Applications, i®*" Exemple : La sphère
jC» ^ y^ J^ z* = R».
En différentiant on a xdx t|-J"4k+ zdz=o-^ l'équation du plan tangent est ^
les équations de la normale sont -=-=:= -. ^ X y z
La normale se confond donc avec le rayon mené au
point (a:,/, -z), et le plan tangent avec un plan perpendi»
culaire à ce rayon .
34^ CALCUL DIFFÉRBMTIBL.
2"« Exemple : L'ellipsoïde ^ + 1^ + ^ = i , Le plan tangent a pour équation
il ne rencontre la surface qu'au point (a:, y, z) : en effet, des équations simultanées
fl> "^ ô» "*" c> "~ ' a» "•" ô« "^^ c» "" '
jointes à Féquation de Tellipsoïde — + T7 + -5 = ») on
tire
ou, ce qui revient au même,
et par suite
xK — 2'ï = o, z^ — a?Ç = o, xif — ^f=o,
Izzrx, iy=J, Ç=Z.
Les équati&ns de la normale sont
or ~" ^ z *
3™® Exemple : L'hyperboloïde à une nappe
TKENTE-DEtTXliBME LEÇON. 34^
Les équations de la normale et du plan tangent sont
a* b^ c^ ' X y ai *
Pour déterminer les points de rencontre du plan tangent aree la surface, il faut trouver les systèmes de valeurs de J , y? , ^ propres à vérifier simultanément les équations
a> "*" 6> c»""'' a^ b^ c* '* or, de ces deux équations combinées avec la formule h- î = I , on tire
ou, ce qui revient au même ,
Le plan tangent rencontre donc la surface suivant deux droites génératrices , déterminées par les équations
û» b"" c^ ' aè
4™® Exemple : L'hyperboloïde à deux nappes
a*^^ b^ c^ L'équation du plan tangent est
f^ • fl^r Ç^
il n'a de commun avec la surface que le poîiil (a;, y, z). 5™^ Exemple : Le paraboloïde elliptique représenté
344 CALCUL DIFFéRENTIBL.
par réquation
En différentiant, on trouve
« j^ dt du X du y du 2
«• "*"?• -^""T' 5r""^â»' ~éfy~^b*^ ^"^""c*
Les équations du plan tangent et de la normale sont
(f.) J + (,^>^ (Ç,) L = o, ou f|+'^=ît?.
(g— j?)fl» {fi—y) b* c (Z—z) X y I
J7* jr* az O '
d'où l'on tire
-i- -^= ^ ^ -^S ^(f-^r)Hrr(9— r)+2z(Ç— z)=o.
Cette dernière équati^i prouve que la normale au paraboloïde elliptique en un point donné est comprise dans le plan tangent mené par ce point à un ellipsoï^is de révo-: lution dont l'équation serait dq la forme
Dans le cas où l'on considère x^ y^ z comme seuls variables, l'équation
représente un second paraboloïde de même forme que le premier, mais dont l'axe coïncide avec la droite qui a
pour équation
i fi
et le sommet avec un point situé sur cet axe et corres-
TRENTE*DEUXIÈME LEÇOIT. 345
pondant à Tordonnée
Dans cette même hypothèse, l'équation— +j-i =
représente un plan qui coupe les deux paraboloïdes suir vaut une ellipse, lieu des points de contact du paraboloïde donné avec les plans tangents menés par le point (^, y?, i^). Si, entre les trois équations
on élimine Ç et z, pu z+Ç? on trouvera
ou
et comme on ne peut satisfaire à cette dernière équation qu'en posant J = x, y? =J'j et par suite Ç = -s , on en conclut que le plan tangent n'a de commun avec la surface que le point (x,y, z).
6"* Exemple : Le paraboloïde hyperbolique représenté par l'équation
X* X* 9.Z du ^x du 2.jr du 2Z
L'équation du plan tangent est
■ """ '» , ^ — , • ou ""~ "■■ •"— — "
fl» b* c ' a* A» c
les équations de la normale sont
or r
346 CALCUL DIFFÉIEUTIBL*
OU
Pour obtenir la ligne d'intersection de la surface arec le plan tangent, il suffit d'assujétir les coordonnées £9 v^f ^ à vérifier à la fois les deux équations
Or si entre ces dernières et Téquation de la surface
pn élimine tel z, ou « + (*, on troavera
ou
et l'on en conclura
Ces deux équations , jointes à celles du plan tangent, représentent deux droites qui sont Tintersection du paraboloïde avec ce même plan : ces deux droites peuvent être regardées comme les génératrices de la surface.
7™** Exemple : Le paraboloïde hyperbolique
xjr = cz.
L'équation du plan tangent est
tix +J7 = c(Ç + z),
TREHTE-DEUXIÈME LEÇON. 347
les équatious de la normale sont
Les génératrices sont données par les formules
et elles sont constamment perpendiculaires Tune à Taxe des x, l'autre à Taxe des j^.
8"® Exemple : L'héliçoïde représenté par l'équation
z = aR arc tang [ ( ~
ou
j=a?taiig — , cfe = — ^^ — :- — ^ -.
^ — -r^ dz = xdy — y dx.
Les équations du plan tangent et de la normale seront
Le plan tangent coupe la surface suivant une infinité de lignes dont l'une coïncide avec la génératrice, c'est-àdire avec la perpendiculaire abaissée du point de contact sur l'axe des^^.
185. Quelquefois des lignes ou des pointa placés sur une surface courbe, offrent des particularités dignes de remarque, et analogues à celles que présentent les points singuliers des courbes. Parmi les points singuliers des surfaces, on doit distinguer ceux par lesquels on peut faire passer une infinité de plans tangents. En chaque point de cette espèce les valeurs de cos X , cos jut , cos v doivent être indéterminées , ce qui ne peut avoir lieu que dans deux cas, savoir : i*^ quand l'une au moins des quantités
348 CALCUL DIFFÉBENTXEL^
du du du 1 1 • 1
^, j-, ^ prend une valeur indéterminée; a** quand
ces trois quantités deviennent nulles ou infinies. Dans Fun et Fautre cas, Téquation du plan tangent devient identique , ou renferme au moins une constante arbitraire. Considérons, par exemple, le sommet de la surface conique représentée par Téquation
jr* + j^» = R*«*:
le plan tangent a pour équation Çar-f-ifîjr = R'Çz. Au sommet du cône qui coïncide avec Torigine des coordonnées, on a x = o, j'= o, z = o; Féquation du plan tangent se réduit à o =p : la position de ce plan est donc indéterminée. Pour faire disparaître cette indétermination , posons
x = rcosUf 7' = rsina,
d'où Ton conclut
Téqùation du plan tangent devient alors
f cos a + ly sin a = Rz ,
et ne dépend que de Tangle u.
Or cet angle , qui est déterminé pour tous les points de la surface conique autres que le sommet , cesse de Têtre pour le sommet lui-même, et se change alors en constante arbitraire ; car il y a une infinité de manières de satisfaire aux équations
Aux diverses valeurs de cette constante répondent une infinité de plans tangents à la surface conique.
TRfeNTE-ÏROISÏÈME LEÇON. 349
TBENTE-TROISIÈHE LEÇON.
Courbure d'nne surfaee. — Bayons de courbure des sections faites dans la surfilée par des plans normaux. — Rayons de courbure principaux.
186. On peut apprécier la courbure d'une surface donnée au point (j:, y^ z)^ en étudiant la courbure des sections faites dans cette surface par divers plans passant par ce point , et parmi ces sections il importe de considérer surtout celles qui réstdtent de l'intersection de la surface par les plans normaux , et que l'on appelle sections normales.
Soient 1/ =o l'équation de la surface, p le rayon de courbure de l'une des sections normales relatif au point (or, j^, z)\ J , y?, Ç les coordonnées du centre de courbure correspondant, on aura
et , puisque l'extrémité Ç , >?, ^ se trouve sur la normale au point {x , y , r) ,
du du du *
dx djr dz
On aura de plus, comme nous l'avons vu,
(f — x)d*x-^{fi — r)û?'7+(Ç — ^)d^^ — dx^ — dy^-^dz^
= {(^x)d^x + {v'-x)d*X+(^—z)d*z^ds»=zO'y
35o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et , en difliérentiant deux fois réquation a = o ,
du , . du , du , . rf*w , . , d*u . . d^u ,
dx dy ^^^dz ^^ dx^ dy^ -^ ^ dz*
du , , du , . du ,^ ^ , .
^^ di "^^ -^ "*" ^ ~ ~" ^ '
en posant , pour abréger,
d^u dx* d^u dy* d*u dz* d*u dr dz
^ dx* ds* ^^ dy* ds* dz* ds* dydz ds ds
d*u dz dx d*u dx dr i 2 | 2 ^
dzdx ds ds dxdy ds ds
du du du\
Faisons en outre R =: 1/(7-) +( j~ ) +1 ^-^^
il viendra
S — -g fi — y C — z
du du du
dx dy dz
donc l=f=lZl2:=^=,±^=- i-, du du du R Q
<i:c rfr flfe
et par suite
Cette dernière équation donnera la valeur du rayon de
tourbure d'une section normale quelconque. Dans ces formules, R représente une fonctioti connue des coordonnées x^y^z'^ quant à la quantité Q , elle peut être exprimée en fonction de ces coordonnées et des angles a , 6 , y , que forme avec les axes la tangente menée par le point {Xjy, z) k la section normale que l'on considère. On a en eflFet
dx ^ dix dz
COSflfc=:-r-i COSbl=— -, cosy = -r-, ds ds ds
'^=^''°*'* +57* cos>e+ — cos>y + 2^^co8ffcosy
+ 2 - , COSy C0S« + 2 -; — — COSa COSb.
dzdx dxdy
n suffira donc de donner avec le point {x , y^ z) la tangente à la section normale pour déterminer le rayon de courbure p de cette section.
487. Lorsqu'on passe d'une section normale à l'autre sans déplacer le point (j:,j^, z), les angles a^ë^y, et par suite Q, p et ^, y?, Ç cbangent de valeur; si dans ce passage la quantité Q change de signe, le rayon de courbure de Tune des sections normales sera déterminé par
l'équation - = ^ , et le rayon de courbure de l'autre par
l'équation -i= -^ —^ : alors aussi , puisque p et R sont es-
sentièllement positifs , et que de plus les quantités
— , — , — sont indépendantes de a, 6, 7, il faudra né-'
cessairement que les différences | — x\ m — jr^ f — z cbangent de signe avec Q. Donc les deux centres de courbure seront situés à l'égard du point (x , y, z) Tim d'im côté , l'autre de l'autre , sur la normale menée par le même point à la surface.
35a CALCUL DIFFÉRENTIEL»
Les rayons de courbure des diverses sections normales, menées par un même point, ont entre eux des relations remarquables, que Ton mettra en évidence en examinant comment le rayon de courbure varie avec les angles a, 6, y. Pour y parvenir on a recours à une construction géométrique très simple , qui consiste à porter sur chaque tangente une longueur égale à la racine carrée du rayon de courbure correspondant. Les extrémités de ces longueurs forment une courbe plane qui est du second de* gré : en effet, si Ton appelle | , ig , (^ les coordonnées de Tune de ces extrémités , on aura
i. ' 1 JL
f— .x=p2cos«, 1»— 7=/5»cos^, Ç — 3=i/5»*cosy, et en plaçant l'origine au point (x^y, -z),
Ç z= p*»" cos«, 91 :=P^ cosb, Ç=p2 cosy.
En tirant de ces équations les valeurs de cos a , cos S , cosy et les substituant dans Téquation Qp= ±:R9 où l'on a d'abord mis à la place de Q sa valeur en fonction de ces cosinus, il vient
dx^ dy* fiz* dydz
dzdx dxdy'
Cette dernière équation, quand on y considère |, 73, ^ comme seuls variables, représente une surface du second degré qui renferme la courbe plane, lieu de toutes les extrémités. Cette courbe, dont le centre coïncide avec l'origine actuelle, ou avec le point (a: , j-, -z) , est donc bien réellement une courbe du second degré complètement déterminée par l'équation de la surface et celle du plan tangent qui , dans Fhypotbèse où Ton prend le point {x , y, z) pour origine , en posant .r = o, j^ = o , ^ = o, se
téduit à
.du du ^ du
nu^ en appelant A, fx, v les angles ^e la normale à la surface fait avec les axes ,
f COSA + 9 cos^ -H Ç cos» = G.
Les équations de cette ligne se réduiraient encore à une
forme plus simple si l'on prenait pour plan ay le plan tangent mené par le point (x,y^ -z); alors, en effet, on aurait Ç = o, et Téquation de la courbe dans son plan serait
d*u . du* ^ d*u
dx* dxdy dy*
On voit alors clairement que cette courbe sera une ellipse
SI la diflerence ( j — -^-^ X ^-^ est négative 5 deux
hyperboles conjuguées si cette différence devient positive 5 deux droites parallèles , si la même différence se réduit à zéro.
Ajoutons que Tellipse se transformera en cercle si Ton a
d^u d^u d*u dx* dy* dxdy
et se réduira à un point, si l'on a de plus R = o. Comme
on peut d'ailleurs choisir arbitrairement le plan xy^ le raisonnement qu'on vient de faire, est évidemment applicable à tous les points de la surface proposée.
488. Pour chaque section normale, les coordonnées J , 79 du point situé sur la tangente à l'extrémité de la lon- T, I. 23
354 CALCUL DIFFÉRBHTICL.
gueur p^ vérifient toujours une seule des deux équations
dx^ dvdjr dy^ '
dx^ dxdy dy^
Si dans le passage d^une section normale à une autre , le premier membre de ces équations change de signe, on devra employer tour à tour ces deux équations, qui correspondent, la première à l'équation -= ~, la secondes
l'équation - = — ^ . Alors aussi nécessairement les rayons
de courbure de ces deux sections normales seront dirigés en sens contraire : au reste ce premier membre ne peut cbanger de signe que dans le cas où la diflférence
d^u Y d^u d^u dxdy) ajp* dy *
est positive , c'est-à-dire dans le cas où la cDùrbe est formée du système de deux hyperboles conjuguées, ou de deux hyperboles , dont l'une a pour axe réel l'axe imaginaire de l'autre, et réciproquement. Dans ce cas le plan tangent à la surface donnée divise cette surface en deux parties dont l'une renferme les sections normales dont le rayon de courbure se dirige dans un sens, tandis que l'autre comprend les sections normales dont le rayon de courbure est dirigé en sens inverse. Au contraire , lorsque la courbe est une ellipse., toutes les sections normales ont leur courbure tournée dans le même sens , ce qui suppose que la surface courbe est située tout entière d'un même côté du plan tangent.
Puisqu'il existe des relations nécessaires entre les rayons vecteurs relatifs à certaines lignes du second degré et les rayons de courbure des diverses sections nor-
TRÊNTE>-TR01SIEME LEÇON. 355
tnales , toute propriété de ces rayons vecteurs , toute relation qui les fait dépendre les uns des autres, entraînera nécessairement une propriété correspondante des rayons de courbure et établira entre eux des relations plus ou moins importantes , qui , dans un ^rand nombre de cas , permettront de les déduire les uns des autres.
Ainsi , puisque dans une courbe du second degré il y a, en général, deux rayons vecteurs principaux, dont cbacun est un maximum , ou un minimum, il y aura aussi pour les surfaces deux rayons de courbure principaux maxima ou minima. Nous nommerons sections principales les deux sections normales auxquelles correspondent <îes deux rayons de courbure. Les deux rayons vecteurs principaux étant perpendiculaires l'un à l'autre, les plans des sections principales se couperont aussi à angle droit et les rayons de courbure principaux seront dirigés dans le même sens, ou en sens contraire , suivant que la courbe, lieu des extrémités des rayons vecteurs, sera une ellipse ou la réunion de deux hyperboles conjuguées. Ces rayons de courbure représenteront dans le premier cas un maximum et un minimum 5 dans le second deux minima. En d'autres termes, si la courbe du second degré est une ellipse , ces sections principales seront des sections normales de plus grande et de moindre courbure ^ mais si cette courbe est l'ensemble de deux hyperbole^, les sections principales seront l'une et l'autre des sections normales de plus grande courbure , seulement , leurs courbures seront dirigées en sei^s contraires : dans la même hypothèse , les sections normales dont les plans renfermeront les asymptotes communes aux deux hyperboles, auront évidemment des courbures nidles, ou des rayons de courbure infinis ; donc les plans des deux sections normales dont les courbures s'évanouiront formeront des angles égaux avec les plans des sections principales.
Si l'ellipse se change en un cercle , tous les rayons de courbure seront égaux : on pourra alors désigner par le nom de sections principales deux sections normales quel* conques dont les plans se couperont à angle droit. Si la ligne, lieu des extrémités, se compose de deux droites parallèles, que l'on peut considérer bomme représentant une ellipse dont le grand axe est infini , les sections principales correspondront à une valeur minimum et à une valeur infinie du rayon de courbure. Enfin, si la quantité R s'évanouissait, toutes les sections normales auraient des rayons de courbure nuls ou infinis.
On sait encore que si dans une ellipse ou dans Tensemble de deux hyperboles conjuguées on mène deux rayons
r , /•" perpendiculaires l'un à Fautre, la somme — db -^
sera une quantité constante égale, au signe près, à— db y-,
aetb étant les deux axes principaux des courbes. Donc, en appelant pj , p, les rayons de courbure principaux, p', p" les rayons correspondants aux rayons vecteurs r' et r"y l'équation
entraînera nécessairement la suivante
Donc, si après avoir mené, par un point (oc, y y z) d'une surface courbe, deux plans rectangulaires entre eux et normaux à cette surface , on divise successivement l'imité par chacun des rayons de courbure des deux lignes d'intersection , la somme des quotients sera une quantité constante , pourvu que dans cette somme on prenne toujours le signe + pour les rayons de courbure
TREMTE-TROISIÈME LEÇON. 35y
dirigé^dans un certain sens, et le signe — pour ceux qui sont dirigés en sens inverse. La somme dont il s^agit ser^ égale , au signe près , à la somme ou à la différence des quotients que l'on obtient en divisant l'unité par les rayons de courbure principaux.
189. Si l'on suppose la courbe du second degré rapportée à ses axes principaux, son équation doit se réduire à
et l'on aura en conséquence
dxdy
De plus , si l'on appelle a , 6 les angles qu'un rayon vecteur quelconque r fait avec les axes principaux , ce rayon vecteur partant du centre se trouve déterminé, si la courbe est une ellipse , par l'équation
-- = -: cos* rt + 7- cos* C = -I cos* « -(- T- sin'tf , r* fl* b^ a* b*
et si la courbe est une hyperbole, par l'équation
±— =: — cos*« — 7-cos*b = — cos* « — -j- sm*<«:
on aura donc aussi , en ayant égard aux équations
II I
- =r — cos*flt H sm*«f ,
P Pi P2
OU
dt — = — ces* <e — — sm '«.
p p, Pa
On arriverait directement à ces équations de la manière suivante. Quand on prend poui' plan xy le plan tangent
358 CALCUL DIFFÉREUTIEL*
à la surface , et pour axes dans ce plan les axes^incipaux, on a . •
et la valeur de Q se réduit à
Qd*u d*u ^ d*u . . d*u . ,
:= - — ces* M 4- -7— : cos* b = -- — cos*« + -T-i sin*». dx* rfjr* . dx^ dx*
Si, dans cette dernière équation, on meta la place de Q sa valeur ±: — , il vient
