Réciproquement, si les dérivées successives

dx d^x d^x dy d^y d^y dz d^z d"z

ds' 1^* '" ds^* ds' IF" '" dF' ds' 'd?' '" dF '

ne changent pas de valeur quand on passe de la première courbe à la seconde , ces deux courbes auront entre elles un contact d'un ordre au moins égal à n.

Dans cette hypothèse, en eiïet, les différences x — ^, y — yj, z — ^, considérées comme fonctions de i, s'évanouiront avec / ainsi que leurs dérivées jusqu'à celles de

332 CALCUL DIFFÉKERTtEL.

l'ordre n indusivement, et Ton aura, en faisant

Cela posé, les rapports , "^^ , -, s'évanouissant

avec i tant que a sera plus petit que /* H- i , les trois

différences X — ^^y — n, z — ^, ainsi que la distance

seront des quantités infiniment petites d^un ordre au moins égal k n + i, et par conséquent les deux courbes auront entre elles un contact d'un ordre au moins égal à n. 180. On dit que deux courbes à double courbure sont osculatrices l'une de l'autre en un point qui leur est commun^ lorsqu'elles ont en ce point, non - seulement la même tangente , mais encore le même cercle osculateur , et par conséquent le même plan osculateur, la même normale principale et les mêmes courbures. Dès-lors, pour que deux courbes soient osculatrices en un point correspondant à l'abscisse x^ il est nécessaire et il suffit que les coordonnées y, z relatives à cette abscisse, et leurs dérivées du premier et du deuxième ordre , c'est-à-dire les six quantités

conservent dans le passage d'une courbe à l'autre les mêmes valeurs numériques et les mêmes signes : en effet, ces

six quantités déterminent complètement la tangente et le cercle oscillateur.

De plus, comme on peut exprimer les dérivées y\ y'\ z\ z"^ aumoyen des différentielles </a:, dy^ dz, d*Xj d^y^ d*Zy et réciproquement, on en conclut que pour savoir si deux courbes à double courbure sont osculatrices l'une de l'autre , il suffira de prendre pour variable indépendante une fonction quelconque des coordonnées x, j-, z , l'arc s par exemple , et d'examiner si les équations des deux courbes fournissent les mêmes valeurs de x^y^ z^ dxj dy^ dz^ J*a:, d^y^ d^z.

^ppUcation, Si l'on veut que le cercle représenté par les deux équations

( J ^) a + (, —y) a + (Ç 3)a = pa,

(I — x) ces/ + (jj — y) CCS /7î + (Ç — z) ces « = o ,

soit osculateur d'une courbe donnée , il faudra et il suffira, puisque le cercle passe déjà par le point (x ^ y^ z)^ que les équations différentielles du premier ordre et du second ordre,

(|^^) «?g + (, j) «?^ + (Ç z)rfÇz= G,

ces Idè + ces /w rfjy + ces nd^ = o , cosM*î + cos m d^tj-i-cosnd^^zzi o,

soient vérifiées quand à la place dec?|, drjj d^^d^lE^^ rf'y?, J'Ç, on mettra dx^ dy^ dz^ /i'x, d^'y^ d^z, et que Ton ait par conséquent

(f — x) ces / + (9 — x) ces /w + (Ç — z) ces /i = o ,

ces l dx -{- ces m djr-^' ces n dz=: Oy

ces / d^x + ces m d*y -4- ces nd^z z=.o y

(I — x)dx+ (jj — y)dy + (Ç— z)dz = o , (f — x) d^x-^- (fj — x) d*x + (Ç — z) dH = — ds^.

Ces six équations, jointes à Téqnation oonnue

cos* / + cos * /» -f- cos* /i = I ,

déterminent complètement un cercle qui sera le cercle osculateur cherché, puisque, les angles l, m^ n, sont donnés précisément par les trois équations qui fixent la position du plan osculateur, et que les trois autres équations sont celles qui fournissent les coordonnées du centre de courbure et le rayon de courbure.

Corollaire, On conclut de ce qui précède , que ^ux courbes qui ont entre elles un contact du second ordre ou d'un ordre plus élevé, sont nécessairement osculatrices Tune de l'autre.

Plan tangent et normale aux surfaces courbes .

181. Considérons une surface courbe quelconque représentée par l'équation u = ¥ (x ^ y^ z) = o. Si par un point (Xy y^ z), donné sur cette surface, on en fait passer une seconde ^^ = o , qui la coupe suivant une certaine courbe, la tangente menée en ce point à la courbe dont il s'agit (ii=o, ^^=0) sera donnée, comme nous l'avons vu, par les deux équations

et sera Tintersection des deux plans que ces équations représentent 5 or, l'un de ces plans, savoir, celui qui a pour équation

est indépendant de la nature de la seconde surface p» = o , et par conséquent aussi de la nature de la courbe d'intersection : donc toutes les courbes formées sur la surface i/=o, de manière à passer par le point {x , j^, z) , auront leurs tangentes en ce point comprises dans un seul plan.

Ce plan unique lieu de toutes les tangentes menées à la surface par le point (x, y^ z\ est ce qu'on appelle le plan tangent mené à la surface par ce point.

Les raisonnements qu'on vient de faire subsisteraient, et par suite Féquation du plan tangent conserverait la même forme

.du^. .du ^ .^ .du

si dans la fonction u les variables x^ y^ z représentaient non plus des coordonnées rectangulaires* mais des coordonnées obliques.

Si en faisant varier x^ y^ z^ on difierentie Téquation M = G , on obtient

— rte + — i/j + — = o.

dx dy dz

En comparant cette dernière équation à celle qui précède, on reconnaît que pour obtenir Téquation du plan langent, il suffit, dans l'équation différentielle de la surface de remplacer les différentielles dx^ dy^ dz par les différences \ — x, y? — y^ ^ — z.

182. Si par le point (x, y^ z) de la surface donnée, on mène une droite perpendîcidaire au plan tangent, cette droite sera la normale à la surface en ce point.

Soient i, fx, v, les angles de cette normale avec les axes ] l'équation du plan tangent pourra être mise sous la nouvelle forme

(f — x) CCS A -f- (f) — x) cos^ -f- (Ç — z) ces F ,

et l'on aura, par conséquent,

CCS A cosu CCS y du du du

AW - (!)•

(du^^'

^"^ ^r dz V \^dœ) "^ \dy) "^ \dz

et «n posant

. 1 du , i du . I du

COSA=± — -7-, COSM = ±=r-^-» COS»=:± — -—.

R dx* ^ R ûÇr ^ dz

Les équations de la normale seront dès-lors

du du du

dx dy dz

L'angle aignformé par le plan tangent au point (pc^y^ z)^

avee le plan xy^ est ce qu'on nomme Tinclinaison de la surface en ce point. Ce même angle est évidenmient ^al à Tangle aigu formé par la normale avec l'axe des z , et appelant I cette inclinaison , on a

R ife ' du

di

Quand Téquation de la surface se présentera sous la forme z z=z f{Xjy)^ on aura

u =/(^, ^) — z = o; si Ton fait, pour abréger,

df{x,y) dz df{x,y) dz

dx dx dy dy

il viendra '

du du du

-=/>, ^ = ?, ^ = -1. pdx^qdy — dz = o,

et les équations du plan tangent et de la normale seront

ou

^ — X + /?(? — «) = o, ti — y + q{K—^) = o;

alors aussi , les angles X , jix , v , I sont déterminés par les équations

ces A = ± — -====== , eos ^ = ±

eosi' = zt — — , cosi =

séci = 1//?*+^*+ I .

185. Les équations du plan tangent et de la normale conserveraient la même forme , si l'équation de la surface, au lieu d'être m = o, devenait u = c.

De plus , si dans l'équation du plan tangent

.du , ^ du ,^ .du

on regarde les coordonnées ^ , >? , Ç comme constantes, et les coordonnées x^ y^ z comme variables, on obtient non plus l'équation du plan tangent, mais l'équation d'une nouvelle surface qui est le lieu géométrique des points où les diverses surfaces représentées par l'équation u = c^ dans laquelle on donne à c diverses valeurs , sont rencon-trées ou touchées par des plans tangents menés tous par le point (^, >3, C).

De même , si dans la formule

on regarde les coordonnées x ^ y^ z comme seules varia-

TRENTE-DEIJXIÈMIB LEÇON. 33g

Mes, on obtiendra non plus les équations de la normale à la surface m = o , mais les équations d'ttne courbe, lieu géométrique des points où les diverses surfaces représentées par l'équation u = c sont rencontrées par des droites normales qui concourent toutes au point ( ^ , >? , Ç )•

Supposons que la surface courbe que l'on considère soit représentée par une équation de la forme

M + P + (V -\- , , . Z=Z Cy

, . . du du da . , .

les quantités -j-y -j- ^ -f^ seront alors remplacées par

rf» €i(j> dw du dv dw du dv dw

H'^H'^H''' d^'^d^^dP'"''^'^di^l[i"''

et l'équation du plan tangent deviendra

OU

. ^ fdu ^ du dw

du ^ du du ^ dp d(f dv

dx ^ dy dz dx "^ dy dz

dvv dw dw "*"^^'*"-^^"*"^^

Si d'ailleurs les fonctions u , p», w, sont des fonctions homogènes, la première du degré m, la deuxième du degré m — I , la troisième du degré m — 2 , etc. , on aura, en vertu d'un théorème connu,

du . du du dv dv dç

34o CALCUL DIFFÉRENTIEL i

et réquation du plan tangent deviendra , en ayant égarS encore à Tëquation

(du dv ^ dtv , \ ^ , (du , ^/p \flte dx

^ / \^r dy dy )

+ ( ^5^ + "37 + "^: +••• 1 Ç = iwc — p— aw — etCi

\efa "*" ^ "*" ^2

Dans le cas où l'on regardera 1, >?? Ç comme des constantes, x^y^ z comme variables, cette dernière équatioii représentera une surface du degré m — i , lieu géométrique des points<de contact die la première avec les plans tangents menés par le pdint (Ç, fï , Ç). Si la surface donnée est du second degré, la seconde se réduira simplement à une surface du premier degré, c'est-à-dire à un plan, et l'on arrive ainsi au théorème suivant :

Si, par un point donné , l'on mène des plans tangents à une surface du second degré, tous les points de contact feront partie d'une même courbe plane.

Si l'on suppose f^ = o , tv = o , l'équation de la surface donnée sera m = c , et celle du plan tangent

du du sdu y

dx dy dz

Il peut arriver que le plan tangent mené à une surface par un point donné {x^y^ z)^ ne la rencontre qu'au point dont il s'agit, ou qu'il la touche suivant une ou plusieurs lignes, o?-i qu'il la traverse. Dans les deux derniers cas, si l'on désigne par

l'équation de la surface , par Ç , >3 , ^ les coordonnées variables d'une des lignes suivant laquelle cette surface est touchée ou traversée par le plan tangent, ces coordon-

jiées yérifieront nécessairement les deux équations

Lorsqu'on peut trouver sur la surface une ou plusieurs lignes droites qui passent par le point (x^y^ z)^ chacune 4ç ces lignes se confond nécessairement avec la tangente , et se trouve par suite comprise dans le plan tangent. Alors les équations qui précèdent doivent pouvoir être remplacées par deux pu pliisieurs équations linéaires, ou du premier degré en ^ , y? , ^ ; et si cela a lieu pour tous les points de la surface, ouquelsi que soient x^y^ z^ la sur» face sera du nombre de celles qui peuvent être engendrées par le mouvement d^une ligne droite , et qu^on nomme surfaces réglées. Parmi les surfaces de ce genre^on doit remarquer les surfaces développables qui sont touchées par chaque plan tangent suivant une génératrice. Entre les surfaces développables on distingue particulièrement les surfaces cylindriques engendrées par le mouvement d'une droite qui est toujours parallèle à elle-même, et les surfaces coniques dont la génératrice passe toujours par le même point. Les surfaces réglées qui ne sont pas développables s'appellent gauches.