COS^COS

la perpendiculaire mr abaissée du point m sur la droite pq sera égale au produit mp X sinmpq , et l'on aura

mr = mp X sin mpq -=. i cos^

COS7 ^ COS-Br i COS7« COStS"

cos^cos>|. cos-^

or la valeur de l'angle o) étant très petite , et celle des angles CT , ç , X 9 4* ' ^^^ïït sensiblement différente de — , les

quantités cos \ w , cos xs , cos y , cos ^ > cos ^ auront des valeurs sensibles, et il suffira de jeter les yeux sur les équations qui donnent pq^ mr^ pour reconnaître, i*^ que la distance yy^ est, dans l'hypothèse admise, une quantité infiniment petite de l'ordre a -f- 1, et qu'elle forme avec la distance mp un angle sensiblement différent de o ; 2*^ que la distance mr est un infiniment petit du i®*" ordre. Observons encore que la tangente commune aux deux courbes projetées se confondant à très peu près avec la droite mj) ,

formera elle-même, avec la sécante pq^ un angle sensible.

.Puisque la projection pq de la sécante PQ qui unit deux points situés à des distances du point de contact , égales entre elles et infiniment petites du premier ordre , est un infiniment petit de Tordre a + i 6t fait un angle fini avec la tangente commune aux deux projections, on en conclura (n** 142) que les courbes projetées ou les projections des courbes ont, ainsi que les courbes d^ns Tespace, un contact de l'ordre a. Nous sommes arrivés à cette conclusion en supposant que le cosinus de Tangle que le plan du triangle MPQ fait avec sa projection mpq avait ime valeur finie 5 mais il est facile de prouver que si ce cosinus était, sensiblement nul, c'est-à-dire que si le plan du triangle mpq devenait sensiblement perpendiculaire au plan du triangle MPQ , mais en continuant de former un angle sensible avec les côtés MP, MQ, et par suite avec la tangente commune aux deux courbes dans l'espace , le contact des deux courbes projetées serait encore nécessairement de l'ordre a ou d^un ordre supérieur à a. Alors en effet , les distances mp , mq seraient encore des quantités infiniment petites du premier ordre , tandis que la distance pq serait une infiniment petite d'un ordre au moins égal à a-+- 1, ainsi que la droite pr que Ton obtiendrait en décrivant du point m comme centre avec le rayon mp^ un arc de cercle qui couperait la seconde courbe au point r^ or la distance mp ne peut être une quantité infiniment petite du premier ordre, et la distance pr un infiniment petit de l'ordre a H- i sans que l'ordre de contact des deux courbes projetées soit égal ou supérieur au nombre a \ donc, etc.

175. Concevons à présent que l'on projette successivement les deux courbes données sur le plan xj et sur le plan ZX'^ et supposons d'ailleurs que Tanglc compris entre

Taxe des x et la tangente commune aux deux courbes dif^ fère sensiblement d'un angle droit, cette taoïgente ne

pourra être sensiblement perpendiculaire ni au plan xy^

ni au plan zx qui passent tous les deux par Taxe des x ; de plus ces derniers plans ne pourront pas être tous les deu^ à la fois sensiblement perpendiculaires au plan MPQ, car sans cela leur intersection commune serait sensiblement perpendiculaire aux deux lignes MP et MQ, et par suite à la tangente commune , ce qui est contre Thypotbèse \ et par conséquent, en vertu de ce qui précède , le contact des

deuit projections sur le plan xy et sur le plan zx sera tou-t jours de Tordre a ou d'un ordre supérieur à a, et sur Vvax des deux plans au moins de Tordre a seulement , on peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème 2"®. Pour obtenir Tordre de contact de deux courbes qui se touchent en un point où la tangente com-r mune ne forme pas un angle droit avec Taxe des x^ i\ suffit de chercher les nombres qui indiquent les ordres de contact des deux projections de ces courbes sur les plans

ocy et zx , chacun de ces nombres , s'ils sont égaux , ou le plus petit d'entre eux, s'ils sont inégaux, indiquera Tordre du contact des courbes proposées.

Corollaire i®"^. La recherche de Tordre de contact de deux courbes à double courbure, se trouve donc réduite à la recherche de Tordre de contact de deux courbes planes, c'est-à-dire à un problème déjà résolu. On en conclura, i^ en prenant j: pour variable indépendante, et désignant par j-', y'', y,. . .-s', z\ z" . . , les dérivées successives des variables j el z considérées comme fonctions de a: ^ 2^ en désignant par ii le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à a, que si deux courbes ont entre elles un contact de Tordre a , les quantités J -> y •> y'\ • • • 'y^"\ z^ z\ z", . . . z^"' conserveront les mêmes valeui-s

TREHTE-XJHIÈME LEÇON. ^2J

pour le point dont il s'agit dans le passage de la première courl>e à la seconde, tandis que chacune des quantités jr{»+0^ ^(«+0^ ou au moins l'une des deux, changera de valeur ; de sorte que dans le cas où l'ordre de contact sera un nombre entier, il suffira pour déterminer cet ordre, de diminuer d'une unité l'ordre des dérivées successives j^',y", j^ '*,... z', z\ z'^y . . • qui les premières cessent d'être égales quand on passe d'une courbe à l'autre .

Scolie. Si la tangente commune aux deux courbes formait un angle droit avec l'axe des a:, elle ne pourrait

pas être à la fois perpendiculaire au plan ocy et a^ plan

zXy ou aux axes des y et des z \ donc, pour déterminer dans cette hypothèse l'ordre de contact des deux courbes , il suffirait de substituer à l'axe des x l'axe des j^ ou l'axe

des z , et de remplacer en même temps le plan zx ou xj

par le plan yz,

176. On peut, au deuxième théorème , en. substituer un autre qui ne soit sujet à aucune restriction, et dont voici l'énoncé :

Théorème 3°^®. Pour obtenir Foixire de contact de deux courbes qui se touchent en un point donné, il suffit de chercher le nombre qui représente l'ordre de la distance infiniment petite comprise entre les extrémités de deux longueurs égales portées sur les deux courbes , à partir du point de contact dans le cas où les mêmes longueurs deviennent infiniment petites du premier ordre. Le nombre dont il s'agît diminué d'une unité, indique toujours l'ordre du contact.

Démonstration, Soit toujours M {fig^ 33) le point commun aux deux courbes qui se touchent : soient encore P et Q deux autres points situés sur la première et la seconde courbe à la même distance du-point de contact ; enfin , concevons qu'à partir du point M on porte sur la se-

conde courbe un arc MR qui soit égal à Tare MP, les cantes PR et PQ seront, comme on Ta vu, sensiblement perpendiculaires à la tangente commune ; de plus la corde QR étant comprise entre deux points de la seconde courbe très rapprochés du point de contact, sera sensiblement parallèle à cette tangente. Par conséquent dans le triangle rectilîgne PQR , les côtés PQ et PR formeront avec le troisième côté QR des angles dont chacun différera très peu d'un angle droit ; donc le rapport entre les deux premiers côtés qui est égal au rapport des sinus des angles opposés , différera très peu de l'unité, et en désignant toujours para) Tangle des deux rayons , et par e une quantité infiniment petite, on aura PR== PQ(i H-e), et parce que PQ, corde de Tare qui mesure o) dans le cercle dont le rayon est iy

est égale à 2J sin-, on aura

PR =: ( I + I ) 21 sin -.

D'ailleurs en remarquant que le rapport d'un arc à la corde a pour limite Tunité, et désignant par e' une nouvelle quantité infiniment petite , on a arc MP = (i +c')/. Donc puisqu'en considérant le rayon vecteur i comme infiniment petit du premier ordre , l'arc MP sera lui-même infiniment petit du premier ordre , tandis que , comme

nous l'avons vu, le produit 2 /sin -et la distance PR seront des infiniment petits de l'ordre a H- i , a désignant l'ordre de contact des courbes, on obtiendra dans tous les cas cet ordre de contact en diminuant d'une unité le nombre qui exprime l'ordre de la distance infiniment petite PR comprise entre les extrémités de deux longueurs égales et infiniment petites du premier ordre portées sur les deux courbes à partir du point de contact, ce (jii'il fallait démontrer.

177. Désignons par x^ jj z^ ^^m, ^ les coordonnées des points auxquels aboutissent les longueurs égales sur la première et la seconde courbe , et par â la distance de ces extrémités, on aura

d ne pourra être un infiniment petit de l'ordre a + i qu'autant que l'une au moins des différences x — | , j^ — yj, z — Ç sera de l'ordre a H- i , les deux autres étant du même ordre ou d'un ordre plus élevé , ce qui exige , en prenant i pour variable indépendante , que des quantités

"^ ^' di~' %'~dr- '••• di- ' ^/«+^ *

d(y—t) d^(X—l) d"{jr—f,) fi?'»+'(j— „)

di ' di* ' • di^ ' é//«+^

d{z—Q d-(z—^) dn{z—Q ^«+x(z Ç)

di ' di^ ' di^ ' rf/«+' '

les dernières seules , ou au moins l'une d'entre elles , ne s'évanouissent pas avec i.

Cela posé , désignons par 5 et <j les arcs renfermés entre un point fixe de la première courbe et le point (pc^j^ z) , entre un point fixe de la seconde courbe et le point (Ç, y?, ^), et admettons que ces nouveaux arcs soient dirigés dans le même sens que l'arc i\ comme les trois variables i, s et <j différeront entre elles de quantités constantes , on aura

di = ds = do'y

et l'on pourra dès-lors (n** 91 ) , aux expressions qui précèdent, substituer les suivantes

ds dff ^ dz d^

2— Ç, tt: — 37

dx de

ds~ d^'"'

ds"" do-" '

dy dtj ds^da-'"'

dy d^fj ds"" d<r'' '

dz dlC

d^z ' flf«Ç

ds do-'"'

ds'' t/<r« '

33o CALCUL DIFFÉRESTIEL.

et Ton devra avoir au point de contact

^'^^^ d^'^Jo-' ds^ ^1^'*'* dF'^l^'

dy ^__ dn d^y d^ti d^y d'^n

^^"^ dl^dr' dF'"d^*'"' ■^""^«'

Or ces équations renferment le théorème suivant :

178. Théorème 4™®. Lorsque deux courbes se touchent en un point, si Ton considère les coordonnées x^y^ z de chacune d'elles comme des fonctions de l'arc s pris pour variable indépendante , et si Ton suppose cet arc compté sur chaque courbe , de telle manière qu'il se prolonge dans le même sens pour les deux courbes au-delà du point de contact , les variables x , j^, z et leurs dérivées successives jusqu'à celles dont l'ordre sera indiqué par le nombre entier n , égal ou immédiatement supérieur à Tordre du contact , ne changeront pas de valeur dans le passage de la première courbe à la seconde : les dérivées

ou au moins l'une des trois , changeront de valeur quand on passera d'ime courbe à l'autre.

Du théorème qui précède , joint aux principes établis dans la dix-neuvième leçon, on conclura immédiatement que si deux courbes ayant entre elles un contact de l'ordre a, on désigne par n le nombre entier immédiatement supérieui' à a, i^ les n premières différentielles des variables x^y^ z, prises relativement à une fonction quelconque r de ces variables, et même les n premières différentielles d'ime fonction quelconque f de ces variables, prises par rapport à une autre fonction arbitraire u des

mêmes variables, ne changeront pas de valeurs quand on passera de la première courbe à la seconde ; 2** les diflférentielles de Tordre (»H-i) de x , j", z, prises par rapport à r, ou de t par rapport à 1/, cIiangeront|ordinairement de valeur quand on passera de la première courbe à la seconde, quoique le contraire puisse avoir lieu dans certains cas particuliers.

Corollaire. Rien n'empêche de supposer r = x. Dans les corollaires qui précèdent, les dérivées

dx d^x d^x dy d^y dz d^z

d?' di^'*"di^' di^'^"li^' Jr''"lP'

deviendront alors

dy d^y d^y dz d*z d^z

donc si les courbes proposées ont entre elles un contact de Tordre a , et si Ton prend x pour variable indépendante , les coordonnées j'^, z et leiirs dérivées successives jusqu'à celles de Tordre n inclusivement, n étant un nombre entier égal ou immédiatement supérieur à a , conserveront en général les mêmes valeurs relatives au point de contact dans le passage de la première courbe à la seconde. Les dérivées de Tordre n H-i et les suivantes, changeront de valeurs, excepté dans certains cas particuliers.