7« CCS»sm mpq = = r- ;