I . I fd^u ^ d^u
-=:±— - — cos*«-t--r— sin*« ;
et comme pour obtenir les rayons de courbure prinpi-« paux jOi , jO, , il faut poser successivement ,
on trouvera
et par suite
- zr: dz — C0S*« lîZ — sm* fit.
P Pi P2
Les quantités --r— ^ , -r-j^ étaut nécessairement des quantités de même signe dans le cas où la courbe est une ellipse 5 de signes contraires quand elle est formée de deux hyperboles conjugées , on en conclut que la dernière des équations qui précèdent se réduit , dans le premier cas ,
à I4 fora^ule
- = — cos* «6 »+- -— an * « ,
et dans le second, à
rt - = — cos' « — — sm' <<.
P Pt Pa
Il existe donc une relation très simp]^ çntre le rayon de courbure d'une section normale quelconque et les deux rayons de courbure (Jes ç^çc^dons priî>pip^îe§, /relation qwi permet de calculer facilement ce rayon de courbure quelconque quand on connaît les rayons de courbure principaux , et les angles que la tangente à la section normale fait avec les tangentes aux deux sections principales. Si la courbe devenait un cercle , on aurait
pi = Pa = p.
Si cette ligne était formée de deux droites parallèles , l'un des deux rayons de courbure principaux, p,' par
exemple , serait infini ^ — serait nul , et p serait donné
par l'équation très simple
Pi
p/», = cos'«c;
pi serait d'ailleurs le rayon de courbure de la section normale qui aurait pour tangente la pei^endiculaire menée aux deux parallèles par le point {pc^y^ z).
Concevons que le rayon de courbure p étant donné par l'équation
— = i: — ces' a'jz — sin * a ,
P P« Pa
36o CALCUL DIFFiHBNTIBL.
on considère un second rayon de courbure ^ correspon-
mm
dant à l'angle a' = a 4- -, on aurait
-7 =± — 8in*«.± — cos*rt, et par conséquent
P / Px fa
équation qui renferme le théorème énoncé plus ha«it.
TRENTE-QUATRIÈME LEÇON. 36l
Détermination analytique des sections de courbure principales et des rayons de courbure principaux. — Rayon de courbure ou d^une courbe quelconque tracée sur la surface.
190. Concevons à présent que Ton veuille déterminer dans l'espace, pour un point quelconque {x^y^ z) de la surface donnée , la direction des tangentes aux sections de courbure principales, et les rayons de courbure principaux. D suffira évidemment de chercher le maximum et le minimum, ou les deux minima du rayon de courbure
en supposant les coordonnées | , >7 , Ç liées entre elles par les deux équations
d*u V i ^ ^du du ^ y du
Par suite on reconnaîtra que les valeurs de f , y? , (f correspondantes aux rayons de courbure principaux , devront satisfaire à Técpation
dp=iOy ou f rfî +î;^»f + ÇrfÇ = o,
3^9 GAIXUL DI^fAREITTIEL.
après qu'on aura éliminé rf|, rf>î , rfÇ à l'aide des difïérentielles des deux équations qui lient entre elles ces variables, différentielles qu'on peut mettre sous la forme
du ,. du , du ,^ *
Pour faire cette élimination , multiplions la première de ces deux équations par un coefficient indéterminé — S , la seconde par un coefficient indéterminé — T, et après les avoir «joiuéef à l'équatioi»
égalons à o les coefficients des différentielles rfÇ, dm, dÇ. On trouve de cette manière
d^u ^ d^u . d^u ^ ^y , r^du
f H «H 1 = Sf + T^-,
dx^ dxdy dxdz dx
d*u y d^u d^u „ éi^
dxdy dy^ dydz <fy'
Si l'on ajouta ces dernières équations après les avoir respectivement multipliées par ^ , ^ ? ^ ? on trouvera , en ayant égard aux équations qui précèdent ,
±R=Sp, S5=dt-=Q.
Le facteur S ne diffère donc pas de la quantité déjà désignée par Q. Si l'on substitue pour S cette valeur Q , il
viendra
djf
dxdy
dxdz
dx
d^u ^ fd^u \ d*u ^ du
dxdz " ' dydz d'où l'on tirera
du Vfd* u
'd^u dz
dydz ^ * (fy^ Il ^\ *, r^du
Qi-i|i)
dxWdy^ ^J\dz^
dur d^u d^u /d^u \ d^u
dyi, dzdx dydz \dz* ^J dxdy
"*" flfe L dydz dxdy \dy^ ^J
dydz dxdy du r d^u d*u
dzdx
dx L dzdx dydz \dz^ J dxdy
*'d^[\dz* A^* / \dzdx)
duf d*u d^u fd^u \ rf*w
dz L fiteûÇ)^ dzdx d^u d^u
^dx 'd^u
dydz dxdy ,dur d'u d^u
dur f d'il
^dzWdx*
.dy
fd'-u
dydz d^u
dzdx d^u
dy\ dxdy dzdx \dx * ^ ) dydz
=;iciï
» désignant un coefficient dont on déterminera Êicilement
la valeur. En effet, si Ton substitue les valeurs de $ , y? , Ç,
dans les deux équations
■ v^w . du ^ ^ du
on trouvera, i*^
dz
U* désignant la somme des carrés des coefficients de »
dans les valeurs de $ , y? , Ç ; 2**
du du r d^u d*u d^u fd*u NH
dy dz \dxdy dzdx djrdz \dx* Jj
du du r d*u d^u d*u ^d*u \1
dz dx\, dydz dxdy dzdx \dy^ )\
du dur d*u d^u d^u /d*u NT
' dx dy x^dzdx dydz dxdy\d^^ /J"
Cette dernière équation du deuxième degré , par rapport à Q, donnera les deux valeurs de ce^te inconnue correspondantes aux rayons de courbure principaux. Ces rayons de courbure principaux seront ensuite donnés im" médiatement par Téquation
p ^ zt — •
Connaissant Q et p, on pourra calculer «, puis Ç, >7, Ç, ou les coordonnées des deux points situés sur les tangentes aux sections principales -, et enfin les cosinus des angles que ces tangentes font avec les axes, à l'aide des équations
COSa =: -7-, COSj3 =: — j- , COSy = — j- ,
